专题4 平行线中与角有关的计算问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

37 专题四　平行线中与角有关的计算问题 平行线是初中数学的重要基础知识,应用平行线的性质与判定能解决求角问题.如果题中有 平行线存在,那么总有相等的角存在;如果题中没有平行线,那么可以通过证明两线平行或者构 造平行线得到相等的角. 类型一 平行线的性质与判定的综合应用 1. (长沙中考)如图,在△ABC 中,∠BAC= 60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( ) 第1题 A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 2. 如图,∠ABD=∠EFD,∠FEC 与∠ECD 互补,当∠FEC=150°,∠ABC=46°时, ∠BCE 的度数为 . 第2题 第3题 3. 如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B=65°,∠C= 52°,则∠FEC 的度数为 . 答案讲解 4. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,∠B=80°. (1) 求∠BAD 的度数; (2) AE平分∠BAD,交BC于点E,∠BCD= 50°,求证:AE∥DC. 第4题 类型二 延长线段构造三线八角 5. 如图,AB∥DE,BC∥DF,若∠ABC=120°, 则∠FDE 的度数为 ( ) 第5题 A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 6. 如图,直线AB∥CD,若∠B=∠HFD= 40°,∠EFH=45°,则∠BEF= °. 第6题 答案讲解 7. 如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1= 40°,求∠2的度数. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 38 类型三 过一个拐点作平行线 8. (泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形 ABC 的两个顶点B,C 分别落在直线l,m 上.若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数为 ( ) A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 第8题 第9题 9. (潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其 底部支架AB 与吊线FG 平行,灯杆CD 与 底部支架AB 所成锐角∠α=15°.顶部支架 EF 与灯杆CD 所成锐角∠β=45°,则EF 与 FG 所成锐角的度数为 ( ) A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 10. 新考法 过程性学习 ★【阅读理解】两条 平行线间的拐点问题经常可以通过作一条 直线的平行线来解决.例如,如图①,MN∥ PQ,点C,B 分别在直线MN,PQ 上,点A 在直线 MN,PQ 之间.求证:∠CAB= ∠MCA+∠PBA. 证明:如图①,过点A 作AD∥MN. 因为MN∥PQ,AD∥MN, 所以AD∥MN∥PQ. 所以∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB. 所以∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+ ∠PBA. 【类比应用】已知直线AB∥CD,P 为平面 内一点,连接PA,PD. (1) 如图②,∠A=50°,∠D=150°,求 ∠APD 的度数; (2) 如图③,设∠PAB=α,∠CDP=β,直接 写出α,β,∠P之间的数量关系; (3) 如图④,AP⊥PD,AN 与DP交于点O, DN 平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB= ∠P,运用(2)中的结论,求∠N 的度数. 第10题 类型四 过多个拐点作平行线 答案讲解 11. ★如 图,AB ∥CD,∠MBN = 3 2∠ABM ,∠MDN=32∠CDM. 试说明:2∠N+5∠M=720°. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 39 12. 