第2章 1 认识一元二次方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

69 第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 1. 一元二次方程的定义:只含有 个未 知数,并且未知数的最高次数是 的 式方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式:我们把 (a,b,c为常数,a 0)称为一元二次 方程的一般形式,其中 、 、 分别称为一元二次方程的二次项、 一次项和常数项, 、 分别 称为二次项系数和一次项系数. 3. 一元二次方程解的估算:要估算由实际问题 所列的一元二次方程的近似解,先根据问题 确定解的大致范围,再把一元二次方程化为 形式,最后通过计算进行两边夹 逼,逐步获得方程的近似解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 下列方程中,是关于x 的一元二次方程 的为 ( ) A. x2+1x=0 B. ax2+bx+c=0 C. (x-1)(x-2)=0 D. 3x2+x=x2+2x2 先将方程化简整理后,再结合一元二次方 程的概念及特征进行判断. 解答: 解有所悟:判断一个方程是否是一元二次方程,首 先看方程是否是整式方程,若不是整式方程,则直 接排除;若是整式方程,则进行化简,看方程是否同 时满足:“一元”“二次”且二次项的系数不能为0,这 几个条件缺一不可. 典例2 把方程12 (x-1)2=3x+13 化成一般形 式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项. 将方程通过去分母、去括号、移项、合并同 类项等步骤化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形 式,再判断出二次项系数、一次项系数和常 数项. 解答: 解有所悟:任何一个一元二次方程都可以通过去分 母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为一般形 式,一般形式不是唯一的,但习惯上都把二次项系 数化为正整数.在一般形式中,ax2是二次项,bx 是 一次项,c是常数项.其中a,b分别是二次项系数, 一次项系数. 典例3 观察下表: x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 5x2-24x+28 9 3.25 0 -0.75 1 5.25 从表中你能得出方程5x2-24x+28=0的根是 多少吗? 如果能,写出方程的根;如果不能,请 写出方程根的大致范围. 观察表格中5x2-24x+28的值,找出值 为0的x所对应的值或范围,问题即可解答. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 70 解答: 解有所悟:在估算一元二次方程的近似解时,要细 心观察表格中的对应数据,再根据方程的数据找到 x的值或范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列方程是一元二次方程的为 ( ) A. 2x2+x-y=0 B. ax2+4x-5=0 C. x+1=0 D. x2-1=0 2. 一元二次方程(3x-1)2=5x化简成一般形式 后,二次项系数为9,其一次项系数为 ( ) A. 1 B. -1 C. -11 D. 11 3. 根据下表中的对应值判断关于x 的一元二 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x 的范围是 ( ) x 4.21 4.22 4.23 ax2+bx+c -0.11 -0.05 0.02 A. x<4.21 B. 4.21<x<4.22 C. 4.22<x<4.23 D. x>4.23 第4题 4. 小区有一块正方形的空地, 后来从这块空地上划出部分 区域进行绿化(如图),原空 地一边减少了1m,另一边 减少了2m,剩余空地的面 积为20m2,求原正方形空地的边长.设原正 方形空地的边长为x m,则可列方程为 (化成一般式). 5. (资阳中考)如果a 是一元二次方程x2+ 2x-3=0的一个根,那么2a2+4a 的值是 . 6. 观察表格,一元二次方程x2-x-1.1=0最 精确 的 一 个 近 似 解 是 (精 确 到0.1). x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2-x-1.1-0.54-0.35-0.140.09 0.34 7. 一元二次方程a(x2+1)+b(x+2)+c=0 化为一般形式后为6x2+10x-1=0,则以a,b 为两条对角线长的菱形的面积为 . 8. 判断下列几个方程是否是一元二次方程,把 其中的一元二次方程化为一般形式. (1) 1 x+1=x-1 ; (2) 3(x-1)2=2+x2; (3) (2x+3)x=x2. 