第1章 3 正方形的性质与判定-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

24 16. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ BA∥CD. ∴ ∠BAE=∠FDE.∵ E 为线段AD 的中点,∴ AE= DE.在 △BEA 和 △FED 中, ∠BAE=∠FDE, AE=DE, ∠BEA=∠FED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEA≌△FED.∴ EB=EF.又∵ AE=DE,∴ 四 边形ABDF 是平行四边形.∵ ∠BDF=90°,∴ 四边形 ABDF 是矩形.(2) 由(1),得四边形ABDF 是矩形, ∴ ∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD.∴ AF= AD2-DF2= 52-32=4.∴ S矩形ABDF=DF·AF= 3×4=12,BD=AF=4.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB=3.∴ S△BCD= 1 2BD ·CD=12×4×3=6. ∴ 四边形ABCF的面积=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18. 3 正方形的性质与判定 知识梳理 1. 相等 直角 平行四边形 2. (1) 直角 相等 (2) 相等 垂直平分 3. (1) 相等 (2) 垂直 (3) 直角 (4) 相等 典例演练 典例1 (1) ∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ AB=CD, ∠ABE=∠CDF=45°.又∵ BE=DF,∴ △ABE≌ △CDF.(2) 如图,连接AC,交BD 于点O.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥BD,AB=BC,AO=CO, BO=DO.又∵ BE=DF,∴ OE=OF.∴ 四边形AECF 是平行四边形.∵ AC⊥EF,∴ 四边形AECF 是菱形. ∵ AB=32,∴ AC= AB2+BC2=6=BD.∵ BE= DF=2,∴ EF=2.∴ 四边形AECF 的面积=12AC · EF=12×6×2=6. 典例1图 典例2 (1) 90°-α.(2) AF=DE.∵ 四边形ABCD 为 正方形,∴ ∠AOD=∠COD=90°,AC=BD,OA= 1 2AC ,OD=12BD.∴ OA=OD.∵ ∠DOF=∠COE= α,∴ ∠AOD-∠DOF=∠COD-∠COE,即∠AOF= ∠DOE.∵ △OEF 为等腰直角三角形,∴ OF=OE.在 △AOF 和△DOE 中, OA=OD, ∠AOF=∠DOE, OF=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOF≌ △DOE.∴ AF=DE. 典例3 (1) ∵ AD 是△ABC 的角平分线,∴ ∠EAD= ∠FAD.∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠AED=∠AFD= 90°.在 △AED 和 △AFD 中, ∠EAD=∠FAD, ∠AED=∠AFD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED≌△AFD.∴ AE=AF.∴ AD⊥EF.(2) 当 △ABC满足∠BAC=90°时,四边形AEDF 是正方形.理 由:∵ ∠AED=∠AFD=∠BAC=90°,∴ 四边形AEDF 是矩形.由(1),得AD⊥EF,∴ 四边形AEDF是正方形. 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. B 5. B 6. 答案不唯一,如 AB=AD 7. 70° 8. 2 9. 不会 10. ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA=OC, OB=OD.∵ BE=DF,∴ OE=OF.∴ 四边形AECF 是 平行四边形.∵ AC⊥EF,∴ 四边形 AECF 是菱形. ∵ OE=OA=OF,∴ OE=OF=OA=OC,即EF=AC. ∴ 四边形AECF 是正方形. 11. (1) ∵ 四边形BEDF 为正方形,∴ EB=DF.∵ 四 边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=DC.∴ AB-EB= DC-DF.∴ AE=CF.(2) ∵ ▱ABCD 的面积为20, AB=5,四边形BEDF 为正方形,∴ DE⊥AB.∴ 5DE= 20,DE=EB.∴ DE=EB=4.∴ AE=AB-EB=5- 4=1.由(1),知AE=CF,∴ CF=1. 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠B=∠D=∠C= 90°.∵ AE=AF,∴ ∠AFE=∠AEF.