整合提优自主检测-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

16 故 20 2023 在第20列,即b=20;向前递推到第1列时,分数 为 20-19 2023+19= 1 2042 ,故分数 20 2023 与分数 1 2042 在同一行, 即在第2042行.则a=2042.所以a-b=2042- 20=2022. 11. a100 12. 5 解析:当x=625时,15x=125 ;当x=125时, 1 5x=25 ;当x=25时,15x=5 ;当x=5时,15x=1 ;当 x=1时,x+4=5;当x=5时,15x=1 ;…,所以输出的结 果从第3次开始按5,1为一组循环.因为(2 023-2)÷ 2=1 010(组)……1(次),所以第2 023次输出的结果和第 3次相同,为5. 13. 1024 -22024+2024 14. m2-m 解析:由题意,得2100+2101+2102+…+ 2199=(2+22+23+…+2199)-(2+22+23+…+299)= (2200-2)-(2100-2)=(2100)2-2100=m2-m. 15. (1) ③ 3×4×100+25.(2) a5 2 =100a(a+1)+ 25.理由:a5 2 =(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25= 100a(a+1)+25. 16. (1) 第5个等式:(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6× 10)2.(2) 第n个等式:(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2- [(n+1)×2n]2.理由:左边=4n2+4n+1,右边=[(n+ 1)×2n]2+2×(n+1)×2n×1+12-[(n+1)×2n]2= 4n2+4n+1.因为左边=右边,所以等式成立. 数式规律猜想题的解题策略 数式规律猜想,通常给定一些数字、代数式、等式 或者不相等的式子,然后猜想其中蕴含的规律,或进一 步验证规律,或利用规律求值.解题策略:一般先写出 数、式的前几项(一般为前4项),并且尽量用统一的结 构表示出来,然后通过横比(比较同一数式中不同部分 的数量关系)或纵比(比较不同数式间相同位置的数量 关系)找出各部分的特征,最后用表示序号的字母或其 他字母写出通式,并进一步利用通式解决问题.注意有 时得到的变化规律不一定正确,需要验证才行. 整合提优自主检测 一、 1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. C 9. B 10. A 解析:在AC 上截取CN=AE,连接FN.因为 △ABC 是等边三角形,所以∠A=60°,AB=AC.因为 BD=2AE,所以AD=AB-BD=AC-2AE=AC- AE-CN=EN.因为△DEF 是等边三角形,所以DE= EF,∠DEF=60°.所以∠DEA+∠NEF=120°.因为 ∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°,所以∠ADE= ∠NEF.在 △ADE 和 △NEF 中,因 为 AD =NE, ∠ADE=∠NEF,DE=EF,所以△ADE≌△NEF. 所以 AE=NF,∠FNE=∠A=60°.因为 AE=CN, 所以NF=CN.所以∠NCF=∠NFC.因为∠FNE= 180°-∠FNC=∠NCF+∠NFC=60°,所以∠NCF= 30°,即∠ECF=30°,是定值.所以∠ECF 的度数不变. 二、 11. 4 12. 3 13. 6 14. 46 n(n+1)+4 15. 19 3 解析:如图,过点 A 作AM⊥BC 于点 M.因 为 AD =AC,AM ⊥BC, 所 以 ∠DAM = ∠CAM, ∠ADC=∠ACD,CM=DM.因为∠B∶∠DFC=2∶3, 所以设∠B=2α,∠DFC=3α.因为 CE⊥AB,所以 ∠BCE=90°-2α,∠BAD =90°- ∠EFA =90°- ∠DFC=90°-3α.所 以 ∠ADC= ∠ACD = ∠B + ∠BAD=90°-α.所以∠DAM=∠CAM=α,∠ACE= ∠ACD-∠BCE=α.所以∠CAM=∠ACE.在△ACM 和△CAE 中,因为∠CAM=∠ACE,∠AMC=∠CEA, AC=CA,所以△ACM≌△CAE.所以CM=AE=32 , ∠EAC=∠MCA.所以CM=DM=32 ,AB=BC.所 以AB=BC=BD+DM+CM=103+ 3 2+ 3 2= 19 3. 第15题 三、 16. (1) 原式=4+8÷(-4)=4+(-2)=2.(2) 原 式=-16-3×1×43× - 3 4 =-16+3=-13.(3) 原 式=2025× -59 +2025× -89 +2025×49= 2025× -59- 8 9+ 4 9 =2025×(-1)=-2025. 17. (1) 原式=(5y2+x2+4y2-4xy-9y2)·2y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 (x2-4xy)·2y=2x2y-8xy2.当x=-3,y= 1 2 时,原 式=2×(-3)2×12-8× (-3)× 12 2 =15.(2) 原 式=4x2+4x+1-x2+1=3x2+4x+2.因为3x2+ 4x-1=0,所以3x2+4x=1.所以原式=1+2=3.所 以(2x+1)2-(x+1)(x-1)的值为3. 18. (1) 因为∠B=50°,∠C=70°,所以∠BAC=180°- ∠B-∠C=60°.因为AD 是△ABC 的角平分线,所以 ∠BAD=12∠BAC=30°. 因为DE⊥AB,所以∠DEA= 90°.