第1章 2 矩形的性质与判定-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

57 2　矩形的性质与判定 1. 矩形的定义: 有一个角是 的 四边形叫 做矩形. 2. 矩形的性质: (1) 矩形的四个角都是 . (2) 矩形的对角线 . 3. 直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角 形斜边上的中线等于斜边的 . 4. 矩形的判定: (1) 对角线 的 是矩形. (2) 有三个角是 角的 是 矩形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB 的长是 ( ) 典例1图 A. 3cm B. 6cm C. 10cm D. 12cm 根据矩形的对角线相等且互相平分可得 OA=OB,由∠AOB=60°,判断出△AOB 是等 边三角形,根据等边三角形的性质求出AB 的 长即可. 解答: 解有所悟:矩形的每条对角线将矩形分成两个全等 的直角三角形,两条对角线将矩形分成四个等腰三 角形.特别地,在对角线所夹锐角为60°的矩形中, 两条对角线将矩形分成四个三角形,其中矩形的宽 所在的三角形是等边三角形;每条对角线将矩形分 成两个含有30°角的直角三角形.因此解决矩形问 题常用到直角三角形和等腰(边)三角形的性质. 典例2(宜昌中考)如图,在矩形ABCD 中,E 是边AD 上一点,F,G 分别是BE,CE 的中点, 连接AF,DG,FG.若AF=3,DG=4,FG=5, 则矩形ABCD 的面积为 . 典例2图 由矩形的性质得出∠BAE=∠CDE= 90°,AD∥BC,由直角三角形斜边上的中线的性 质及三角形中位线定理求出BE,CE,BC 的 长,由勾股定理的逆定理得出△BCE 是直角三 角形,再计算S△BCE= 1 2BE ·CE,从而求出矩 形ABCD 的面积. 解答: 解有所悟:与中点有关的知识有直角三角形斜边上 的中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形三 线合一的性质等,有时会综合几种知识于同一题 中,要注意灵活运用.必要时可添加辅助线,构造相 关性质的基本图形求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 58 典例3(泰州中考)如图,线段DE 与AF 分别 为△ABC 的中位线与中线. (1) 求证:AF 与DE 互相平分. (2) 当线段AF 与BC 满足怎样的数量关系时, 四边形ADFE 为矩形? 请说明理由. 典例3图 (1) 根据线段中点的定义可得 AD= 1 2AB ,根据三角形的中位线定理可得 EF∥ AB,EF=12AB ,从而可得EF=AD,进而可得 四边形ADFE 是平行四边形,然后利用平行四 边形的性质即可解答;(2) 当AF=12BC 时,四 边形ADFE 为矩形,再根据三角形的中位线定 理可得DE=12BC ,从而可得AF=DE,然后 利用(1)的结论即可解答. 解答: 解有所悟:证明矩形的思路有两种.思路一:若已知 四边形是平行四边形,则只要再证明一个角是直角 或再证明两条对角线相等即可.思路二:若没有平 行四边形的条件,则考虑证明三个角是直角,直接 得到矩形或先证明四边形是平行四边形,再按思路 一证明即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的 性质是 ( ) A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. (聊城中考)要检验一个四边形的桌面是否 为矩形,可行的测量方案是 ( ) A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距 离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 3. (永州中考)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,∠C=60°,D 为边AC 的中点,BD=2, 则BC 的长为 ( ) A. 3 B. 23 C. 2 D. 4 第3题 第4题 4. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,E,F 分别是AB,AO 的中点, 且AC=8,则EF 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. (邵阳中考)已知矩形的一边长为6cm,一条 对角线的长为10cm,则该矩形的面积为 cm2. 6. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥DC,AD∥ BC,在不添加任何辅助线的前提下,要想使 四边形ABCD 成为一个矩形,只需要添加的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 59 一个条件是 . 第6题 第7题 7. (株洲中考)如图,线段BC 为等腰三角形 ABC的底边,矩形ADBE 的对角线AB 与 DE交于点O.若OD=2,则AC= . 8. (黔东南中考)如图,矩形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,DE∥AC,CE∥BD. 若AC=10,则四边形 OCED 的 周 长 是 . 第8题 9. (新疆生产建设兵团中考)如图,在矩形 ABCD 中,点E 在边BC 上,点F 在BC 的 延长线上,且BE=CF.求证: (1) △ABE≌△DCF; (2) 四边形AEFD 是平行四边形. 第9题 答案讲解 10. 如图,在△ABC 中,AD,BE 分别 为边BC,AC 上的高,垂足为D, E,M 为AB 的中点,N 为DE 的 中点,求证:MN⊥DE. 