∵ ∠CEF=45°, ∠C=90°,∴ ∠CFE=45°.∴ 易得∠AEB=∠AFD. ∴ △ABE≌△ADF.∴ AB=AD.∴ 矩形ABCD 是正 方形.(2) ∵ AE=AF=32,BE=1,∠B=90°,∴ 由勾 股定理,得AB= AE2-BE2= (32)2-12= 17. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ S正方形ABCD=(17)2=17. 13. D 14. 6 15. 90° 16. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形,四边形EFGH 是菱形, ∴ AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 ∴ ∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB,即∠ADE= ∠CDG.在 △ADE 和 △CDG 中, AD=CD, ∠ADE=∠CDG, ED=GD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CDG.(2) 如图,过点E 作EQ⊥DF 于点 Q,则∠EQB=90°.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠A= 90°,AD=AB=AE+BE=2+2=4,∠EBQ=∠CBD= 45°.∴ ∠QEB=45°=∠EBQ.∴ EQ=BQ.∵ BE=2, ∴ EQ2+BQ2=22.∴ EQ=BQ=2.在Rt△DAE 中,由 勾股定理,得 DE= AD2+AE2 = 42+22 =2 5. ∵ 四边形EFGH 是菱形,∴ EF=DE=25.∴ QF= EF2-EQ2= (25)2-(2)2=32.∴ BF=QF- BQ=32-2=22. 第16题 第一章预学检测 一、 1. D 2. C 3. B 4. C 5. A 6. C 7. B 8. A 二、 9. 矩形 10. 答案不唯一,如AB=CD 11. 22 12. 24 5 13. 4 14. 23 15. 1 16. ①③④ 三、 17. (1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ CD=CB, ∠DCE=∠BCE.∵ CE=CE,∴ △DCE≌△BCE. (2) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ DC∥AF.∴ ∠CDF= ∠AFD.由(1),得△DCE≌△BCE,∴ ∠EDC=∠EBC. ∴ ∠AFD=∠EBC. 18. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ BC=CD,∠BCD= 90°.∵ CE⊥BG,DF⊥CE,∴ ∠BEC=∠DFC=90°. ∴ ∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF.∴ ∠CBE= ∠DCF.在 △CBE 和 △DCF 中, ∠CBE=∠DCF, ∠BEC=∠CFD, BC=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△DCF.∴ BE=CF,CE=DF.∵ CE= CF+EF,∴ DF=BE+EF. 19. (1) 将矩形ABCD 沿对角线AC折叠,则AD=BC= EC,∠D=∠B=∠E=90°.在△DAF 和△ECF 中, ∠DFA=∠EFC, ∠D=∠E, DA=EC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF≌△ECF.(2) 由(1),得 △DAF≌△ECF,∴ ∠DAF=∠ECF=40°.∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠DAB=90°.∴ ∠EAB=∠DAB- ∠DAF=90°-40°=50°.由折叠,得∠EAC=∠CAB, ∴ ∠CAB=25°. 20. 选择的条件不唯一,如(1) ①.(2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A=∠C.在△ADE 和△CDF 中, ∠1=∠2, ∠A=∠C, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE ≌ △CDF.∴ AD =CD. ∴ ▱ABCD 为菱形. 21. (1) ∵ ∠ACB=90°,M 为边AB 的中点,∴ MC= MA=MB.∴ ∠MCA=∠A,∠MCB=∠B.∵ ∠A= 50°,∴ ∠MCA=50°.∴ ∠MCB=∠B=90°-50°=40°. ∴ ∠EMC= ∠MCB+ ∠B=80°.∵ ∠ACE=30°, ∴ ∠MEC=∠A+∠ACE=80°.∴ ∠MEC=∠EMC. ∴ CE=CM.(2) ∵ AB=4,M 为 边AB 的 中 点, ∴ CE=CM=12AB=2.∵ EF⊥AC,∠ACE=30°, ∴ EF=12CE=1.