专题7 规律探究型问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

15 13. 248或296 解析:设第一次购书的原价为x元,则第 二次购书的原价为3x 元.根据题意,分情况讨论:① 当 3x≤100时,此时两次购书总共付款不会超过200元,此 情况不成立.② 当100<3x≤200时,x+90%·3x= 229.4,解得x=62.此时两次购书原价的总和为4×62= 248(元).③ 当3x>200且x≤100时,x+70%·3x= 229.4,解得x=74.此时两次购书原价的总和为4×74= 296(元).④ 当x>100时,90%x+70%·3x=229.4或 70%·(x+3x)=229.4,解得x=76715 或x=811314 ,不 符合题意,舍去.综上所述,小丽这两次购书原价的总和 为248元或296元. 14. C 15. 1或2 16. 35°或105° 17. D 18. 88° 或92° 19. 如图①,当△ABC为锐角三角形时,∠BAD=180°- ∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°,所以∠BAC= ∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°.如图②,当△ABC 为钝角三角形时,∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°- 30°-90°=60°,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°- 20°=40°.综上所述,∠BAC的度数为80°或40°. 第19题 20. 11或13 21. 因为△ABC 为等腰三角形,且周长为16,分两种情 况:① 当a=4为腰长时,底边长=16-4-4=8.因为4+ 4=8,所以不能构成三角形.② 当a=4为底边长时,腰长= 16-4 2 =6. 因为4为底边长,6为腰长符合三角形的三边 关系,所以b=c=6. 22. D 23. 40°或100° 24. B 25. 90°或67.5°或45° 解析:若△AOP 为等腰三角形, 则有AO=AP 或AO=OP 或OP=AP 三种情况.① 当 AO=AP 时,∠O=∠APO=45°,所以∠A=90°.② 当 AO=OP 时,∠A=∠APO=180°-45°2 =67.5°.③ 当 OP=AP 时,∠A=∠O=45°.综上所述,∠A 的度数 为90°或67.5°或45°. 26. 如图①,当△ABC 是锐角三角形时,∠ACD=36°, ∠ADC=90°,所以∠A=54°.如图②,当△ABC是钝角三 角形时,∠ACD=36°,∠ADC=90°,所以∠BAC=180°- ∠CAD=∠ADC+∠ACD=126°.综上所述,此三角形顶 角的度数为54°或126°. 第26题 因对等腰三角形腰上高的位置 考虑不全面而导致漏解 等腰三角形腰上的高可能在三角形内部,可能在 三角形外部,也可能是三角形的边,这主要取决于等腰 三角形是锐角、钝角或是直角三角形.解答此类问题 时,一定要注意分类讨论,不能想当然认为腰上的高在 三角形的内部,导致漏解. 专题七　规律探究型问题 1. B 2. B 3. B 解析:由所给图形可知,第一幅图中正方形的个数 为1=12;第二幅图中正方形的个数为5=12+22;第三幅 图中正方形的个数为14=12+22+32;第四幅图中正方形 的个数为30=12+22+32+42;…,所以第n幅图中正方 形的个数为12+22+32+…+n2,当n=6时,12+22+ 32+…+62=91(个),即第六幅图中正方形的个数为91. 4. B 5. 49 6. (9n+3) 7. n(n+1) 2 2n+2 解析:由所给图形可知,第1个“小 屋子”中图形“”的个数为1=1,“”的个数为4=1×2+ 2;第2个“小屋子”中图形“”的个数为3=1+2,“”的个 数为6=2×2+2;第3个“小屋子”中图形“”的个数 为6=1+2+3,“”的个数为8=3×2+2;第4个“小屋 子”中图形“”的个数为10=1+2+3+4,“”的个数 为10=4×2+2;…,所以第n个“小屋子”中图形“”的个 数为1+2+3+…+n=n (n+1) 2 ,“”的个数为2n+2. 8. D 9. D 10. C 解析:观察图中的规律发现,分数的分子是几,则 必在第几列;只有第一列的分数,分母与其所在行数一致, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 故 20 2023 在第20列,即b=20;向前递推到第1列时,分数 为 20-19 2023+19= 1 2042 ,故分数 20 2023 与分数 1 2042 在同一行, 即在第2042行.则a=2042.所以a-b=2042- 20=2022. 11. a100 12. 5 解析:当x=625时,15x=125 ;当x=125时, 1 5x=25 ;当x=25时,15x=5 ;当x=5时,15x=1 ;当 x=1时,x+4=5;当x=5时,15x=1 ;…,所以输出的结 果从第3次开始按5,1为一组循环.因为(2 023-2)÷ 2=1 010(组)……1(次),所以第2 023次输出的结果和第 3次相同,为5. 