第5章 图形的轴对称-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

6 运动速度为15 4cm /s或9332cm /s. 第21题 第五章　图形的轴对称 一、 1. B 2. A 3. C 4. A 5. C 6. C 7. A 8. C 9. B 10. B 解析:因为边AB 的垂直平分线交AB 于点D,边 AC 的垂直平分线交AC 于点F,所以AE=BE,AG= CG.所以∠B=∠BAE,∠C=∠CAG.因为∠BAC= 80°,所 以 ∠BAE + ∠CAG = ∠B + ∠C =180°- ∠BAC=100°.所 以 ∠EAG = ∠BAE + ∠CAG - ∠BAC=100°-80°=20°. 综合运用线段垂直平分线 及等腰三角形的性质求角度 由线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离相等”可得到等边,进一 步由“等边对等角”得等角,再进一步利用三角形的内 角和为180°解决问题.若是存在两条垂直平分线,还要 注意整体思想的应用. 二、 11. A(或C) 12. 10 13. 3 14. 8 15. 360° 三、 16. 因为∠CAE=180°-∠BAC=∠1+∠2,∠B+ ∠C=180°-∠BAC,所以∠1+∠2=∠B+∠C.因为 AB=AC,所以∠C=∠B.因为AD 是∠CAE 的平分线, 所以∠1=∠2=12∠CAE. 所以∠B=∠1.所以AD∥BC. 17. (1) 如图,△A1B1C1即为所求.(2) 如图,连接BB1, CC1,则四边形BB1C1C为等腰梯形.因为每个小方格的 边长为1个单位长度,所以BB1=6,CC1=8.所以四边形 BB1C1C的面积为(6+8)×2× 1 2=14. (3) 如图,作线段 AB 的垂直平分线交直线l于点P,此时PA=PB. 第17题 18. 因为DE 垂直平分BC,所以DB=DC.所以∠B= ∠DCB=26°.所以∠ADC=180°-∠CDB=∠B+ ∠DCB=52°.因为CA=CD,所以∠A=∠ADC=52°. 所以∠ACD=180°-∠A-∠ADC=76°.所以∠ACB= ∠ACD+∠DCB=76°+26°=102°. 19. 过点D 作DF⊥AC,交CA 的延长线于点F.因为 CD 平分∠ACB,DE⊥BC,所以DF=DE.因为△ABC 的面积为14,所以S△BCD +S△ACD =14.因为 AC=4, BC=10,所以12BC ·DE+12AC ·DF=14,即5DE+ 2DE=14.所以DE=2. 遇角平分线作垂线段巧解面积问题 解决角平分线与面积综合问题的思路通常是过角 平分线上的某点作到角两边的垂线段,由角平分线的 性质知两垂线段相等,从而在角平分线的两侧构造了 等高三角形,运用三角形的面积公式列方程往往可巧 妙解决相关问题. 20. (1) 如图①,点O 即为所求.发现:点O 在对称轴 上.(2) 如图②,连接AC',CA'交于点O',连接CB',BC' 交于点O,点O,O'所在直线即为直线m,直线m 即为 所求.(3) 如图③,将△ABC 沿对称轴AM 对折,得到折 痕AM,再将BC沿BN 对折,使得点C 落在AM 上的点 D 处,连接BD,DC,△BCD 即为所求. 第20题 21. (1) 如图①,点C 即为所求.(2) 如图②,点E,F 即 为所求.(3) ① 如图③,点 M,N 即为所求.② 如图③, 因为∠BAE=125°,所以∠P+∠Q=180°-125°= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 55°.因为易得 BC,ED 分别垂直平分AP,AQ,所以 AM=PM,AN =QN.所 以 ∠P = ∠PAM,∠Q = ∠QAN.因 为 ∠AMN =180°- ∠AMP = ∠P + ∠PAM=2∠P,∠ANM =180°- ∠ANQ= ∠Q+ ∠QAN=2∠Q,所以∠AMN+∠ANM =2(∠P+ ∠Q)=2×55°=110°. ① ② ③ 第21题 利用轴对称变换求最小值 求“不在同一条直线上的几条线段的和的最小值” 或“周长的最小值”等问题时,解题的思路通常是通过 轴对称变换,将问题转化为“两点之间的最短距离”,根 据“两点之间,线段最短”知最小值即为两点之间的线 段的长度.解此类题的关键是作出某个(或几个)点关 于某条(或几条)直线的对称点. 第六章　变量之间的关系 一、 1. B 2. D 3. C 4. B 5. C 解决路程随时间变化的读图题的技巧 观察路程随时间变化的图象时,首先要看懂题意, 明确横轴、纵轴的实际意义,不要混淆“速度”与“路 程”,更不能混淆“路程与时间的关系”;其次是能分段 分析,注意图象的变化趋势及速度的变化情况. 6. D 7. D 8. C 9. D 10. B 二、 11. 时间 温度 12. 2 13. 12 14. 