第4章 三角形-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

4 球)= 2x2x+3x= 2 5 ,所以P(摸到白球)≠P(摸到红 球).所以这个办法不公平.(2) 根据题意,得3x-3=2x, 解得x=3.所以2x=6,3x=9,即原来袋子中红球有 6个,白球有9个. 20. (1) 因为转盘被等分成20个扇形,转动一次转盘获得 购物券有10种情况,所以P(转动一次转盘获得购物 券)=1020= 1 2. (2) P(获得200元购物券)=120 ,P(获得 100元购物券)=320 ,P(获得50元购物券)=620= 3 10 , 200×120+100× 3 20+50× 3 10=40 (元).因为40>30, 所以选择转动转盘对顾客更合算. 利用概率进行选择 在现实生活中,对于随机事件我们无法得出确定 性的结论,但随机事件发生的概率却是我们进行选择 的重要参考依据.如本题中的第(2)小题,我们需要对 每购买200元的商品“直接获得购物券的金额”与“转 动转盘获得的购物券金额的平均值”进行比较,选择其 中较大值.其中“转动转盘获得的购物券金额的平均 值”需要用概率计算,其平均值等于转动一次转盘,转 出的各颜色的概率与其获得的购物券的金额的积的 和.其他类似问题,可同理利用概率进行计算,从而进 行正确的选择. 第四章　三 角 形 一、 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. A 解析:因 为∠BAC=∠DAE,所 以∠BAC- ∠DAC=∠DAE-∠DAC.所以∠1=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠1=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△BAD≌△CAE.所 以∠ABD=∠2=30°.因为∠1=25°,所以∠ADB=180°- 30°-25°=125°.所以∠3=180°-125°=55°. 10. C 解析:如图,延长DE交AB的延长线于点F.因为E 为BC的中点,所以BE=EC.因为AB∥CD,所以∠F= ∠CDE.在△BEF 和△CED 中, ∠F=∠CDE, ∠BEF=∠CED, BE=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △BEF≌△CED.所以EF=DE,BF=CD=3.所以 AF=AB+BF=8.因为AE⊥DE,EF=DE,所以AF= AD=8. 第10题 二、 11. 稳定 12. 锐角 13. 18 14. 2 15. ①②④ 解析:因为∠AOB=∠COD=40°,所以 ∠AOB+ ∠AOD = ∠COD + ∠AOD,即 ∠AOC = ∠BOD.在△AOC 和△BOD 中, OA=OB, ∠AOC=∠BOD OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,所 以△AOC≌△BOD.所以∠OCA=∠ODB,AC=BD, ∠OAC=∠OBD.所 以①正 确.因 为 易 得∠AMB+ ∠OAC=∠AOB+∠OBD,所以∠AMB=∠AOB= 40°.所以②正确.如图,过点O 作OG⊥MC 于点G,作 OH⊥MB 于点H,则∠OGC=∠OHD=90°.在△OCG 和 △ODH 中, ∠OCA=∠ODB, ∠OGC=∠OHD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以 △OCG ≌ △ODH.所以OG=OH.所以易得 MO 平分∠BMC. 所以④正确.因为∠AOB=∠COD,所以当∠DOM= ∠AOM 时,OM 才 平 分 ∠BOC.假 设 ∠DOM = ∠AOM.因 为∠AOB=∠COD,所 以 易 得∠COM = ∠BOM.因 为 MO 平 分 ∠BMC,所 以 ∠CMO = ∠BMO. 在 △COM 和 △BOM 中, ∠COM=∠BOM, OM=OM, ∠CMO=∠BMO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△COM≌△BOM.所以OB= OC.因为OA=OB,所以OA=OC.与OA>OC 矛盾, 所以③错误.所以正确的有①②④. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 三、 16. (1) 如图,△ABC即为所求.(2) 是;SAS. 第16题 17. (1) 2<c<10;12<x<20.(2) ① 因为x 是小于 18的偶数,所以x=16或x=14.当x=16时,c=6;当 x=14时,c=4.② 当c=6时,因为a=4,b=6,所以b= c.