13. 1024 -22024+2024 14. m2-m 解析:由题意,得2100+2101+2102+…+ 2199=(2+22+23+…+2199)-(2+22+23+…+299)= (2200-2)-(2100-2)=(2100)2-2100=m2-m. 15. (1) ③ 3×4×100+25.(2) a5 2 =100a(a+1)+ 25.理由:a5 2 =(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25= 100a(a+1)+25. 16. (1) 第5个等式:(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6× 10)2.(2) 第n个等式:(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2- [(n+1)×2n]2.理由:左边=4n2+4n+1,右边=[(n+ 1)×2n]2+2×(n+1)×2n×1+12-[(n+1)×2n]2= 4n2+4n+1.因为左边=右边,所以等式成立. 数式规律猜想题的解题策略 数式规律猜想,通常给定一些数字、代数式、等式 或者不相等的式子,然后猜想其中蕴含的规律,或进一 步验证规律,或利用规律求值.解题策略:一般先写出 数、式的前几项(一般为前4项),并且尽量用统一的结 构表示出来,然后通过横比(比较同一数式中不同部分 的数量关系)或纵比(比较不同数式间相同位置的数量 关系)找出各部分的特征,最后用表示序号的字母或其 他字母写出通式,并进一步利用通式解决问题.注意有 时得到的变化规律不一定正确,需要验证才行. 整合提优自主检测 一、 1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. B 8. C 9. B 10. A 解析:在AC 上截取CN=AE,连接FN.因为 △ABC 是等边三角形,所以∠A=60°,AB=AC.因为 BD=2AE,所以AD=AB-BD=AC-2AE=AC- AE-CN=EN.因为△DEF 是等边三角形,所以DE= EF,∠DEF=60°.所以∠DEA+∠NEF=120°.因为 ∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°,所以∠ADE= ∠NEF.在 △ADE 和 △NEF 中,因 为 AD =NE, ∠ADE=∠NEF,DE=EF,所以△ADE≌△NEF. 所以 AE=NF,∠FNE=∠A=60°.因为 AE=CN, 所以NF=CN.所以∠NCF=∠NFC.因为∠FNE= 180°-∠FNC=∠NCF+∠NFC=60°,所以∠NCF= 30°,即∠ECF=30°,是定值.所以∠ECF 的度数不变. 二、 11. 4 12. 3 13. 6 14. 46 n(n+1)+4 15. 19 3 解析:如图,过点 A 作AM⊥BC 于点 M.因 为 AD =AC,AM ⊥BC, 所 以 ∠DAM = ∠CAM, ∠ADC=∠ACD,CM=DM.因为∠B∶∠DFC=2∶3, 所以设∠B=2α,∠DFC=3α.因为 CE⊥AB,所以 ∠BCE=90°-2α,∠BAD =90°- ∠EFA =90°- ∠DFC=90°-3α.所 以 ∠ADC= ∠ACD = ∠B + ∠BAD=90°-α.所以∠DAM=∠CAM=α,∠ACE= ∠ACD-∠BCE=α.所以∠CAM=∠ACE.在△ACM 和△CAE 中,因为∠CAM=∠ACE,∠AMC=∠CEA, AC=CA,所以△ACM≌△CAE.所以CM=AE=32 , ∠EAC=∠MCA.所以CM=DM=32 ,AB=BC.所 以AB=BC=BD+DM+CM=103+ 3 2+ 3 2= 19 3. 第15题 三、 16. (1) 原式=4+8÷(-4)=4+(-2)=2.(2) 原 式=-16-3×1×43× - 3 4 =-16+3=-13.(3) 原 式=2025× -59 +2025× -89 +2025×49= 2025× -59- 8 9+ 4 9 =2025×(-1)=-2025. 17. (1) 原式=(5y2+x2+4y2-4xy-9y2)·2y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 专题七　规律探究型问题 规律猜想探索问题是根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳、猜想、 验证等过程,发现题目所蕴含的图形或数式的本质规律与特征的一类探索性问题.其解题过程: 从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论→应用结论.规律猜想 探索问题有利于培养分析问题、处理信息的能力,规律探究过程中的观察、联想、归纳、类比是 关键. 类型一 图形规律的探索 1. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图 案,其中第1个图案用了9根木棍,第2个图 案用了14根木棍,第3个图案用了19根木 棍,第4个图案用了24根木棍……按此规律 拼下去,则第8个图案用的木棍根数是 ( ) 第1题 A. 39 B. 44 C. 49 D. 54 2. 