9. 把方程(x+3)(2x-5)+x(3x-1)=0化为 一般形式,并指出二次项系数a、一次项系数 b及常数项c,求b2-4ac的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 71 答案讲解 10. 已知(m-2)x|m|-2x+3=0是关 于x的一元二次方程,求m 的值. 11. 填写下表: x -2 -1 0 1 2 3 4 x2-5x+6 x2-4x+2 (1) 根据上表,写出方程x2-5x+6=0 的根; (2) 根据上表,写出方程x2-4x+2=0的 两个根x1,x2(x1<x2)分别在哪两个整数 之间. [综合提升] 答案讲解 12. 根据关于x的一元二次方程x2+ px+q=0,可列表如下: x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+px+q -1 -0.59-0.160.29 0.76 方程x2+px+q=0的正数解满足 ( ) A. 整数部分是1,十分位是1 B. 整数部分是1,十分位是2 C. 整数部分是1,十分位是3 D. 整数部分是1,十分位是4 13. (龙东地区中考)若关于x 的一元二次方程 (m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后 不含一次项,则m 的值为 . 答案讲解 14. 列出符合下面题意的方程,并将其 化为一元二次方程的一般形式. (1) 某次会议上,每两名参加者都 握手一次,经统计共握手28次,求参加这 次会议的人数.若设有x人参加这次会议. (2) 一个两位数等于它的两个数位上数字 的积的3倍,十位上的数字比个位上的数 字小2,求这个两位数.设十位上的数字 为x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 26 △QGF.∴ AH=QF=2.∵ S△FCG = 1 2CG ·QF= 1 2CG×2=2 ,∴ CG=2.∴ DG=CD-CG=6. 第23题 24. (1) ∵ 四边形EFGH 是矩形,∴ GF=EH,EH∥ GF.∴ ∠GFH=∠EHF.∵ ∠BFG=180°-∠GFH, ∠DHE=180°-∠EHF,∴ ∠BFG=∠DHE.∵ 四边 形ABCD 是菱形,∴ AD∥BC.∴ ∠GBF=∠EDH.在 △BGF 和△DEH 中, ∠BFG=∠DHE, ∠GBF=∠EDH, GF=EH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGF≌ △DEH.∴ BG=DE.(2) ① 如图①,连接EG.∵ 四边 形ABCD 是菱形,∴ AD∥BC,AD=BC.∵ E 为AD 的 中点,∴ AE=ED.由(1),得BG=DE,∴ AE∥BG, AE=BG.∴ 四边形ABGE 是平行四边形.∴ AB=EG. ∵ 四边形EFGH 是矩形,∴ EG=FH=4.∴ AB=4. ∴ 菱形ABCD 的边长为4.② 如图②,连接AC,AC 与 BD 交于点O.∵ 四边形ABCD 是菱形,∠ABC=60°, ∴ ∠ABO=30°,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∴ 在 Rt△ABO 中,OA=12AB=2.∴ AC=2OA=4.∴ OB= AB2-OA2= 42-22=23.∴ BD=2OB=43. ∴ 菱形ABCD 的面积=12AC ·BD=12×4×43= 83. 第24题 第二章　一元二次方程 1 认识一元二次方程 知识梳理 1. 一 2 整 2. ax2+bx+c=0 ≠ ax2 bx c a b 3. 一般 典例演练 典例1 C 解析:A选项含有分式1x ,该方程不是整式方 程,因此不是一元二次方程;B选项二次项的系数不能确 定是否为0,若为0,则不是一元二次方程;C选项整理后, 得x2-3x+2=0,是一元二次方程;D选项整理后,得 x=0,这是一元一次方程,不是一元二次方程. 典例2 方程两边同乘6,得3(x-1)2=18x+2.去括号, 得3x2-6x+3=18x+2.移项、合并同类项,得3x2- 24x+1=0.此方程的二次项系数为3,一次项系数为 -24,常数项为1. 典例3 不能.根据表格中的数据,可以发现:当x=2时, 5x2-24x+28=0,∴ 方程5x2-24x+28=0有一个根 是x=2.又∵ 当x=2.5时,5x2-24x+28=-0.75,当 x=3时,5x2-24x+28=1,∴ 方程5x2-24x+28=0 的另一个根的范围是2.5<x<3. 预学训练 1. D 2. C 3. C 4. x2-3x-18=0 5. 6 6. 1.7 7. 30 解析:∵ a(x2+1)+b(x+2)+c=0,∴ ax2+ bx+a+2b+c=0.∵ 一元二次方程a(x2+1)+b(x+ 2)+c=0化为一般形式后为6x2+10x-1=0,∴ a=6, b=10.