所以△ABC为等腰三角形.当c=4时,因为a=4,b= 6,所以a=c.所以△ABC 为等腰三角形.综上所述, △ABC为等腰三角形. 三角形三边关系的应用技巧 三角形任意一边的长度小于其他两边之和,大于 其他两边之差,据此利用已知三角形两边的长度,可求 得第三边长度的取值范围,并进一步确定第三边长度 可取的特殊值或求得周长的取值范围等. 18. 因为 AD=CF,所以 AD+CD=CF+CD.所以 AC=DF.在△ABC 和△DEF 中, AB=DE, ∠A=∠EDF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以△ABC≌△DEF.所以∠B=∠E. 19. 选择不唯一,如选择①BF=DE.在△ABF 和△CDE 中, AB=CD, AF=CE, BF=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ABF≌△CDE.所以∠B=∠D.又 因为BF=DE,所以 BF+EF=DE+EF,即 BE= DF.在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ABE≌ △CDF.所以∠AEB=∠CFD.所以AE∥CF. 20. (1) 在△BOD 和△COE 中, ∠BOD=∠COE, ∠B=∠C, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 △BOD≌△COE.所以OD=OE.(2) 因为D,E分别是AB, AC的中点,所以AD=BD=12AB ,AE=CE=12AC. 因 为BD=CE,所以AD=AE,AB=AC.在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠A=∠A, AE=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以△ABE≌△ACD. 判定全等三角形的思路 判定全等三角形的思路如下表: 已知条件 寻找条件 理 由 两边 夹角 SAS 第三边 SSS 一边一角 任意一角 AAS或ASA 夹此角的另一边 SAS 两角 任意一边 ASA或AAS 21. (1) 如图①,当点P 在BC 上时,因为△APC 的面积 是△ABC面积的一半,所以S△APC= 1 2S△ABC. 所以易得 CP=12BC= 9 2cm. 此时点 P 运动的路程为AC+ CP=12+92= 33 2 (cm),运动的时间为332÷3= 11 2 (s),即 t=112. 如图②,当点P 在BA 上时,因为△APC的面积是 △ABC面积的一半,所以S△APC= 1 2S△ABC. 所以易得 AP=BP=12AB= 15 2cm. 此时点P 运动的路程为AC+ CB+BP=12+9+152= 57 2 (cm),运动的时间为572÷3= 19 2 (s),即t=192. 综上所述,当t=112 或t=192 时,△APC 的面积是△ABC面积的一半.(2) 因为△APQ≌△DEF, 所以点A 与点D 对应,点P 与点E 对应,点Q 与点F 对 应,AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm.如图③,当点P 在 AC上,点Q 在AB 上时,此时AP=4cm,AQ=5cm, 所以点Q 的运动速度为5÷(4÷3)=154 (cm/s).如图④, 当点P 在AB 上,点Q 在AC 上时,此时AP=4cm, AQ=5cm,点P 运动的路程为9+12+15-4=32(cm), 点Q 运动的路程为9+12+15-5=31(cm),所以点Q 的 运动速度为31÷(32÷3)=9332 (cm/s).综上所述,点Q 的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 运动速度为15 4cm /s或9332cm /s. 第21题 第五章　图形的轴对称 一、 1. B 2. A 3. C 4. A 5. C 6. C 7. A 8. C 9. B 10. B 解析:因为边AB 的垂直平分线交AB 于点D,边 AC 的垂直平分线交AC 于点F,所以AE=BE,AG= CG.所以∠B=∠BAE,∠C=∠CAG.因为∠BAC= 80°,所 以 ∠BAE + ∠CAG = ∠B + ∠C =180°- ∠BAC=100°.所 以 ∠EAG = ∠BAE + ∠CAG - ∠BAC=100°-80°=20°. 综合运用线段垂直平分线 及等腰三角形的性质求角度 由线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离相等”可得到等边,进一 步由“等边对等角”得等角,再进一步利用三角形的内 角和为180°解决问题.