如图,AB∥DF,DE 和 AC 分 别 平 分 ∠FDC 和 ∠BAE.若 ∠DEA = 46°, ∠ACD=56°,求∠FDC 的度数. 第12题 答案讲解 13. 已知直线AB∥CD,点E 在直线 AB 上,点F 在直线CD 上,G 是 平面内一点. (1) 如图①,点G 在直线AB,CD 之间,若 ∠1=30°,∠3=75°,求∠2的度数. (2) 如图②,点G 在直线AB,CD 之间, FN 平分∠CFG,延长GE 交FN 于点M, EM 平分∠AEN.当∠N+12∠FGE=54° 时,求∠AEN 的度数. (3) 如图③,点G 在直线AB 上方,FK 平 分∠CFG,EL 平分∠AEG,直线KF 与直 线LE 相 交 于 点 H,试 猜 想∠EGF 与 ∠EHF 之间的数量关系,并说明理由. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 11 3. B 解析:a2+b2+c2-ab-bc-ac=12 (2a2+2b2+ 2c2-2ab-2bc-2ac)=12 [(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+ c2)+(b2-2bc+c2)]=12 [(a-b)2+(a-c)2+(b- c)2]=12× (1+1+4)=3. 4. (1) ①③.(2) ① 因为ab=1,所以a2+b2=(a+b)2- 2=22-2=2.② a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=22-2· (ab)2=22-2×12=2.③ a2n+b2n=2. 5. A 解析:因为(x-2021)2+(x-2023)2=50,所 以[(x-2022)+1]2+[(x-2022)-1]2=50.所以(x- 2022)2+2(x-2022)+1+(x-2022)2-2(x- 2022)+1=50.所以2(x-2022)2=48.所以(x- 2022)2=24. 6. 因为(x+y+1)(x+y-1)=8,所以(x+y)2-12= 8.所以(x+y)2=9.所以x2+y2+2xy=9.因为xy=2, 所以x2+y2=9-2xy=9-2×2=5. 7. C 8. A 9. 原式=(x+y)2-a(x+y)+52.因为原式为完全平方 式,所以-a(x+y)=±2×5(x+y).所以-a=±10. 所以a=±10. 10. (1) 20222-2020×2024=20222-(2022-2)× (2022+2)=20222-(20222-4)=20222-20222+4= 4.(2) 1882-376×88+882=1882-2×188×88+882= (188-88)2=1002=10000. 11. (1) 原式=(10-1)×(10+1)×(100+1)=(102- 1)×(100+1)=(100-1)×(100+1)=1002-1= 10000-1=9999.(2) 原式= 1-12 × 1+12 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-122 × 1+122 × 1+124 × 1+128 + 1216 = 1-124 × 1+124 × 1+128 +1216= 1-128 × 1+128 +1216= 1-1216+ 1 216=1. 12. (1) 二.(2) 2962=(300-4)2=3002-2×300×4+ 42=90 000-2 400+16=87 616. 13. a2-b2 (a+b)(a-b) a2-b2=(a+b)(a-b) 14. (1) 题图②中大正方形的边长为a+b,面积为(a+ b)2,小正方形的边长为a-b,面积为(a-b)2,每个长方 形的面积为ab.由拼图,得(a+b)2=(a-b)2+4ab.所 以(a+b)2,(a-b)2,ab三者之间的等量关系式为(a+ b)2=(a-b)2+4ab.(2) ① 由(1)中 的 结 论,得 m+2m 2 = m-2m 2 +4m·2m= m- 2 m 2 +8,即 32= m-2m 2 +8.所以m-2m=±1.② 因为BE=2, 所以x-y=2.由(1),得(x+y)2=(x-y)2+4xy,即 (x+y)2=4+4×15=64.又因为0<y<x,所以x+y= 8.所以涂色部分的面积为12x (x-y)+ 1 2 (x-y)y= (x+y)(x-y) 2 = 8×2 2 =8. 15. (1) ① a2+b2;(a+b)2-2ab.② (a+b)2=a2+ 2ab+b2.(2) ① 因为m+n=5,m2+n2=13,所以mn= (m+n)2-(m2+n2) 2 = 52-13 2 =6.② 设x=2023-m, y=2024-m,则y-x=1.