第10题 11. (鄂州中考)如图,在矩形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,且∠CDF=∠BDC, ∠DCF=∠ACD. (1) 求证:DF=CF; (2) 若 ∠CDF =60°,DF =6,求 矩 形 ABCD 的面积. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 60 答案讲解 12. (六盘水中考)如图,在▱ABCD 中,AE 平 分 ∠BAC,CF 平 分 ∠ACD. (1) 求证:△ABE≌△CDF. (2) 当△ABC 满足什么条件时,四边形 AECF 是矩形? 请说明理由. 第12题 [综合提升] 13. 如图,在面积为S的菱形ABCD 中,O 为对 角线的交点,E 是线段BC 的中点,过点E 作EF⊥BD 于点F,EG⊥AC 于点G,则四 边形EFOG 的面积为 ( ) A. 1 4S B. 1 8S C. 1 12S D. 1 16S 第13题 第14题 答案讲解 14. (湘西中考)如图,菱形ABCD 的 对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作 DH ⊥AB 于 点 H,连 接 OH,OH =4.若菱形 ABCD 的面积为 323,则CD 的长为 ( ) A. 4 B. 43 C. 8 D. 83 15. 如图,在矩形ABCD 中,AB=2,E 是AC 的中 点,∠AED =120°,则 AD 的 长 为 . 第15题 答案讲解 16. (云南中考)如图,在▱ABCD 中, 连接BD,E 为线段AD 的中点, 延长BE 与CD 的延长线交于点 F,连接AF,∠BDF=90°. (1) 求证:四边形ABDF 是矩形; (2) 若AD=5,DF=3,求四边形ABCF 的 面积. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 22 预学训练 1. C 2. C 3. D 4. A 5. 答案不唯一,如AB=AD 6. (2,-5) 7. 8 8. 12 9. 90° 10. ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ BC=CD,∠ABC= ∠ADC.∵ ∠ABC+∠CBE=180°,∠ADC+∠CDF= 180°,∴ ∠CBE = ∠CDF.在 △CBE 和 △CDF 中, CB=CD, ∠CBE=∠CDF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△CDF.∴ CE=CF. 11. 如图,连接BD 交AC 于点O.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵ AE=CF, ∴ OE=OF.∴ 四边形DEBF 是平行四边形.∵ EF⊥ BD,∴ 四边形DEBF 是菱形. 第11题 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=BC=CD= AD,∠B=∠D.∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB= ∠AFD = 90°. 在 △ABE 和 △ADF 中, ∠AEB=∠AFD, ∠B=∠D, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ADF.(2) 设菱形的边 长为x.∴ AB=CD=x.∵ CF=2,∴ DF=x-2.由 (1),得 △ABE≌ △ADF,∴ BE=DF=x-2.在 Rt△ABE 中,根据勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即 42+(x-2)2=x2,解得x=5.∴ 菱形的边长是5. 13. (1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∠B=∠D. ∵ AE⊥BC, AF⊥CD,∴ ∠AEB=∠AFD=90°.在 △AEB 和 △AFD 中, ∠B=∠D, BE=DF, ∠AEB=∠AFD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB ≌ △AFD.∴ AB=AD.∴ ▱ABCD 是菱形.(2) 如图,连 接BD 交AC 于点O.∵ 四边形ABCD 是菱形,AC=6, ∴ AC⊥BD,OA=OC=12AC=3 ,OB=OD=12BD. ∵ AB=5,OA=3,∴ 在Rt△AOB 中,由勾股定理,得 OB= AB2-OA2=4.∴ BD=2OB=8.∴ S▱ABCD= 1 2AC ·BD=12×6×8=24. 第13题 14. B 解析:∵ D,E 分 别 是 边 AC,AB 的 中 点, ∴ DE=12BC ,DE∥BC.∵ M,N 分别是OB,OC 的中 点,∴ MN=12BC ,MN∥BC.∴ DE=MN,DE∥MN. ∴ 四边形DEMN 为平行四边形.∵ BD⊥CE,∴ 四边形 DEMN 为 菱 形.∵ OB =8,OC =6,∴ BC = OB2+OC2=10.∴ DE=MN=EM=DN=5.∴ 四 边形DEMN 的周长是20. 15. 3+1 解析:如图,连接DE,BD.∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ 点B,D 关于直线AC 对称.∴ 易知DE 的长 即为PE+PB 的最小值.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°,∴ CD=CB,∠BCD=60°.∴ △BCD 为等 边三角形.∵ E 为BC 的中点,∴ DE⊥BC,BE=CE= 1 2BC= 1 2×2=1.∴ 在Rt△DCE 中,由勾股定理,得 DE= CD2-CE2= 22-12= 3.∴ △PBE 周长的 最小值=DE+BE=3+1. 