第1章 1 菱形的性质与判定-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

53 第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 1. 菱形的定义: 有一组邻边 的 四边形叫 做菱形. 2. 菱形的性质: (1) 菱形的四条边 . (2) 菱形的对角线互相 . 3. 菱形的判定: (1) 对角线 的 是菱形. (2) 四边 的 是菱形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(达州中考)如图,菱形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形 ABCD 的周长为 . 典例1图 由菱形的对角线互相垂直且平分,在直角 三角形中利用勾股定理求出菱形的边长,再根 据菱形的四条边相等求出周长. 解答: 解有所悟:解决此类问题的关键是熟记菱形的性 质,由对角线互相垂直平分得直角三角形,在直角 三角形中,运用勾股定理求出菱形的边长. 典例2(嘉兴中考)小惠自编一道题目:如图,在 四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O, AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD 是菱 形.她将自己的证明过程与同学小洁进行交流. 小惠:证明:∵ AC⊥BD,OB=OD,∴ AC 垂 直平分BD.∴ AB=AD,CB=CD.∴ 四边形 ABCD 是菱形. 小洁说:“这道题目还缺少条件,需要补充一个 条件才能证明.” 若赞同小惠的证法,请在方框内打“􀳫”;若赞同 小洁的说法,请你补充一个条件,并证明. 典例2图 根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱 形”进行分析推理. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 解有所悟:解决此类问题的关键是熟记菱形的判定 方法,结合题意选择合适的方法进行判断及证明. 典例3 如图,在▱ABCD 中,BF 平分∠ABC 交AD 于点F,AE⊥BF 于点O,交BC 于点E, 连接EF. (1) 求证:四边形ABEF 是菱形; (2) 若 AE=6,BF=8,CE=5,求四边形 ABCD 的面积. 典例3图 (1) 先证明四边形ABEF 是平行四边形, 再证明邻边相等即可得证;(2) 过点F 作FG⊥ BC 于点G,根据S菱形ABEF= 1 2AE ·BF=BE· FG,求出FG 的长即可解决问题. 解答: 解有所悟:由菱形的对角线互相垂直的性质,可得 菱形的面积等于对角线乘积的一半.进一步说,对 角线互相垂直的四边形的面积都等于对角线乘积 的一半.此外,菱形也是平行四边形,其面积也等于 底乘高,由此可利用等量关系“底×高=对角线乘 积的一半”巧解相关问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (河池中考)如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O.下列结论中,错误的是 ( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC 第1题 第2题 2. (河南中考)如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,E 为CD 的中点.若 OE=3,则菱形ABCD 的周长为 ( ) A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 3. (襄阳中考)如图,▱ABCD 的对角线AC 和 BD 相交于点O,下列说法正确的是 ( ) A. 若OB=OD,则▱ABCD 是菱形 B. 若AC=BD,则▱ABCD 是菱形 C. 若OA=OD,则▱ABCD 是菱形 D. 若AC⊥BD,则▱ABCD 是菱形 第3题 第4题 4. 如图,O 既是AB 的中点,又是CD 的中点, 并且AB⊥CD.连接AC,BC,AD,BD,则这 四条线段的大小关系是 ( ) A. 全相等 B. 互不相等 C. 只有两条相等 D. 无法确定 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 55 5. (营口中考)如图,将△ABC 沿着BC 方向平 移得到△DEF,只需要添加一个条件即可证 明四边形ABED 是菱形,这个条件可以是 (写出一个即可). 第5题 6. (自贡中考)如图,菱形ABCD 对角线的交点 与坐标原点O 重合,点A 的坐标是(-2,5), 则点C 的坐标是 . 第6题 7. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O.若AB=25cm,AC=4cm,则 BD 的长为 cm. 第7题 8. 如图,四边形ABCD 是菱形,O 是两条对角 线的交点,过点O 的三条直线将菱形分成涂 色部分和空白部分.如果菱形的两条对角线 的长分别为6和8,那么涂色部分的面积为 . 第8题 第9题 9. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE∥AC 交AB 于点E,DF∥AB 交AC 于点F,连接 EF,交 AD 于点O,则∠AOF 的度数为 . 10. (广安中考)如图,四边形ABCD 是菱形,点 E,F 分别在边AB,AD 的延长线上,且 BE=DF,连接CE,CF.求证:CE=CF. 第10题 答案讲解 11. (郴州中考)如图,四边形ABCD 是菱形,E,F 是对角线AC 上的 两点,且AE=CF,连接BF,FD, DE,EB.求证:四边形DEBF 是菱形. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 56 12. (西宁中考)如图,四边形ABCD 是菱形, AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F. (1) 求证:△ABE≌△ADF; (2) 若AE=4,CF=2,求菱形的边长. 第12题 13. 如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC,AF⊥CD, 垂足分别为E,F,且BE=DF. (1) 求证:▱ABCD 是菱形; (2) 若 AB=5,AC=6,求▱ABCD 的 面积. 第13题 [综合提升] 答案讲解 14. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是 边AC,AB 的中点,BD⊥CE 于点 O,M,N 分别是OB,OC 的中点. 若OB=8,OC=6,则四边形DEMN 的周 长是 ( ) A. 14 B. 20 C. 22 D. 28 第14题 第15题 答案讲解 15. 如图,菱形 ABCD 的边长为2, ∠DAB=60°,E 为BC 的中点,在 对角线 AC 上存在一 点P,使 △PBE 的周长最小,则△PBE 周长的最 小值是 . 答案讲解 16. (聊城中考)如图,在△ABC 中,D 是AB 上一点,E 是AC 的中点, 过点C 作CF∥AB,交DE 的延长 线于点F,连接AF,CD. (1) 求证:AD=CF. (2) 如果D 是AB 的中点,那么当AC 与 BC满足什么条件时,四边形ADCF 是菱 形? 证明你的结论. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 21 ∠CAD=90°-75°=15°.(2) ∵ F 是边AC 的中点, ∴ AF=12AC.∵ ∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴ AB= 1 2AC ,∠BAC=60°.∴ AF=AB.∴ △ABF 是等边三角 形.∴ BF=AB.∵ △ABC绕点C按顺时针方向旋转60° 得到△DEC,∴ ∠BCE=∠ACD=60°,CB=CE,AC= DC,DE=AB,∠DCE=∠ACB=30°.∴ DE=BF. ∵ ∠ACB=30°,∴ ∠ACE=∠DCE=30°.∴ 易得 △ACE≌△DCE.∴ ∠AEC=∠DEC=90°.∴ 点A,E, D 在同一条直线上.∴ △ACD 和△BCE 为等边三角形. ∴ BE=CB,AD=CD=AC.∵ F 为边AC 的中点, ∴ DF⊥AC.∴ ∠CFD=90°.在△ABC 和△CFD 中, ∠ABC=∠CFD, ∠BAC=∠FCD, AC=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△CFD.∴ CB=DF. ∵ BE=CB,∴ DF=BE.又∵ BF=DE,∴ 四边形 BEDF 是平行四边形. 22. (1) 设A,B两种纪念品的进价分别为x元/件、y元/ 件.由题意,得 7x+8y=380, 10x+6y=380, 解得 x=20, y=30. ∴ A,B两种 纪念品的进价分别为20元/件、30元/件.(2) 设商店购进 A种纪念品a件,则购进B种纪念品(40-a)件.由题意, 得 20a+30(40-a)≤900, (25-20)a+(37-30)(40-a)≥216, 解得30≤a≤ 32.设总利润为w 元.由题意,得w=(25-20)a+(37- 30)(40-a)=-2a+280.∵ -2<0,∴ w 随a的增大而 减小.∴ 当a=30时,w 最大,最大值为-2×30+280= 220.∴ 40-a=10.∴ 当购进A种纪念品30件,B种纪 念品10件时,获得的总利润最大,最大总利润是220元. 23. (1) 2.(2) 由题意,得BF=8tcm,AE=4(t+2)= (4t+8)cm.分两种情况讨论:① 当点F 在点C 的左侧, AE=FC时,以A,E,C,F 为顶点的四边形是平行四边 形,则4t+8=24-8t,解得t=43 ;② 当点F 在点C的右 侧,AE=CF 时,以A,E,C,F 为顶点的四边形是平行四 边形,则4t+8=8t-24,解得t=8.综上所述,当t=43 或 8时,以 A,E,C,F 为顶点的四边形是平行四边形. (3) ∵ AG∥BC,S△ACE=2S△ACF,∴ AE=2CF.由(2), 得BF=8tcm,AE=(4t+8)cm.分两种情况讨论:① 当 点F 在点C 的左侧时,∵ AE=2CF,∴ 4t+8=2(24- 8t),解得t=2.② 当点F 在点C 的右侧时,∵ AE= 2CF,∴ 4t+8=2(8t-24),解得t=143. 综上所述,当t= 2或143 时,S△ACE=2S△ACF. 3 预学储备 第一章　特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 知识梳理 1. 相等 平行 2. (1) 相等 (2) 垂直 3. (1) 互相垂 直 平行四边形 (2) 相等 四边形 典例演练 典例1 52 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB= BC=CD=DA,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∵ AC= 24,BD=10,∴ AO=12AC=12 ,BO=12BD=5. 在 Rt△AOB 中,AB= AO2+BO2 = 122+52 =13, ∴ 菱形ABCD 的周长为13×4=52. 典例2 赞同小洁的说法.补充的条件不唯一,如OA= OC.∵ OA=OC,OB=OD,∴ 四边形ABCD 是平行四 边形.又∵ AC⊥BD,∴ 四边形ABCD 是菱形. 