24.1.4 圆周角 （课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册

24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 复习回顾 问题1 什么是圆心角？ 问题2 圆心角及其所对的弧、弦之间的关系是什么？ 顶点在圆心的角叫做圆心角. 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 导入新知 如图，∠ACB的顶点和边有哪些特点？ ∠ACB的顶点在 O上,角的两边分别交 O于A、B两点. 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 小试牛刀 练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 顶点不在圆上 边AC没有与圆相交 顶点不在圆上 顶点不在圆上且边AC没有与圆相交 边AB、AC没有与圆相交 新知探究 如图，连接CO，BO，得到圆心角∠BOC,可以发现∠BOC与∠BAC对着同一条弧，试猜想∠BOC与∠BAC存在怎样的数量关系？ ∠BAC = ∠BOC 圆周角定理： 同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. 新知探究 在 O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，试猜想∠BOC与∠BAC之间的关系，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？ (1)圆心O在∠BAC的一边上 (2)圆心O在∠BAC的内部 (3)圆心O在∠BAC的外部 证明： OA=OC ∠A=∠C ∠BOC=∠A+∠C ∠A= ∠BOC 证明： 连接AO并延长交圆O于点D ∠BAC=∠BAD+∠DAC = (∠BOD+∠DOC)= ∠BOC 证明： 连接AO并延长交圆O于点D ∠BAC=∠DAC-∠DAB = （∠DOC-∠DOB）= ∠BOC 结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 互动探究 问题1 如图，OB，OC都是圆O的半径，点A，D是圆上任意两点,连接AB,AC, BD，CD，∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. ∠BAC与∠BDC相等 证明： 在 O中， ∠BAC= ∠BOC ∠BDC= ∠BOC ∠BAC=∠BDC 结论：同弧或等弧所对的圆周角相等. 互动探究 如图，线段AB是 O的直径，点C是 O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？ 解： OA=OB=OC ∠OAC=∠OCA，∠OCB=∠OBC 又 ∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC=180° ∠OCA+∠OCB= （∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC)= 180°=90° ∠ACB=∠OCA+∠OCB=90° 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 练一练 1. 如图（1），AB是 O的直径，∠A=10°，则∠ABC=_________. 80° 2. 求出图（2）中∠BCD的大小为________. 3. 求出图（3）中∠BOC的大小为________. 65° 128° (1) (2) (3) 例题精析 例4 如图24.1-14， O的直径AB为10cm，弦AC为6cm,∠ACB的平分线交 O于点D，求BC，AD，BD的长. 24.1-14 合作探究 如图，四边形ABCD是 O的内接四边形， O是四边形ABCD的外接圆，思考圆内接四边形的对角之间有什么关系？ 利用圆周角定理，我们可以得到圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补. 小试牛刀 1. 如图（1）所示，点A，B，C均在 O上，若∠ACB=130°，则∠AOB=____. 2.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是1：2：3，则四边形ABCD中最大角的度数是______. 100° 135° 课堂小结 本节课学到了什么？ $$