第2章 相交线与平行线-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

4 第二章　相交线与平行线 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列四个图形中,∠1与∠2是对顶角的为 ( ) A B C D 2. 如图,沿笔直小路DE 的一侧种植两棵小树 B,C,小明在点A 处测得AB=5 m,AC= 7m,则点A 到DE 的距离可能为 ( ) 第2题 A. 4m B. 5m C. 6m D. 7m 3. 新考向 数学文化 ★风筝是我国古代劳动 人民发明于春秋时期的产物,其材质在不断 改进之后,坊间开始用纸做风筝,称为“纸 鸢”.如图所示的纸骨架中,与∠1构成同位 角的是 ( ) 第3题 A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 4. 下列各图中,已知∠1=∠2,能判断AB∥CD 的是 ( ) A B C D 5. 如图,点O 在直线AB 上,OC⊥AB,OE⊥ OF,若∠AOE=45.2°,则∠COF 的度数为 ( ) A. 45°12' B. 45°20' C. 44°48' D. 44°80' 第5题 第6题 6. (赤峰中考)将一副三角尺按如图所示的方 式摆放,使有刻度的两条边互相平行,则∠1 的度数为 ( ) A. 100° B. 105° C. 115° D. 120° 7. 如图,有下列条件:① ∠1=∠3;② ∠2+ ∠4=180°;③ ∠4=∠5;④ ∠2=∠3; ⑤ ∠6=∠2+∠3.其中,能判断直线l1∥l2 的有 ( ) 第7题 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 新情境 日常生活 某市为了方便市民绿色 出行,推出了共享单车服务.如图所示为某 品牌共享单车的示意图,其中AB,CD 都与 地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当 AM 与CB 平行时,∠MAC 的度数为( ) 第8题 A. 16° B. 60° C. 66° D. 114° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 5 9. ★如图,小明将一块直角三角尺摆放在直尺 上,则∠ABC 与∠DEF 的关系是 ( ) 第9题 A. 互余 B. 互补 C. 同位角 D. 同旁内角 答案讲解 10. 新考法 数学实验 (大庆中考) 如图,在一次综合实践课上,为检 验纸带①②的边线是否平行,小庆 和小铁采用了两种不同的方法:小庆把纸 带①沿AB 折叠,量得∠1=∠2=59°;小铁 把纸带②沿GH 折叠,发现GD 与GC 重 合,HF 与HE 重合,且点C,G,D 在同一 条直线上,点E,H,F 也在同一条直线上, 则下列判断正确的是 ( ) 第10题 A. 纸带①②的边线都平行 B. 纸带①②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行,纸带②的边线不 平行 D. 纸带①的边线不平行,纸带②的边线 平行 二、 填空题(每题3分,共15分) 11. 如图所示为一个风车的示意图,当CD 旋转 到与地面EF 平行的位置时,AB (填“能”或“不能”)同时与地面EF 平行,理 由是 . 第11题 12. 如图,直线a∥b,∠BAC=90°,∠1=50°,则 ∠2= . 第12题 13. 如 图,∠AOB 和 ∠BOC 互 为 补 角,且 ∠BOC∶∠AOB=4∶1,射线 OD 平分 ∠AOB,射线OE⊥OD,则∠BOE= . 第13题 14. 新情境 数学与生活 如图,林林同学按虚 线剪去长方形纸片的相邻两个角,并使∠1= 120°,由于不小心,把点B 处的角撕坏了, 测得∠BCD=30°,被撕坏了的∠ABC= . 第14题 答案讲解 15. ★已知∠α的两边与∠β的两边分 别平行,且∠α的度数比∠β的度 数的一半多30°,则∠α的度数为 . 三、 解答题(共55分) 16. (8分)如图,P 是∠AOB 的边OB 上的点. (1) 过点P 画OB 的垂线,交OA 于点C; (2) 过点P 画OA 的垂线,垂足为H; (3) 根据(1)(2),线段PH 的长度是点P 到直线 的距离,线段 的 长度是点C 到直线OB 的距离; (4) 线段PC,PH,OC 长度的大小关系是 (用“<”连接). 