所以∠EDA=90°-∠BAD=60°.(2) 过点 D 作 DF⊥AC于点F.因为AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥ AB,所以DF=DE=c.又因为AB=a,AC=b,所以 S△ABC=S△ABD+S△ACD= 1 2AB ·DE+12AC ·DF= 1 2ac+ 1 2bc= 1 2c (a+b). 19. (1) a2-b2=(a-b)(a+b).(2) ① (2a+b- c)(2a-b+c)=(2a)2-(b-c)2=4a2-b2+2bc-c2. ② 1002-992+982-972+…+42-32+22-12=(100+ 99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+…+(2+1)× (2-1)=100+99+98+97+ … +2+1= (100+1)×100 2 =5 050. 20. (1) BE=AF.如图①,连接AD.因为AB=AC, 所以△ABC 为等腰三角形.因为 D 为BC 的中点,所 以AD 为△ABC 的中线、高、角平分线.所以∠BDA= 90°,∠BAD=∠CAD.因为 DE⊥DF,所以∠BDA= ∠EDF=90°.所以∠BDA-∠EDA=∠EDF-∠EDA, 即∠BDE=∠ADF.因为 AB=AC,∠BAC=90°,所 以∠BAD=∠DAF= 12 ∠BAC=45° ,∠B=∠C= 45°.过点D 作DM⊥AB 于点M,则∠AMD=∠BMD= 90°.在 △AMD 和 △BMD 中,因 为 ∠MAD = ∠B, ∠AMD = ∠BMD,DM = DM,所 以 △AMD ≌ △BMD.所以AD=BD.在△BDE 和△ADF 中,因为 ∠B= ∠DAF,BD =AD,∠BDE = ∠ADF,所 以 △BDE≌△ADF.所以BE=AF.(2) BE=AF.补全图 形如图②所示.理由:如图②,连接 AD.由(1),得 ∠BDA=∠EDF=90°,BD=AD,∠ABC=∠DAC= 45°,所以易得∠BDE=∠ADF,∠EBD=∠FAD= 180°-45°=135°.在△BDE 和△ADF 中,因为∠EBD= ∠FAD,BD=AD,∠BDE=∠ADF,所以△BDE≌ △ADF.所以BE=AF. 第20题 21. (1) 因为AB=BC,AC=2,∠ABC=90°,D 是AC的 中点,所以CD=12AC=1 ,∠A=∠BCD=12 (180°- ∠ABC)=45°,BD⊥AC.所以∠CBD=90°-∠BCD= 45°.所以∠CBD=∠BCD.所以易得BD=CD=1.所 以S△BCD= 1 2CD ·BD=12×1×1= 1 2. (2) ① 连接 BD.由(1),可知∠BDC=∠EDF=90°,CD=BD,∠C= ∠CBD=45°,所 以 ∠C = ∠NBD =45°,∠BDC - ∠BDM=∠EDF-∠BDM,即∠CDM =∠BDN.在 △CDM 和△BDN 中,因为∠C=∠NBD,CD=BD, ∠CDM=∠BDN,所以△CDM≌△BDN.所以DM= DN.② 不发生变化.理由:由①,知△CDM≌△BDN, 所以S四边形BNDM =S△BDN +S△BDM =S△CDM +S△BDM = S△BCD= 1 2 ,即在此条件下,重叠部分的面积不变,为 1 2. (3) DM=DN 的结论仍成立,重叠部分的面积不 会变. 3 预学储备 一　勾股定理 1 探索勾股定理 知识梳理 平方和 平方 a2+b2=c2 典例演练 典例1 B 典例2 (1) ab+b2.(2) 根据题意,得ab+b2=ab+ 1 2b 2-12a 2+12c 2,所以a2+b2=c2.(3) 因为a2+b2= c2,且c=10,a=6,所以62+b2=102.所以b=8.所以 S=ab+b2=6×8+82=112. 典例3 设BC=xm.根据题意,可知AB=50m,AC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 49 整合提优自主检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 已知一等腰三角形的周长为20,若其中一边 长为6,则这个等腰三角形的腰长为 ( ) A. 6或8 B. 6或7 C. 6 D. 8 2. 数轴上与-3的距离等于2的数是 ( ) A. -5 B. -1 C. -5或-1 D. 5或1 3. 若x2=4,|y|=9,xy<0,则x3-y的值为 ( ) A. -17 B. 17 C. ±1 D. ±17 4. 已知(a+b)2=9,ab=32 ,则(a-b)2的值为 ( ) A. 9 B. 3 C. 12 D. 6 5. 如图,直线l1∥l2,含有30°角的直角三角尺 的一个顶点C 落在l2 上,直角边交l1 于点 D,连接BD,使得BD⊥l2,若∠1=72°,则 ∠2的度数是 ( ) 第5题 A. 48° B. 58° C. 42° D. 18° 6. 如图,点A在DE上,点F在AB上,且AC= CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于 ( ) 第6题 A. DC 的长 B. BC 的长 C. AB 的长 D. AE+AC 的长 7. (哈尔滨中考)如图,用棋子摆出一组形如正 方形的图形,按照这种方法摆下去,摆第 5个图形需要棋子 ( ) 第7题 A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 8. 如图①,现有一张边长为a的大正方形卡片 和三张边长为b 12a<b<a 的小正方形卡 片,取出两张小正方形卡片放入大正方形卡 片内,拼成如图②所示的图案,再重新用三 张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成 如图③所示的图案.