第15题 16. (1) ∵ CF∥AB,∴ ∠ADF=∠CFD,∠DAC= ∠FCA.∵ E 是AC 的中点,∴ AE=CE.∴ △ADE≌ △CFE.∴ AD=CF.(2) 当AC⊥BC 时,四边形ADCF 是菱形.由(1),知 AD=CF.∵ AD∥CF,∴ 四边形 ADCF 是平行四边形.∵ D 是AB 的中点,E 是AC 的中 点,∴ DE∥BC.∵ AC⊥BC,∴ AC⊥DE,即AC⊥DF. ∴ 四边形ADCF 是菱形. 2 矩形的性质与判定 知识梳理 1. 直角 平行 2. (1) 直角 (2) 相等 3. 一半 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 4. (1) 相等 平行四边形 (2) 直 四边形 典例演练 典例1 A 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ OA= 1 2AC ,OB=12BD ,AC=BD=6cm.∴ OA=OB= 3cm.∵ ∠AOB =60°,∴ △AOB 是 等 边 三 角 形. ∴ AB=OA=3cm. 典例2 48 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠BAE= ∠CDE=90°,AD∥BC.∵ F,G 分别是BE,CE 的中点, AF=3,DG=4,FG=5,∴ BE=2AF=6,CE=2DG=8, BC=2FG=10.∴ BE2+CE2=BC2.∴ △BCE 是直角 三角形,且∠BEC=90°.∴ S△BCE= 1 2BE ·CE=12× 6×8=24.∵ AD∥BC,∴ S矩形ABCD =2S△BCE =2× 24=48. 典例3 (1) ∵ 线段DE 与AF 分别为△ABC 的中位线 与中线,∴ D 是AB 的中点,E 是AC的中点,F 是BC 的 中点.∴ AD=12AB ,EF 是△ABC 的中位线.∴ EF∥ AB,EF=12AB.∴ EF=AD.∴ 四边形ADFE 是平行 四边形.∴ AF 与DE 互相平分.(2) 当AF=12BC 时, 四边形ADFE 为矩形.理由:∵ 线段DE 为△ABC 的中 位线,∴ DE=12BC.∵ AF=12BC ,∴ AF=DE.由(1), 得四边形ADFE是平行四边形,∴ 四边形ADFE为矩形. 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. A 5. 48 6. 答案不唯一,如 ∠A=90° 7. 4 8. 20 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AB=CD,∠ABC= ∠DCB=90°.∴ ∠ABE=∠DCF=90°.在△ABE 和 △DCF 中, AB=DC, ∠ABE=∠DCF, BE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △DCF. (2) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AD=BC,AD∥BC. ∵ BE=CF,∴ BE+EC=CF+EC.∴ BC=EF=AD. 又∵ AD∥BC,∴ 四边形AEFD 是平行四边形. 10. 如 图,连 接 ME,MD.∵ AD ⊥BC,BE⊥AC, ∴ ∠AEB=∠ADB=90°.∵ M 为AB 的中点,∴ ME= 1 2AB ,MD=12AB.∴ ME=MD.∵ N 为DE 的中点, ∴ MN⊥DE. 第10题 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ OC=12AC ,OD= 1 2BD ,AC=BD.∴ OC=OD.∴ ∠ACD=∠BDC. ∵ ∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,∴ ∠CDF= ∠DCF.∴ DF=CF.(2) 由(1),可 知 DF=CF. ∵ ∠CDF=60°,∴ △CDF 是等边三角形.∴ CD= DF=6.∵ ∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,∴ △OCD 是等边三角形.∴ OC=OD=6.∴ BD=2OD=12.∵ 四 边形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠BCD =90°.∴ BC = BD2-CD2= 122-62 =6 3.∴ S矩形ABCD =BC· CD=63×6=363. 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, ∠B=∠D,AB∥CD.∴ ∠BAC=∠ACD.∵ AE 平分 ∠BAC,CF 平 分 ∠ACD,∴ ∠BAE = ∠CAE = 1 2∠BAC ,∠DCF=∠ACF=12∠ACD.∴ ∠BAE= ∠DCF.在 △ABE 和 △CDF 中, ∠B=∠D, AB=CD, ∠BAE=∠DCF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF.(2) 当△ABC 满足AB=AC 时,四 边形AECF 是矩形.理由:由(1),易知∠CAE=∠ACF, ∴ AE∥CF.∵ △ABE≌△CDF,∴ AE=CF.∴ 四边形 AECF 是平行四边形.又∵ AB=AC,AE 平分∠BAC, ∴ AE⊥BC.∴ ∠AEC=90°.∴ 四边形AECF 是矩形. 13. B 14. C 解析:∵ DH⊥AB,∴ ∠BHD=90°.∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OB=OD,OC=OA=12AC ,AC⊥ BD.∴ OH=OB=OD=12BD.∴ OD=4,BD=8.由题 意,得 1 2AC ·BD=32 3,∴ AC=8 3.∴ OC= 1 2AC=43.∴ CD= OC2+OD2=8. 