∴ S菱形=12×6×10=30. 8. 根据一元二次方程的概念,(1)方程不是一元二次方 程;(2)(3)方程是一元二次方程,化为一般形式分别为 2x2-6x+1=0和x2+3x=0. 9. 原方程化为一般形式为5x2-15=0,二次项系数a为 5,一次项系数b为0,常数项c为-15,b2-4ac=0-4× 5×(-15)=300. 10. 根据题意,得 m-2≠0, |m|=2, 解得m=-2. 11. 填表如下: x -2 -1 0 1 2 3 4 x2-5x+6 20 12 6 2 0 0 2 x2-4x+2 14 7 2 -1 -2 -1 2 (1) x=2或x=3.(2) x1 在0和1之间,x2 在3和4 之间. 12. B 13. -3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 14. (1) 1 2x (x-1)=28,化成一般形式为x2-x-56= 0.(2) ∵ 十位上的数字为x,∴ 个位上的数字为x+2. 根据题意,得10x+(x+2)=3x(x+2).整理,得3x2- 5x-2=0. 2 用配方法求解一元二次方程 知识梳理 1. ≥0 开平方 2. 完全平方式 典例演练 典例1 移项,得13 (2x-2)2=16.两边同乘3,得(2x- 2)2=48.两边开平方,得2x-2=±43,即2x-2= 43或2x-2=-43,解得x1=1+23,x2=1-23. 典例2 (1) 移项,得x2-2x=5.配方,得x2-2x+1= 5+1,即(x-1)2=6.两边开平方,得x-1=± 6. ∴ x1=1+6,x2=1- 6.(2) 两边同除以3,得x2- 1 3x-8=0. 移项,得x2-13x=8. 配方,得x2-13x+ 1 6 2 =8+ 16 2 ,即 x-16 2 = 176 2 .两边开平方, 得x-16=± 17 6.∴ x1=3,x2=- 8 3. 预学训练 1. B 2. C 3. A 4. B 5. x1=-3+2,x2=-3- 2 6. x-14 2 =4916 7. 1+3或1-3 8. (1) 移项,得3x2=27.两边同除以3,得x2=9.两边开 平方,得x=±3.∴ x1=3,x2=-3.(2) 两边同除以 -23 ,得(x-1)2=92. 两边开平方,得x-1=±322 . ∴ x1= 2+32 2 ,x2= 2-32 2 . 9. (1) 移项,得x2-10x=-9.配方,得x2-10x+ 25=-9+25,即(x-5)2=16.两边开平方,得x-5= ±4.∴ x1=9,x2=1.(2) 整理方程,得x2+4x=21.配 方,得x2+4x+4=21+4,即(x+2)2=25.两边开平方, 得x+2=±5.∴ x1=-7,x2=3.(3) 两边同除以2,得 x2-32x+ 1 16=0. 移项,得x2-32x=- 1 16. 配方,得 x2-32x+ 3 4 2 = 34 2 -116 ,即 x-34 2 =12. 两边 开平方,得x-34=± 2 2.∴ x1= 3+22 4 ,x2= 3-22 4 . (4) 移项,得3x2-6x=2.两边同除以3,得x2-2x=23. 配方,得x2-2x+1=23+1 ,即(x-1)2=53. 两边开平 方,得x-1=± 153 .∴ x1=1- 15 3 ,x2=1+ 15 3 . 10. 解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3. ∴ 最小整数解为-2.将a=-2代入方程x2+2ax+a+ 1=0,得x2-4x-1=0.配方,得(x-2)2=5.直接开平 方,得x-2=±5.∴ x1=2+5,x2=2-5. 11. (1) ∵ (x+m)2=12 ,∴ x2+2mx+m2=12. ∴ x2+2mx+m2-12=0.∴ 2x2+4mx+2m2-1=0. ∴ 4m=-6,2m2-1=p,解得m=- 3 2 ,p= 7 2. (2) 由 (1),得原方程为2x2-6x+72=0 ,整理,得x2-3x= -74. 配方,得 x-32 2 =12.∴ x-32=± 2 2 ,解得 x1= 3+2 2 ,x2= 3-2 2 . 12. 设这个最小数为x,则最大数为(x+8).依题意,得 x(x+8)=65.整理,得x2+8x-65=0.配方,得(x+ 4)2=81,解得x1=5,x2=-13(不合题意,舍去).∴ 这 个最小数为5. 13. C 14. 6 -3 15. (1) 正确.(2) 能.∵ x2-5x+4=x2-5x+254- 25 4 + 4 = x- 5 2 2 - 94 ,且 x-52 2 ≥ 0, ∴ x-52 2 -94≥- 9 4.∴ x2-5x+4的最小值 是-94. 3 用公式法求解一元二次方程 知识梳理 1. ax2+bx+c=0(a≠0) b2-4ac≥0 x= -b± b2-4ac 2a 2. b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