若图③中的涂色部分的 面积比图②中的涂色部分的面积大2ab- 15,则小正方形卡片的面积是 ( ) 第8题 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图,小明在3×3的方格纸上写了九个式子 (其中的n是正整数),每行的三个式子的和 自上而下分别记为A1,A2,A3,每列的三个 式子的和自左至右分别记为B1,B2,B3,其 中,值可以等于789的是 ( ) 第9题 A. A1 B. B1 C. A2 D. B3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 50 答案讲解 10. 如图,在等边三角形ABC 中,D, E 分别为边AB,AC 上的动点, BD=2AE,连接DE,以DE 为边 在△ABC 内作等边三角形DEF,连接CF. 在点D 从点A 向点B 运动(不运动到点 B)的过程中,∠ECF 的度数 ( ) 第10题 A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 二、 填空题(每题3分,共15分) 11. 已知2x2-x-3=0,则(2x+3)(2x-3)+ (2x-1)2的值是 . 12. 如图,为了测量一幢6层楼的层高,在旗杆 CD 与楼AB 之间选定一点P.测得旗杆顶 C 的视线PC 与地面的夹角∠DPC=33°, 楼顶A 的视线PA 与地面的夹角∠APB= 57°,量得点P 到楼底的距离PB 与旗杆 CD 的高度都等于12米,旗杆与楼之间的 距离DB=30米,那么每层楼的高度大约 是 米. 第12题 13. 如图,以长方形ABCD 的四条边为边向外 作四个正方形,设计出“中”字图案,若四个 正方形的周长之和为40,面积之和为26,则 长方形ABCD 的面积为 . 第13题 14. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律 摆放,第1个图形有6个小圆,第2个图形 有10个小圆,第3个图形有16个小圆,请 仔细观察并推测,第6个图形有 个小圆,第n个图形有 个小圆(用 含n的代数式表示). 第14题 答案讲解 15. 如图,在△ABC 中,D 是BC 上一 点,连接AD,AD=AC,过点C 作 CE⊥AB 于点E,交AD 于点F, 且∠B∶∠DFC=2∶3.若AE=32 ,BD= 10 3 ,则AB 的长为 . 第15题 三、 解答题(共55分) 16. (9分)计算: (1) (-1)×(-4)+23÷(3-7); (2) - 42 - 3 × (- 1)2 × 1 3+1 ÷ -113 ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 51 (3) -2025× 59 +2025× - 8 9 + 2025×49. 17. (8分)(1) 先化简,再求值: -54y ·(-4y)+(x-2y)2-(3y)2􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 · 2y,其中x=-3,y= 1 2. (2) 已知3x2+4x-1=0,求 代 数 式 (2x+1)2-(x+1)(x-1)的值. 18. (8分)如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C= 70°,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点E. (1) 求∠EDA 的度数; (2) 若AB=a,AC=b,DE=c,求△ABC 的面积. 第18题 19. (8分)如图①,从边长为a的大正方形中剪 掉一个边长为b的小正方形,将涂色部分按 图①中的虚线剪开,拼成如图②所示的长 方形. (1) 比较两图涂色部分的面积,可以得到乘 法公式: (用字母a,b表示). (2) 请运用(1)中得到的公式计算下面 各题: ① (2a+b-c)(2a-b+c); ② 1002-992+982-972+…+42-32+ 22-12. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 52 20. (10分)在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC, D 为BC 的中点. (1) 如图①,若E,F 分别为AB,AC 上的 点,且DE⊥DF,则BE 与AF 相等吗? 为 什么? (2) 若E,F 分别为AB,CA 延长线上的 点,且DE⊥DF,则BE 与AF 相等吗? 请 将图②补全,再说明理由. 第20题 答案讲解 21. (12分)如图①,在Rt△ABC 中, AB=BC,AC=2,将一块含30°角 的直角三角尺DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角尺的短直角边 为DE,长直角边为DF),点C 在DE 上, 点B 在DF 上. (1) 求重叠部分△BCD 的面积. (2) 如图②,将直角三角尺DEF 绕点D 按 顺时针方向旋转30°,DE 交BC 于点M, DF 交AB 于点N. ① 试说明:DM=DN. ② 在此条件下,重叠部分的面积会发生变 化吗? 若发生变化,请求出重叠部分的面 积;若不发生变化,请说明理由. (3) 如图③,将直角三角尺DEF 绕点D 按 顺时针方向旋转α°(0<α<90),DE 交BC 于点M,DF 交AB 于点N,则DM=DN 的结论仍成立吗? 重叠部分的面积会变吗 (直接写出结论,不需要说明理由)? 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级