30 15. ①③④ 三、 16. (1) 反映了岩层的温度t(℃)与岩层的深度 h(km)之间的关系;岩层的深度h(km)是自变量,岩层的 温度t(℃)是因变量.(2) 深度h每增加1km,温度t上 升35℃.(3) 300℃;7km. 17. (1) 因 为 圆 的 半 径 为18cm,所 以 圆 的 面 积= 324πcm2.因为正方形边长为xcm,所以正方形的面积 为x2 cm2.所以y=324π-x2.(2) 324π-1;324π-81. 18. (1) D.(2) 根据题中正确图象中的相关数据可知儿童 家到学校的距离是1200米,儿童从家出发到田野所用时 间是25-15=10(分). 19. (1) 75;180.(2) y=40x-5(x-1)=35x+5.(3) 不 可能.理由:根据题意,得2024=35x+5,解得x= 2019 35 . 因为x为整数,所以总长度不可能为2 024cm. 20. (1) ① 补全图象如图所示.② 当x=4时,y=200.当 y的值最大时,x=21.(2) 答案不唯一,如当2≤x≤7时, y随x 的增大而增大.(3) 由图象,知当y=260时,x= 5或x=10或x=18或x=23,所以当5<x<10或18< x<23时,y>260,即当5<x<10或18<x<23时,适合 货轮进出此港口. 第20题 复习进阶自主检测 一、 1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. C 7. A 8. B 9. D 10. B 解析:因为 AB⊥BC,BE⊥AC,所以∠C+ ∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°,即∠C=∠ABE.在 △ABF 和 △ADF 中, AB=AD, ∠2=∠1, AF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △ABF ≌ △ADF.所以BF=DF.故选项A正确.所以∠ABE= ∠ADF.所以∠ADF=∠C.所以DF∥BC.故选项D正 确.因为∠FED=90°,所以DF>EF,即BF>EF.故选 项C 正 确.因 为 DF∥BC,∠ABE+ ∠EBC=90°, ∠ABE+ ∠BAC =90°,∠1= ∠2,所 以 ∠EFD = ∠EBC=∠BAC=2∠1.故选项B不正确. 二、 11. 256 12. 3 13. 140° 14. 95° 15. 9.6 解析:连接CP.根据题意,得 P1C=PC= P2C.所以P1P2=2CP.当CP⊥AB 时,CP 的长最小,此 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 第五章　图形的轴对称 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 新考向 数学文化 (滨州中考)数学中有 许多精美的曲线,以下是“悬链线”“黄金螺 旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其 中,不是轴对称图形的为 ( ) A B C D 2. 下列图形中,对称轴最多的是 ( ) A B C D 3. (宿迁中考)若等腰三角形有一个内角为 110°,则这个等腰三角形的底角是 ( ) A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° 4. (河北中考)如图,AD 与BC 交于点O, △ABO 和△CDO 关于直线PQ 对称,点A, B 的对称点分别是C,D.下列选项中,不一 定正确的是 ( ) 第4题 A. AD⊥BC B. AC⊥PQ C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD 5. 三条公路将A,B,C 三个村庄连成一个如图 所示的三角形区域,如果在这个区域内修建 一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的 距离相等,那么这个集贸市场应建的位置是 ( ) A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 第5题 第6题 6. 如图,在△ABC 中,分别以点B 和点C 为圆 心,大于1 2BC 的长为半径画弧,两弧相交于 点M,N,作直线 MN,交AC 于点 D,交 BC于点E,连接BD.如果AB=7,AC= 12,BC=6,那么△ABD 的周长为 ( ) A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 7. (常州中考)如图,在纸上画有∠AOB,将两 把直尺按图中的方式摆放,直尺边缘的交点 P 在∠AOB 的平分线上,则 ( ) 第7题 A. d1与d2一定相等 B. d1与d2一定不相等 C. l1与l2一定相等 D. l1与l2一定不相等 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 17 8. 