15. 23 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 16. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ BA∥CD. ∴ ∠BAE=∠FDE.∵ E 为线段AD 的中点,∴ AE= DE.在 △BEA 和 △FED 中, ∠BAE=∠FDE, AE=DE, ∠BEA=∠FED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEA≌△FED.∴ EB=EF.又∵ AE=DE,∴ 四 边形ABDF 是平行四边形.∵ ∠BDF=90°,∴ 四边形 ABDF 是矩形.(2) 由(1),得四边形ABDF 是矩形, ∴ ∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD.∴ AF= AD2-DF2= 52-32=4.∴ S矩形ABDF=DF·AF= 3×4=12,BD=AF=4.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB=3.∴ S△BCD= 1 2BD ·CD=12×4×3=6. ∴ 四边形ABCF的面积=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18. 3 正方形的性质与判定 知识梳理 1. 相等 直角 平行四边形 2. (1) 直角 相等 (2) 相等 垂直平分 3. (1) 相等 (2) 垂直 (3) 直角 (4) 相等 典例演练 典例1 (1) ∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ AB=CD, ∠ABE=∠CDF=45°.又∵ BE=DF,∴ △ABE≌ △CDF.(2) 如图,连接AC,交BD 于点O.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥BD,AB=BC,AO=CO, BO=DO.又∵ BE=DF,∴ OE=OF.∴ 四边形AECF 是平行四边形.∵ AC⊥EF,∴ 四边形AECF 是菱形. ∵ AB=32,∴ AC= AB2+BC2=6=BD.∵ BE= DF=2,∴ EF=2.∴ 四边形AECF 的面积=12AC · EF=12×6×2=6. 典例1图 典例2 (1) 90°-α.(2) AF=DE.∵ 四边形ABCD 为 正方形,∴ ∠AOD=∠COD=90°,AC=BD,OA= 1 2AC ,OD=12BD.∴ OA=OD.∵ ∠DOF=∠COE= α,∴ ∠AOD-∠DOF=∠COD-∠COE,即∠AOF= ∠DOE.∵ △OEF 为等腰直角三角形,∴ OF=OE.在 △AOF 和△DOE 中, OA=OD, ∠AOF=∠DOE, OF=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOF≌ △DOE.∴ AF=DE. 典例3 (1) ∵ AD 是△ABC 的角平分线,∴ ∠EAD= ∠FAD.∵ DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠AED=∠AFD= 90°.在 △AED 和 △AFD 中, ∠EAD=∠FAD, ∠AED=∠AFD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AED≌△AFD.∴ AE=AF.∴ AD⊥EF.(2) 当 △ABC满足∠BAC=90°时,四边形AEDF 是正方形.理 由:∵ ∠AED=∠AFD=∠BAC=90°,∴ 四边形AEDF 是矩形.由(1),得AD⊥EF,∴ 四边形AEDF是正方形. 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. B 5. B 6. 答案不唯一,如 AB=AD 7. 70° 8. 2 9. 不会 10. ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA=OC, OB=OD.∵ BE=DF,∴ OE=OF.∴ 四边形AECF 是 平行四边形.∵ AC⊥EF,∴ 四边形 AECF 是菱形. ∵ OE=OA=OF,∴ OE=OF=OA=OC,即EF=AC. ∴ 四边形AECF 是正方形. 11. (1) ∵ 四边形BEDF 为正方形,∴ EB=DF.∵ 四 边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=DC.∴ AB-EB= DC-DF.∴ AE=CF.(2) ∵ ▱ABCD 的面积为20, AB=5,四边形BEDF 为正方形,∴ DE⊥AB.∴ 5DE= 20,DE=EB.∴ DE=EB=4.∴ AE=AB-EB=5- 4=1.由(1),知AE=CF,∴ CF=1. 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠B=∠D=∠C= 90°.∵ AE=AF,∴ ∠AFE=∠AEF.∵ ∠CEF=45°, ∠C=90°,∴ ∠CFE=45°.∴ 易得∠AEB=∠AFD. ∴ △ABE≌△ADF.∴ AB=AD.∴ 矩形ABCD 是正 方形.(2) ∵ AE=AF=32,BE=1,∠B=90°,∴ 由勾 股定理,得AB= AE2-BE2= (32)2-12= 17. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ S正方形ABCD=(17)2=17. 13. D 14. 6 15. 90° 16. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形,四边形EFGH 是菱形, ∴ AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