因为xy=1011,所以 -xy=-1011.因为y-x=1,所以(2024-m)2+(m- 2023)2=y2+(-x)2=(y-x)2-2y·(-x)=12+ 2022=2023. 利用换元法化繁为简 对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看 成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问 题简单化、明朗化,在减少多项式项数、降低多项式结 构复杂程度等方面有显著的作用. 专题四　平行线中与角有关的计算问题 1. C 2. 16° 3. 63° 4. (1) 因为AD∥BC,所以∠B+∠BAD=180°.因为 ∠B=80°,所 以∠BAD =100°.(2) 因 为 AE 平 分 ∠BAD,所以∠DAE=12∠BAD=50°. 因为AD∥BC, 所以∠AEB=∠DAE=50°.因为∠BCD=50°,所以 ∠BCD=∠AEB.所以AE∥DC. 5. C 6. 135 7. 如图,延长AE 交l2 于点B.因为l1∥l2,∠1=40°, 所以∠3=∠1=40°.因为∠α=∠β,所以AB∥CD.所 以∠2+∠3=180°.所以∠2=180°-∠3=140°. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 8. B 9. A 解析:如图,过点E 作EH∥AB.因为AB∥FG, 所以AB∥EH∥FG.所以∠BEH=∠α=15°,∠FEH+ ∠EFG=180°.因为∠β=45°,所以∠FEH=180°-45°- 15°=120°.所以∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°= 60°.所以EF 与FG 所成锐角的度数为60°. 第9题 10. (1) 如图,过点P 作PE∥AB.因为AB∥CD,PE∥ AB,所以 AB∥PE∥CD.所以∠APE=∠A=50°, ∠DPE+∠D=180°.所以∠DPE=180°-150°=30°. 所以∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80°. (2) α+β-∠P=180°.(3) 因为AP⊥PD,所以∠P= 90°.因为∠PAN+ 12 ∠PAB=∠P ,所以∠PAN+ 1 2∠PAB=90°. 因为∠POA+∠PAN=180°-∠P= 90°,所以∠POA=12∠PAB. 因为∠POA=∠NOD, 所以∠NOD=12∠PAB. 因为 DN 平分∠PDC,所以 ∠ODN = 12 ∠PDC. 所 以 ∠N =180°- ∠NOD - ∠ODN=180°- 12 (∠PAB+ ∠PDC).由 (2),得 ∠PDC+∠PAB-∠P=180°,所以∠PDC+∠PAB= 180°+∠P.所以∠N=180°-12 (∠PAB+∠PDC)= 180°-12 (180°+∠P)=180°-12× (180°+90°)=45°. 第10题 利用拐点作辅助线研究角之间的数量关系 当两条平行线之间存在拐点时,通常过拐点作平 行线,构造出同位角、内错角、同旁内角,为运用平行线 的性质创造条件.本题先利用拐点添加辅助线,再计算 角的度数. 11. 如图,过点 M 作ME∥AB,过点N 作NF∥AB.因 为AB∥CD,所以 ME∥AB∥CD∥NF.所以∠BME= ∠ABM,∠DME=∠CDM,∠BNF+∠ABN=180°, ∠DNF+ ∠CDN =180°.所 以 ∠BMD = ∠BME + ∠DME = ∠ABM + ∠CDM,∠BNF + ∠ABN + ∠DNF + ∠CDN =360°,即 ∠BND + ∠ABN + ∠CDN=360°.因为∠MBN= 32 ∠ABM ,∠MDN= 3 2 ∠CDM ,所 以 ∠ABN = 52 ∠ABM ,∠CDN = 5 2∠CDM. 所以∠BND+52∠ABM+ 5 2∠CDM=360°. 所以∠BND+ 52 (∠ABM +∠CDM)=360°.所 以 ∠BND + 52 ∠BMD = 360°. 所 以 2 ∠BND + 5∠BMD=720°. 第11题 “凹凸形”的平行线问题的求解方法 如图①,解答“内凹形”的平行线问题时有以下结 论:若∠B+∠D=∠BPD,则AB∥CD;若AB∥CD, 则∠B+∠D=∠BPD.其方法是过点P 作PE∥AB 或作PE∥CD,利用“内错角相等,两直线平行”或“两直 线平行,内错角相等”来解答,如图②,解答“外凸形”的 平行线问题时有以下结论:若∠B+∠BED+∠D= 360°,则 AB∥CD;若 AB∥CD,则∠B+∠BED+ ∠D=360°.