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 6 17. (6分)如图,直线l1∥l2,AB⊥l1,垂足为 O,BC 与l2 相交于点E,若∠1=41°,求 ∠ABC 的度数. 第17题 18. ★(9分)如图,直线CD 与直线EF 相交于 点O,∠BOE=∠AOD=90°. (1) 找出图中相等的锐角,并说明理由; (2) 直接写出∠BOD 的余角; (3) 直接写出∠DOF 的补角. 第18题 19. (8分)如图①,平面内有∠α. (1) 尺规作图:如图②,在∠AOB 的内部作 ∠AOD=∠α(保留作图痕迹,不需要写出 作法); (2) 若(1)中所作的∠AOD=40°,OE 平分 ∠BOC,∠AOE=2∠BOE,求∠BOD 的 度数. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 7 20. ★(10分)如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,∠B=80°. (1) 求∠BAD 的度数. (2) AE 平 分 ∠BAD 交 BC 于 点 E, ∠BCD=50°.试判断AE 与DC 的位置关 系,并说明理由. 第20题 答案讲解 21. (14分)(1) 问题发现:如图①,直 线AB∥CD,连接BE,CE,可以发 现∠BEC=∠B+∠C.请把下面 的证明过程补充完整: 证明:过点E 作EF∥AB, 所以∠B=∠BEF( ). 因为AB∥DC,EF∥AB, 所以EF∥DC( ). 所以∠C=∠CEF. 因为∠B+∠C=( + ), 所以∠BEC=∠B+∠C(等量代换). (2) 探究:如果点E运动到图②所示的位置, 其他条件不变,试说明∠B+∠C=360°- ∠BEC. (3) 解决问题:如图③,AB∥DC,E,F 是 AB 与CD 之间的点,请求出∠B,∠E, ∠F,∠D 之间的数量关系. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 1 1 复习进阶 第一章　整式的乘除 一、 1. B 2. D 3. A 4. D 5. D 6. C 7. D 逆用幂的运算法则解题 逆用同底数幂的乘、除法法则和幂的乘方法则时, 可化指数为所需形式;逆用积的乘方法则时,可改变运 算顺序,使底数结合相乘,化底数为所需形式,从而巧 妙解题. 8. B 9. C 10. B 解析:原式= 1-15 × 1+15 × 1-16 × 1+16 × 1-17 × 1+17 × … × 1-199 × 1+199 × 1- 1100 × 1+ 1100 =45×65×56×76× 6 7× 8 7× …×9899× 100 99× 99 100× 101 100= 4 5× 101 100 =101125. 二、 11. 4.3×10-17 科学记数法中“n”的确定技巧 科学记数法的形式为a×10n,其中1≤|a|<10, 即a是整数位数只有一位的数,n是整数.当表示绝对 值大于等于10的数时,n是正整数,n等于原数的整数 位数减1.当表示绝对值小于1的数时,n 是负整数, |n|等于原数中从左往右数第一个非零数字前面所有 零的个数(包括小数点前面的零). 12. -x6 13. (2n2+n)÷n-n n+1 14. 29 15. 4 三、 16. (1) 原式=9(x-y)2-(9x2-4xy)=9x2- 18xy+9y2-9x2+4xy=9y2-14xy,当x=-3,y= -13 时,原式=9× -13 2 -14×(-3)× -13 =9× 1 9-14×3× 1 3 =1-14=-13.(2) 原式=20242- (2024-1)×(2024+1)=20242-(20242-1)= 20242-20242+1=1. 17. (1) 根据题意可得,0.43=6.4×10-2(m3),所以这个 盲盒的体积是6.4×10-2 m3.(2) 6.4×10-2÷(1× 10-3)3=64000000(个),所以需要64000000个这样的 小立方块才能将盲盒装满. 18. (1) ① 一.② x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+ 2xy-x2-2x-1+2x=2xy-1.