如图,将长方形纸片ABCD 折叠,使点B 落 在边AD 上的点E 处,折痕FG 交BC 于点 G,交AB 于点F.若∠AEF=20°,则∠FGB 的度数为 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 第8题 第9题 9. 如图,在四边形ABCD 中,∠C=90°.若BD 平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四 边形ABCD 的面积是 ( ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 42 答案讲解 10. ★如图,在△ABC 中,∠BAC= 80°,边AB 的垂直平分线交AB 于点D,交BC 于点E,边AC 的 垂直平分线交AC 于点F,交BC 于点G, 连接AE,AG,则∠EAG 的度数为 ( ) 第10题 A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 二、 填空题(每题3分,共15分) 11. 新考向 传统文化 (甘肃中考)围棋起源 于中国,古代称为“弈”.如图所示为两名同 学的部分对弈图,轮到白方落子,观察棋 盘,白方如果落子于点 的位置,那 么所得的对弈图是轴对称图形(填A,B, C,D 中的一处即可,点A,B,C,D 位于棋 盘的格点上). 第11题 12. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于 点D,E,F 分别是AD 上的任意两点.若 △ABC 的面积为20cm2,则图中涂色部分 的面积为 cm2. 第12题 第13题 13. 如图,DE 是AB 的垂直平分线,连接AD. 已知△ABC 的周长为19,△ADC 的周长 为13,则BE 的长为 . 14. 如图,P 为∠AOB 内部任意一点,点P 与 点P1 关于OA 对称,点P 与点P2 关于 OB 对 称,OP =4,∠AOB =45°,则 △OP1P2的面积为 . 第14题 第15题 答案讲解 15. 如图,P 为△ABC 内的一点,D, E,F 分别是点P 关于边AB,BC, CA 所 在 直 线 的 对 称 点,那 么 ∠ADB+∠BEC+∠CFA= . 三、 解答题(共55分) 16. (8分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 ∠CAE 的平分线.求证:AD∥BC. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 18 17. (9分)如图,在正方形网格中,△ABC 三个 顶点在格点上,每个小方格的边长为1个 单位长度. (1) 请在正方形网格中画出△ABC 关于直 线l对称的△A1B1C1; (2) 由(1),连 接 BB1,CC1,求 四 边 形 BB1C1C 的面积; (3) 请在直线l上找一点P,使得PA=PB. 第17题 18. (8分)如图,在△ABC 中,∠B=26°,BC 的 垂直平分线分别交AB,BC 于点D,E.若 CA=CD,求∠ACB 的度数. 第18题 19. ★(9分)如图,CD 是△ABC 的角平分线, DE⊥BC,垂足为E.若AC=4,BC=10, △ABC 的面积为14,求DE 的长. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 19 20. (9分)我们知道:成轴对称的两个图形中, 对称点的连线被对称轴垂直平分.如图①, AB 与A'B'关于直线l对称,则l⊥AA'于 点M,l⊥BB'于点N,AM=A'M,BN= B'N. (1) 在图①中,连接AB',BA'交于点O,作 出图形,并写出你的发现. (2) 如图②,△ABC 与△A'B'C'关于直线 m 对称.请运用你的发现,只用无刻度的直 尺作出直线m,并说明作图过程. (3) 如图③,△ABC 是一张以BC 为底的 等腰三角形纸片,AC>BC.请运用你的方 法,通过折叠得到等边三角形BCD,并简述 折叠的过程. 第20题 答案讲解 21. ★(12分)(1) 如图①,直线同侧有 点A,B,在直线上求作一点C,使 它到A,B 两点的距离之和最小 (保留作图痕迹,不需要写作法). (2) 如图②,点P 在∠AOB 的内部,试在 OA,OB上分别找出两点E,F,使△PEF 的 周长最短(保留作图痕迹,不需要写作法). (3) ① 如图③,在五边形ABCDE 中,试在 BC,DE 上分别找出点M,N,使得△AMN 的周长最小(保留作图痕迹,不需要写作法); ② 若∠BAE=125°,∠B=∠E=90°,AB= BC,AE=DE,求∠AMN+∠ANM 的 度数. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