类比归纳思想 (牡丹江中考)如图所示为 由一些同样大小的三角形按照一定规律组 成的图案,第1个图案中有4个三角形,第 2个图案中有7个三角形,第3个图案中有 10个三角形……按照此规律排列下去,则第 674个图案中三角形的个数是 ( ) 第2题 A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 答案讲解 3. (济宁中考)如图,用大小相等的小 正方形按照一定规律拼正方形.第 一幅图有1个正方形,第二幅图有 5个正方形,第三幅图有14个正方形……按 照此规律,第六幅图中正方形的个数为 ( ) 第3题 A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 4. 如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼 第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形 需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根 小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个 图形需要2030根小木棒,则n的值为 ( ) 第4题 A. 252 B. 254 C. 336 D. 337 5. 观察如图所示的“蜂窝图”,按照这样的规律 排下去,则第16个图案中“ ”的个数是 . 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 47 6. 如图,第1个图形由1个正六边形、6个正方 形和6个等边三角形组成;第2个图形由 2个正六边形、11个正方形和10个等边三 角形组成;第3个图形由3个正六边形、 16个正方形和14个等边三角形组成……按 照此规律,第n 个图形中,正方形和等边三 角形一共有 个(用含n的代数式 表示). 第6题 答案讲解 7. 如图所示为用图形“”和“”按一定 规律摆成的“小屋子”.按照此规律 继续摆下去,第n个“小屋子”中图 形“”的个数为 ,“”的个数为 . 第7题 类型二 数式规律的探索 8. 观察下列数据:1 2 ,-25 ,3 10 ,-417 ,5 26 ,….第 12个数是 ( ) A. 12 143 B. -12143 C. 12 145 D. -12145 答案讲解 9. (扬州中考)1202年数学家斐波那 契在《计算之书》中记载了一列数: 1,1,2,3,5,….这一列数满足:从第 三个数开始,每一个数都等于它的前面两个 数之和.在这一列数的前2024个数中,奇数 的个数为 ( ) A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350 10. (常德中考)如图,横排为行,竖排为列,按 其中的规律,分数 20 2023 若排在第a 行第 b列,则a-b的值为 ( ) 第10题 A. 2003 B. 2004 C. 2022 D. 2023 11. 归纳思想 (江西中考)观察a,a2,a3,a4,…, 根据这些式子的变化规律,可得第100个 式子为 . 12. 如图所示为一个运算程序的示意图,若开 始输入x的值为625,则第2023次输出的 结果为 . 第12题 13. (恩施中考)观察下面两行数,探究第②行 数与第①行数的关系: -2,4,-8,16,-32,64,….① 0,7,-4,21,-26,71,….② 根据你的发现,完成填空:第①行数的第 10个数为 ;取每行数的第2023个 数,则这两个数的和为 . 14. 观察等式:2+22=23-2,2+22+23=24- 2,2+22+23+24=25-2,….已知按一定 规律排列的一组数:2100,2101,2102,…,2199. 若2100=m,则这组数的和是 (用 含m 的代数式表示). 答案讲解 15. 设a5是一个两位数,其中a(1≤ a≤9)是十位上的数字.例如,当 a=4时,a5表示的两位数是45. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 48 (1) 尝试: ① 当a=1时,152=225=1×2×100+25; ② 当a=2时,252=625=2×3×100+25; ③ 当a=3时,352=1225= . (2) 归纳:a5 2 与100a(a+1)+25之间有 怎样的大小关系? 请说明理由. 16. ★观察下列等式: 第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2- (2×2)2; 第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2- (3×4)2; 第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2- (4×6)2; 第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2- (5×8)2; … 按照以上规律,解决下面的问题: (1) 写出第5个等式; (2) 写出你猜想的第n个等式(用含n的式 子表示),并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级