(2) 因为A=2x+y, B=2x-y,所以 AB-B2=(2x+y)(2x-y)- (2x-y)2=(4x2-y2)-(4x2-4xy+y2)=4x2-y2- 4x2+4xy-y2=4xy-2y2. 因未正确使用平方差公式和完全平方公式致错 对于平方差公式及完全平方公式,要明确其来源 于多项式的乘法运算,在具体运算中要明确公式中a,b 对应的部分.特别地,在运用完全平方公式时,注意其 展开式为三项,不要丢掉“两数积的2倍”的项,且注意 平方项的符号都为正,还要注意不要混淆差的平方与 和的平方. 19. (1) 由题意得,这块用地是长方形,长为3a+2b+ (2a-b)=(5a+b)米,宽为4a米,所以这块用地的总面 积为(5a+b)×4a=(20a2+4ab)平方米.(2) 由题意得, 商厦用地的宽为2a-b=60-50=10(米),长为4a- 3a=a=30米.所以商厦的用地面积为30×10=300(平 方米). 20. (1) m+n;m-n.(2) (m+n)2=(m-n)2+4mn. (m+n)2=m2+2mn+n2=m2-2mn+n2+4mn=(m- n)2+4mn.(3) 由(2)得(a+b)2=(a-b)2+4ab.因 为a-b=6,ab=-8,所以(a+b)2=62+4×(-8)= 4.所以a+b=±2. 第二章　相交线与平行线 一、 1. C 2. A 3. A 正确识别同位角的方法 两条直线被第三条直线所截,我们称第三条直线 是截线,两条被截的直线是被截线.位于截线同侧,在 被截线同一方向上的两个角是同位角.如果两个角共 用一个顶点或出现四条线,那么这两个角一定不是同 位角. 4. D 5. A 6. B 7. D 8. C 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 9. A 平行线中的“构造法” 平行线的性质与判定所用到的基本图形都是两直 线被第三条直线所截,若是没有截线,则通常过两平行 线间或外部的拐点作平行线,以构造两平行线被第三 条直线所截的基本图形,然后利用平行线的性质解决 问题. 10. D 解析:如图,对于纸带①,因为∠1=∠2=59°, 所以∠1=∠ADB=59°.所以∠DBA=180°-∠ADB- ∠2=62°.由翻折的性质得,∠ABC=∠DBA=62°,所 以∠DBE=180°-∠ABC-∠DBA=56°.所以∠1≠ ∠DBE.所以AD 与EB 不平行.对于纸带②,由翻折的性 质得,∠CGH=∠DGH,∠EHG=∠FHG,又因为点C, G,D 在同一条直线上,点E,H,F 也在同一条直线上, 所以 ∠CGH + ∠DGH =180°,∠EHG+ ∠FHG= 180°.所以∠CGH=∠DGH=90°,∠EHG=∠FHG= 90°.所以∠CGH+∠EHG=180°.所以CD∥EF.综上 所述,纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行. 第10题 二、 11. 不能 过直线外一点,有且只有一条直线与已知 直线平行 12. 40° 13. 72° 14. 90° 15. 60°或80° 解析:因为∠α的度数比∠β的度数的一 半多30°,所以∠α=12∠β+30°.① 当∠α=∠β时,得 1 2∠β+30°=∠β ,解得∠β=60°,所以∠α=60°.② 当 ∠α+∠β=180°时,得 1 2∠β+30°+∠β=180° ,解得 ∠β=100°,所以∠α= 1 2×100°+30°=80°. 综上所述,∠α 的度数为60°或80°. 因考虑不全面导致漏解 在同一平面内,当两个角的两边互相平行时,这两 个角相等或互补.本题中没有给出图形,易因考虑不全 面导致漏解. 三、 16. (1) 如图,PC 即为所求.(2) 如图,PH 即为所 求.(3) OA;PC.(4) PH<PC<OC. 第16题 17. 过点B 作BD∥l1.因为AB⊥l1,所以易得∠ABD= 90°.因为l1∥l2,BD∥l1,所以BD∥l2.所以∠CBD= ∠1=41°.所 以 ∠ABC= ∠CBD + ∠ABD =41°+ 90°=131°. 18. (1) ∠EOC=∠DOF.理由:对顶角相等或同角的补 角相 等.∠BOD=∠FOA.理 由:同 角 的 余 角 相 等. (2) ∠BOD 的余角有∠DOF,∠EOC.(3) ∠DOF 的补 角有∠DOE,∠FOC,∠AOB. 寻找补角或余角时因忽略数量关系而导致漏解 互余、互补都是指两个角之间的数量关系,与位置 关系无关.往往在图形中找一个角的余角或补角时,只 注意位置关系,而忽略数量关系,导致漏解.