若是存在两条垂直平分线,还要 注意整体思想的应用. 二、 11. A(或C) 12. 10 13. 3 14. 8 15. 360° 三、 16. 因为∠CAE=180°-∠BAC=∠1+∠2,∠B+ ∠C=180°-∠BAC,所以∠1+∠2=∠B+∠C.因为 AB=AC,所以∠C=∠B.因为AD 是∠CAE 的平分线, 所以∠1=∠2=12∠CAE. 所以∠B=∠1.所以AD∥BC. 17. (1) 如图,△A1B1C1即为所求.(2) 如图,连接BB1, CC1,则四边形BB1C1C为等腰梯形.因为每个小方格的 边长为1个单位长度,所以BB1=6,CC1=8.所以四边形 BB1C1C的面积为(6+8)×2× 1 2=14. (3) 如图,作线段 AB 的垂直平分线交直线l于点P,此时PA=PB. 第17题 18. 因为DE 垂直平分BC,所以DB=DC.所以∠B= ∠DCB=26°.所以∠ADC=180°-∠CDB=∠B+ ∠DCB=52°.因为CA=CD,所以∠A=∠ADC=52°. 所以∠ACD=180°-∠A-∠ADC=76°.所以∠ACB= ∠ACD+∠DCB=76°+26°=102°. 19. 过点D 作DF⊥AC,交CA 的延长线于点F.因为 CD 平分∠ACB,DE⊥BC,所以DF=DE.因为△ABC 的面积为14,所以S△BCD +S△ACD =14.因为 AC=4, BC=10,所以12BC ·DE+12AC ·DF=14,即5DE+ 2DE=14.所以DE=2. 遇角平分线作垂线段巧解面积问题 解决角平分线与面积综合问题的思路通常是过角 平分线上的某点作到角两边的垂线段,由角平分线的 性质知两垂线段相等,从而在角平分线的两侧构造了 等高三角形,运用三角形的面积公式列方程往往可巧 妙解决相关问题. 20. (1) 如图①,点O 即为所求.发现:点O 在对称轴 上.(2) 如图②,连接AC',CA'交于点O',连接CB',BC' 交于点O,点O,O'所在直线即为直线m,直线m 即为 所求.(3) 如图③,将△ABC 沿对称轴AM 对折,得到折 痕AM,再将BC沿BN 对折,使得点C 落在AM 上的点 D 处,连接BD,DC,△BCD 即为所求. 第20题 21. (1) 如图①,点C 即为所求.(2) 如图②,点E,F 即 为所求.(3) ① 如图③,点 M,N 即为所求.② 如图③, 因为∠BAE=125°,所以∠P+∠Q=180°-125°= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 第四章　三 角 形 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. (淮安中考)用一根小木棒与两根长度分别 为3cm、5cm的小木棒组成三角形,则这根 小木棒的长度可以是 ( ) A. 9cm B. 7cm C. 2cm D. 1cm 2. 如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具 打碎成三块,他要带其中一块或两块碎片到 商店去配一块与原来一样的三角形模具,为 了省事应该带的碎片是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 第2题 第3题 3. 如图,△ABC≌△DEF,若AD=8,CF=2, 则AF 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 小明利用全等三角形的知识测量河流的宽 度AB,设计了如图所示的方案.在河边选了 一点O,然后在BO 的延长线上找一点C,使 OC=OB,在C 点沿与河边垂直的方向直走 到点D,观察到A,O,D 三点在同一条直线 上.测得CD 的长,就是河流的宽度AB,小 明这种测量方法的原理是 ( ) 第4题 A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. 如图,甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC 全 等的是 ( ) 第5题 A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 6. 如图,OB 平分∠AOC,D,E,F 分别是射线 OA、射线OB、射线OC 上的点,且与点O 都 不重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的 某一个,就能使△DOE≌△FOE,你认为要 添加的那个条件是 ( ) A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE=∠OED D. ∠ODE=∠OFE 第6题 第7题 7. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是∠BAC的平分线,∠BAC=60°,∠C=70°, 则∠DAE 的度数为 ( ) A. 15° B. 8° C. 10° D. 12° 8. 如图,用尺规作出了∠NCB=∠AOC,作图 痕迹中弧FG 是 ( ) 第8题 A. 以点C 为圆心,OD 的长为半径的弧 B. 以点C 为圆心,DM 的长为半径的弧 C. 以点E 为圆心,OD 的长为半径的弧 D. 以点E 为圆心,DM 的长为半径的弧 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 13 9. 如 图,AB =AC,AD =AE,∠BAC = ∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3的度数为 ( ) 第9题 A. 55° B. 50° C. 45° D. 60° 答案讲解 10. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥ DC,E 为BC 的中点,连接DE, AE,AE⊥DE.若AB=5,CD= 3,则AD 的长为 ( ) 第10题 A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 二、 填空题(每题3分,共15分) 11. 新情境 日常生活 胶州湾大桥是一座斜 拉式大桥,斜拉式大桥多采用三角形结 构,使其不易变形,这是利用了三角形的 性. 12. 已知△ABC的三个内角度数之比为2∶3∶ 4,则△ABC 按角分是 三角形. 13. 如图,点G 为△ABC 的重心,D,E,F 分别 为BC,CA,AB 的中点,AG∶GD=BG∶ GE=CG∶GF=2∶1.若△AFG 的面积为 3,则△ABC 的面积为 . 第13题 14. 如图,在△ADE 和△ABC 中,∠E=∠C, DE=BC,EA=CA,过点A 作AF⊥DE, 垂足为F,AE 与BC 交于点G,△ABG 的 面积为8,AF=8,则BG 的长是 . 第14题 答案讲解 15. 如 图,在△OAB 和△OCD 中, OA=OB,OC=OD,OA>OC, ∠AOB=∠COD=40°,连接AC, BD 交于点 M,连接 OM.有下列结论: ① AC=BD;② ∠AMB=40°;③ OM 平分 ∠BOC;④ MO 平分∠BMC.其中,正确的 有 (填序号). 第15题 三、 解答题(共55分) 16. (8分)如图,已知线段a,b和∠α,按要求用 尺规作图(不必写作法,保留作图痕迹). (1) 求 作△ABC,使 AB=b,BC=a, ∠ABC=2∠α; (2) 填空:(1)中作出的三角形 (填“是”或“不是”)唯一的,其作图依据是 . 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 14 17. ★(8分)已知a,b,c是△ABC 的三边长, a=4,b=6,设△ABC 的周长是x. (1) 直接写出c及x的取值范围. (2) 已知x是小于18的偶数. ① 求c的长; ② 判断△ABC 的形状. 18. (8分)如图,点A,D,C,F 在同一条直线 上,且AD=CF,AB=DE,∠A=∠EDF. 试说明:∠B=∠E. 第18题 19. (9分)新考法 条件开放 如图,AB= CD,点E,F 在线段BD 上,且AF=CE. 请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE; ③AF=CF 中,选择一个合适的作为已知 条件,使 得 △ABF ≌ △CDE.并 求 证: AE∥CF. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 15 20. ★(10分)如图,D,E 分别是AB,AC 的中 点,BE,CD 相交于点O,∠B=∠C,BD= CE.试说明: (1) OD=OE; (2) △ABE≌△ACD. 第20题 答案讲解 21. (12分)在△ABC 中,∠C=90°, BC=9cm,AC=12cm,AB= 15cm,现有一动点P,从点A 出 发,沿着AC-CB-BA 运动,回到点A 停止, 速度为3cm/s,设运动的时间为ts. (1) 如图①,当t为何值时,△APC 的面积 是△ABC 面积的一半? (2) 如图②,∠E=90°,DE=4cm,DF= 5cm,∠D=∠A.在△ABC 的边上,若另 外有一个动点Q,与点P 同时从点A 出 发,沿着AB-BC-CA 运动,回到点A 停止. 若在两点运动过程中的某一时刻,恰好有 △APQ≌△DEF,求点Q 的运动速度. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