∴ FC= CE2-EF2= 22-12=3. 22. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OB=OD, OA=OC.∵ E,F分别为OA,OC的中点,∴ OE=12OA , OF=12OC.∴ OE=OF.又∵ OB=OD,∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.∴ BE=DF.(2) 当k=2时,四边 形DEBF 是矩形.理由:∵ AC BD=2 ,∴ AC=2BD.由(1), 得OE=12OA ,OF=12OC ,四边形DEBE 是平行四边 形,∴ EF= 12 (OA+OC)= 12AC ,即 AC=2EF. ∴ EF=BD.∴ 四边形DEBF 是矩形. 23. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠A=∠D=90°. ∴ ∠DGH+∠DHG=90°.∵ 四边形EFGH 是菱形, ∴ EH=GH.∵ AH =2,DG=2,∴ AH =DG. ∴ Rt△AEH ≌ Rt△DHG.∴ ∠AHE = ∠DGH. ∵ ∠DGH+∠DHG=90°,∴ ∠AHE+∠DHG=90°. ∴ ∠EHG=90°.∴ 四边形EFGH 是正方形.(2) 如图, 过点F 作FQ⊥DC,交DC的延长线于点Q,连接EG,则 ∠Q=90°.∴ ∠A=∠Q=90°.由矩形和菱形的性质,知 AB∥DC,HE∥GF,∴ ∠AEG=∠QGE,∠HEG= ∠FGE.∴ ∠AEH=∠QGF.∵ EH=GF,∴ △AEH≌ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 3　正方形的性质与判定 1. 正方形的定义:有一组邻边 ,并且 有一个角是 的 叫做正 方形. 2. 正方形的性质: (1) 正方形的四个角都是 ,四条边 . (2) 正 方 形 的 对 角 线 且 互 相 . 3. 正方形的判定: (1) 有一组邻边 的矩形是正方形. (2) 对角线互相 的矩形是正方形. (3) 有一个角是 的菱形是正方形. (4) 对角线 的菱形是正方形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(雅安中考)如图,E,F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点,且BE=DF. (1) 求证:△ABE≌△CDF; (2) 若AB=32,BE=2,求四边形AECF 的 面积. 典例1图 (1) 根据正方形的性质得出AB=CD, ∠ABE=∠CDF=45°,再利用SAS即可证明 结论;(2) 由正方形的性质,可以判断四边形 AECF 是菱形,再利用菱形的面积公式“对角线 乘积的一半”进行计算. 解答: 解有所悟:正方形是特殊的平行四边形,也是特殊 的菱形和矩形,因此正方形具有这三种图形的所有 性质.同时正方形的特殊角、轴对称性、中心对称性 及旋转对称的性质也经常会用到. 典例2 如图①,等腰直角三角形OEF 的直角顶 点O 为正方形ABCD 的中心,点C,D 分别在 OE和OF上.现将△OEF绕点O按逆时针方向 旋转α(0°<α<90°),连接AF,DE(如图②). (1) 在图②中,∠AOF= (用含α的式 子表示); (2) 在图②中,猜想AF 与DE 的数量关系,并 证明你的结论. 典例2图 (1) 正方形的对角线互相垂直,再结合旋 转的性质即可求解.(2) 由图形可猜想AF= DE.由正方形的对角线相等且互相垂直平分的 性质,易证△AOF≌△DOE,进而证明猜想 成立. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 62 解有所悟:正方形绕其中心每旋转90°便与自身重 合,也就是说正方形是旋转对称图形,旋转中心是 两条对角线的交点(中心对称图形是特殊的旋转对 称图形).过旋转中心的每组互相垂直的直线将正 方形分成的四部分全等,若直角三角形的直角顶点 在旋转中心上,另两顶点在正方形外,则直角三角 形无论怎样旋转,其与正方形重叠部分的面积恒为 正方形面积的1 4. 典例3(兴安盟中考)如图,AD 是△ABC 的角 平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E, F,连接EF,EF 与AD 相交于点H. (1) 求证:AD⊥EF. (2) 当△ABC 满足什么条件时,四边形AEDF 是正方形? 请说明理由. 典例3图 (1) 根据AAS证明△AED≌△AFD,进 而利用全等三角形的性质及等腰三角形三线合 一的性质解答即可;(2) 根据对角线垂直的矩 形是正方形,只需判断四边形AEDF 是矩形即 可解答. 解答: 解有所悟:在平行四边形、矩形或菱形的基础上添 加相关条件就可以判断一个四边形是正方形.对于 探究使一个图形是正方形的条件的问题,我们在求 解时往往需要假设得到的四边形是正方形的情形 下探究某些边或角所具有的关系,再由添加的条件 来完成证明过程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列说法中,正方形具有而矩形不具有的性 质是 ( ) A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 四个角都为直角 D. 