典例3 (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC.∴ ∠EBF = ∠AFB.∵ BF 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABF=∠CBF.∴ ∠ABF=∠AFB.∴ AB=AF. ∵ AE⊥BF,∴ ∠AOB=∠EOB=90°.∵ BO=BO, ∴ △BOA≌△BOE.∴ AB=EB.∴ EB=AF.∵ BE∥ AF,∴ 四边形ABEF 是平行四边形.∵ AB=AF,∴ 四 边形ABEF 是菱形.(2) 如图,过点F 作FG⊥BC 于点 G.∵ 四边形ABEF 是菱形,AE=6,BF=8,∴ OE= 1 2AE=3 ,OB=12BF=4.∵ AE⊥BF,∴ 在Rt△BOE 中,BE= 32+42=5.∵ S菱形ABEF= 1 2AE ·BF=BE· FG,∴ FG=245.∴ S▱ABCD=BC·FG=(BE+CE)· FG=(5+5)×245=48. 典例3图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 预学训练 1. C 2. C 3. D 4. A 5. 答案不唯一,如AB=AD 6. (2,-5) 7. 8 8. 12 9. 90° 10. ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ BC=CD,∠ABC= ∠ADC.∵ ∠ABC+∠CBE=180°,∠ADC+∠CDF= 180°,∴ ∠CBE = ∠CDF.在 △CBE 和 △CDF 中, CB=CD, ∠CBE=∠CDF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△CDF.∴ CE=CF. 11. 如图,连接BD 交AC 于点O.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵ AE=CF, ∴ OE=OF.∴ 四边形DEBF 是平行四边形.∵ EF⊥ BD,∴ 四边形DEBF 是菱形. 第11题 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=BC=CD= AD,∠B=∠D.∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB= ∠AFD = 90°. 在 △ABE 和 △ADF 中, ∠AEB=∠AFD, ∠B=∠D, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ADF.(2) 设菱形的边 长为x.∴ AB=CD=x.∵ CF=2,∴ DF=x-2.由 (1),得 △ABE≌ △ADF,∴ BE=DF=x-2.在 Rt△ABE 中,根据勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即 42+(x-2)2=x2,解得x=5.∴ 菱形的边长是5. 13. (1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∠B=∠D. ∵ AE⊥BC, AF⊥CD,∴ ∠AEB=∠AFD=90°.在 △AEB 和 △AFD 中, ∠B=∠D, BE=DF, ∠AEB=∠AFD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB ≌ △AFD.∴ AB=AD.∴ ▱ABCD 是菱形.(2) 如图,连 接BD 交AC 于点O.∵ 四边形ABCD 是菱形,AC=6, ∴ AC⊥BD,OA=OC=12AC=3 ,OB=OD=12BD. ∵ AB=5,OA=3,∴ 在Rt△AOB 中,由勾股定理,得 OB= AB2-OA2=4.∴ BD=2OB=8.∴ S▱ABCD= 1 2AC ·BD=12×6×8=24. 第13题 14. B 解析:∵ D,E 分 别 是 边 AC,AB 的 中 点, ∴ DE=12BC ,DE∥BC.∵ M,N 分别是OB,OC 的中 点,∴ MN=12BC ,MN∥BC.∴ DE=MN,DE∥MN. ∴ 四边形DEMN 为平行四边形.∵ BD⊥CE,∴ 四边形 DEMN 为 菱 形.∵ OB =8,OC =6,∴ BC = OB2+OC2=10.∴ DE=MN=EM=DN=5.∴ 四 边形DEMN 的周长是20. 15. 3+1 解析:如图,连接DE,BD.∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ 点B,D 关于直线AC 对称.∴ 易知DE 的长 即为PE+PB 的最小值.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°,∴ CD=CB,∠BCD=60°.∴ △BCD 为等 边三角形.∵ E 为BC 的中点,∴ DE⊥BC,BE=CE= 1 2BC= 1 2×2=1.∴ 在Rt△DCE 中,由勾股定理,得 DE= CD2-CE2= 22-12= 3.∴ △PBE 周长的 最小值=DE+BE=3+1. 第15题 16. (1) ∵ CF∥AB,∴ ∠ADF=∠CFD,∠DAC= ∠FCA.∵ E 是AC 的中点,∴ AE=CE.∴ △ADE≌ △CFE.∴ AD=CF.(2) 当AC⊥BC 时,四边形ADCF 是菱形.由(1),知 AD=CF.∵ AD∥CF,∴ 四边形 ADCF 是平行四边形.∵ D 是AB 的中点,E 是AC 的中 点,∴ DE∥BC.∵ AC⊥BC,∴ AC⊥DE,即AC⊥DF. ∴ 四边形ADCF 是菱形. 2 矩形的性质与判定 知识梳理 1. 直角 平行 2. (1) 直角 (2) 相等 3. 一半 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