要注意只 要在数量上满足两个角的和是90°或180°,两个角便是 互余或互补的关系. 19. (1) 如图①②,∠AOD 即为所求.(2) 因为OE 平分 ∠BOC,所 以 ∠COE = ∠BOE.又 因 为 ∠AOE = 2∠BOE,所 以 ∠AOB = ∠BOE.所 以 ∠AOB = 1 3∠AOC=60°. 因 为 ∠AOD =40°,所 以 ∠BOD = ∠AOB-∠AOD=60°-40°=20°. 第19题 20. (1) 因为AD∥BC,所以∠B+∠BAD=180°.因为 ∠B=80°,所以∠BAD=100°.(2) AE∥DC.理由:由 (1),得∠BAD =100°.因 为 AE 平 分 ∠BAD,所 以 ∠DAE=12∠BAD=50°. 因为AD∥BC,所以∠AEB= ∠DAE =50°.因 为 ∠BCD =50°,所 以 ∠AEB = ∠BCD.所以AE∥DC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 判断两直线是否平行的方法 要判断两直线是否平行,首先要找到两直线的截 线(有时需要构造截线),若是多条,可逐条观察,再寻 找同位角或内错角或同旁内角,最后根据平行线的判 定进行判断. 21. (1) 两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠BEF; ∠CEF.(2) 过点E 作EF∥AB.因为AB∥CD,所以 AB∥CD∥EF.所以∠B+∠BEF=180°,∠C+∠CEF= 180°.所以∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°.所以 ∠B+∠C+∠BEC=360°.所以∠B+∠C=360°- ∠BEC.(3) 如图,过点E 作EG∥AB,过点F 作FH∥ CD.因为AB∥CD,所以EG∥AB∥FH∥CD.所以∠B= ∠1,∠2=∠3.所以∠1+∠2=∠B+∠3.所以∠BEF= ∠B+∠3,即∠3=∠BEF-∠B.因为∠4+∠D=180°, 所以∠4=180°-∠D.所以∠3+∠4=∠BEF-∠B+ 180°-∠D.所以∠EFD=∠BEF-∠B+180°-∠D,即 ∠B+∠D+∠EFD-∠BEF=180°. 第21题 第三章　概率初步 一、 1. B 2. A 3. A 4. D 因对概率的意义理解不透彻而导致错误 本题容易按确定事件计算,误认为中奖的次数 为3×13=1 ,从而错选A.对于随机事件,得出确定性 结论,是易犯的错误,究其原因是对概率的意义理解不 透彻.注意:随机事件具有不确定性,不论可能性(概 率)有多大,都不能得到确定性结论,这是随机事件的 属性使然. 5. A 6. A 7. B 8. C 9. A 几何概型概率的计算方法 计算几何概型的概率,一般是将面积进行转化,化 不规则的图形面积为规则的图形面积,再利用几何概 型 的 计 算 公 式 “P (A ) = 事件A 所有可能结果所组成的图形面积 所有可能结果所组成的图形面积 ”进行计算. 10. D 二、 11. ②①③ 12. 0.9 频率与概率的关系 在进行大量试验时,随着试验次数的增加,一个随 机事件发生的频率逐渐稳定到某一个数值,在这个数 值附近摆动,这个数值便是概率.因此可利用平稳时的 频率来估计这个事件发生的概率.注意:频率是变化 的,概率是固定的,虽然多次试验的频率逐渐稳定于其 理论概率,但是无论做多少次试验,试验频率仍然是概 率的一个近似值,而不能等同于概率,两者之间存在着 一定的偏差. 13. 1 3 14. 不公平 小兰 12 15. 4 9 三、 16. (1) 是随机事件;(2) 是不可能事件;(3) 是必然 事件. 17. (1) 0.7.(2) 观察表格得,随着投掷次数的增加,小石 子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.4.设封闭图形的 面积为a 平方米.根据题意,得4πa=0.4 ,解得a=10π, 所以估计整个封闭图形ABCD 的面积是10π平方米. 18. (1) P(红色)=120360= 1 3 ,P(白色)=360-120360 = 2 3. (2) 设计方案不唯一,如图所示. 第18题 19. (1) 因为P(摸到白球)= 3x2x+3x= 3 5 ,P(摸到红 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