其方法是过点E 作EF∥AB 或作EF∥ CD,利用“同旁内角互补,两直线平行”或“两直线平 行,同旁内角互补”来解答. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 12. 如图,过点C 作CN∥AB,过点E 作EM∥AB.因 为AB∥DF,所以AB∥CN∥EM∥DF.所以∠BAC= ∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE=∠DEM,∠MEA= ∠BAE.所以∠DEA=∠DEM+∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°.所 以 ∠FDE + ∠BAE + ∠BAC + ∠FDC=∠DEA+∠ACD=102°.因为DE 和AC 分别 平分 ∠FDC 和 ∠BAE,所 以 ∠FDC =2∠FDE = 2∠EDC,∠BAE=2∠BAC=2∠EAC.所以∠FDE+ ∠BAE+∠BAC+∠FDC=3(∠FDE+∠BAC).所 以∠BAC+∠FDE=34°.又因为∠BAC+∠FDC= ∠BAC+2∠FDE =56°,所 以 ∠FDE =22°.所 以 ∠FDC=2∠FDE=44°. 第12题 13. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.因为AB∥CD,所 以AB∥CD∥GR.所以∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.所 以∠1+∠2=∠EGR+∠FGR=∠EGF.因为∠1=30°, ∠EGF=75°,所以∠2=45°.(2) 因为FN 平分∠CFG, EM 平 分 ∠AEN,所 以 可 设 ∠CFN = ∠GFN =β, ∠AEM=∠NEM=α.如图②,过点G 作GP∥CD,过点 N 作NQ∥AB.又因为AB∥CD,所以 NQ∥AB∥CD∥ GP.所以∠QNF=∠CFN=β,∠QNE=∠AEN=2α, ∠PGE=∠AEM=α,∠PGF=∠DFG=180°-2β.所 以∠FNE = ∠QNF - ∠QNE =β-2α,∠FGE = ∠PGE+∠PGF=α+180°-2β.又 因 为∠FNE+ 1 2∠FGE=54° ,所以β-2α+ 1 2 (α+180°-2β)=54°,解 得α=24°.所 以∠AEN =2α=48°.(3) ∠EGF= 2∠EHF.理由:因为FK 平分∠CFG,EL 平分∠AEG, 所以可设∠CFK=∠GFK=n,∠AEL=∠LEG=m,如 图③,过点H 作HI∥CD,过点G 作GJ∥AB.因为AB∥ CD,所以GJ∥AB∥CD∥HI.所以∠JGE=∠AEG= 2m,∠JGF = ∠CFG =2n,∠IHK = ∠CFK =n, ∠IHL=∠AEL=m,所以∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m- n.所以∠EGF=2∠EHF. 第13题 专题五　全等三角形的基本模型 1. 因为AD=BE,所以AD+BD=BE+BD,即AB= DE.因为AC∥DF,所以∠A=∠EDF.因为BC∥EF, 所以 ∠ABC= ∠E.在 △ABC 和 △DEF 中,∠A = ∠EDF,AB =DE,∠ABC = ∠E,所 以 △ABC ≌ △DEF.所以BC=EF. 2. 选择条件不唯一,如①;理由:因为 AE∥BF,所以 ∠A=∠FBD.因为CE∥DF,所以∠ACE=∠D.在 △AEC 和 △BFD 中, ∠ACE=∠D, ∠A=∠FBD, AE=BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △AEC≌ △BFD.所以AC=BD.所以AC-BC=BD-BC,即 AB=CD. 3. 在△ACB 和△ADB 中,AC=AD,BC=BD,AB= AB,所以△ACB≌△ADB.所以∠CAE=∠DAE.在 △ACE 和△ADE 中,AC=AD,∠CAE=∠DAE,AE= AE,所以△ACE≌△ADE.所以CE=DE. 4. 因 为 ∠BAD = ∠EAC,所 以 ∠BAD + ∠CAD = ∠EAC+ ∠CAD,即 ∠BAC= ∠EAD.在 △BAC 和 △EAD 中, AB=AE, ∠BAC=∠EAD, AC=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△BAC≌△EAD. 所以∠D=∠C=50°. 5. 因为AE=BE,所以∠EAB=∠EBA.因为AB∥DC, 所以∠DEA=∠EAB,∠CEB=∠EBA.所以∠DEA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