对角线互相平分 2. (玉林中考)如图,一个四边形顺次添加下列 条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对 边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一 组邻边相等;d.一个角是直角.顺次添加的 条件:① a→c→d;② b→d→c;③ a→b→c. 其中,正确的是 ( ) 第2题 A. ① B. ③ C. ①② D. ②③ 3. (黄石中考)如图,正方形OABC 的边长为 2,将正方形OABC 绕原点O 按顺时针方 向旋转45°,则点B的对应点的坐标为( ) A. (-2,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,2) 第3题 第4题 答案讲解 4. (泰州中考)如图,P 为AB 上任意 一点,分别以AP,PB 为边在AB 同侧 作 正 方 形 APCD,正 方 形 PBEF.设∠CBE=α,则∠AFP 的度数为 ( ) A. 2α B. 90°-α C. 45°+α D. 90°-12α 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 63 5. (青岛中考)如图,O 为正方形ABCD 对角线 AC 的中点,△ACE 为等边三角形.若AB= 2,则OE 的长为 ( ) A. 6 2 B. 6 C. 22 D. 23 第5题 第6题 6. (龙东地区中考)如图,在矩形ABCD 中,对 角线AC,BD 相交于点O,在不添加任何辅 助线的情况下,请添加一个条件: , 使矩形ABCD 是正方形. 7. 如图,在正方形ABCD 中,F 为边CD 上一 点,BF 与AC 交于点E.若∠CBF=25°,则 ∠AED 的度数为 . 第7题 第8题 8. 如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=6cm, BC=8cm.现将其沿AE 对折,使得点B 落 在边AD 上的点B1处,折痕与边BC 交于点 E,则CE 的长为 cm. 9. (常州中考)如图,将一个边长为20cm的正 方形活动框架(边框粗细忽略不计)扭动成 四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋,其拉 伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD= 60°,则橡皮筋AC 断裂(填“会”或 “不会”,参考数据:3≈1.732). 第9题 10. (邵阳中考)如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,点E,F 在对角线BD 上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形 AECF 是正方形. 第10题 11. (随州中考)如图,在▱ABCD 中,点E,F 分别在边AB,CD 上,且四边形BEDF 为 正方形. (1) 求证:AE=CF; (2) 已知▱ABCD 的面积为20,AB=5,求 CF 的长. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 64 12. 如图,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在边 BC,CD 上,且AE=AF,∠CEF=45°. (1) 求证:四边形ABCD 是正方形; (2) 若AF=32,BE=1,求四边形ABCD 的面积. 第12题 [综合提升] 13. (玉林中考)若顺次连接四边形ABCD 各边 的中点所得的四边形是正方形,则四边形 ABCD 的两条对角线AC,BD 一定是 ( ) A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等 14. 如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 在 AB 上,且BE=1,F 为对角线AC 上一动 点,则△BFE 周长的最小值为 . 第14题 第15题 答案讲解 15. 如图,在△ABC 中,O 是AC 上一 动点,过点O 作直线MN∥BC,设 MN 交∠BCA 的平分线于点E, 交△BCA 的外角平分线于点F.若点O 运 动到AC的中点处,则当∠ACB= 时,四边形AECF 是正方形. 答案讲解 16. (遵义中考)将正方形ABCD 和菱 形EFGH 按照如图所示的方式摆 放,顶点D 与顶点H 重合,菱形 EFGH 的对角线HF 经过点B,点E,G 分 别在AB,BC 上. (1) 求证:△ADE≌△CDG; (2) 若AE=BE=2,求BF 的长. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级