整合提优自主检测-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

49 整合提优自主检测 (满分:120分 时间:120分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 有下列命题:① 点(-1,-x2)位于第三象 限;② 81的平方根是3;③ 点A(2,a)和点 B(b,-3)关于x轴对称,则a+b的值为5; ④ 点N(1,n)到x轴的距离为n.其中,是假 命题的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. (绵阳中考)下列关于等边三角形的描述不 正确的是 ( ) A. 是轴对称图形 B. 对称轴的交点是其重心 C. 是中心对称图形 D. 绕重心按顺时针方向旋转120°能与自身 重合 3. 如图,直线y=3x+b与直线y=ax-2的 交点的横坐标为-2.有下列结论:① a>0; ② b<0;③ x>-2是关于x的不等式3x+ b>ax-2的解集.其中,正确的有 ( ) 第3题 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. (毕节中考)小明解分式方程 1 x+1= 2x 3x+3- 1的过程如下:① 去分母,得3=2x-(3x+ 3).② 去括号,得3=2x-3x+3.③ 移项、 合并同类项,得-x=6.④ 系数化为1,得 x=-6.以上步骤中,开始出错的一步是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 如图,在△ABC 中,延长BC 至点D,使得 CD=12BC ,过AC 的中点E 作EF∥CD(点 F 位于点E 右侧),且EF=2CD,连接DF. 若AB=8,则DF 的长为 ( ) 第5题 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次,将 每次命中的成绩绘制成如图所示的统计图. 根据统计图得出的结论正确的是 ( ) 第6题 A. 甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定 B. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的 众数 C. 甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的 平均数 D. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的 中位数 7. 若关于x的一元一次不等式组 x-1≥4x-13 , 5x-1<a 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的解集为x≤-2,且关于y 的分式方程 y-1 y+1= a y+1-2 的解是负整数,则所有满足 条件的整数a的值之和是 ( ) A. -26 B. -24 C. -15 D. -13 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 50 8. 在平面直角坐标系中,用大小完全相同的长 方形纸片摆成如图所示的图案.若点A 的坐 标是(-2,5),则点B 的坐标是 ( ) 第8题 A. -143 ,11 3 B. -203 ,14 3 C. (-6,5) D. (-6,4) 答案讲解 9. (赤峰中考)甲、乙两人在一条长400m 的直线跑道上同起点、同终点、同方 向匀速跑步,先到终点的人原地休 息.已知甲先出发3s,在跑步过程中,甲、乙 两人间的距离y(m)与乙出发的时间x(s) 之间的函数关系如图所示.有下列结论: ① 乙的速度为5m/s;② 离开起点后,甲、乙 两人第一次相遇时,距离起点12m;③ 甲、 乙两人之间的距离超过32m时,x的取值范 围是44<x<89;④ 乙到达终点时,甲距离 终点还有68m.其中,正确的有 ( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第9题 第10题 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12, BC=5.将△ABC 绕AB 上的点O 按顺时 针方向旋转90°,得到△A'B'C',连接BC'. 若BC'∥A'B',则OB 的长为 ( ) A. 60 13 B. 5 C. 65 12 D. 24 5 二、 填空题(每小题4分,共24分) 11. 已知△ABC 的三边长分别是a,b,c,且满 足a2+b2+c2=ab+bc+ac,则此三角形 为 三角形(按边分). 12. 如图所示为城市某区域的示意图,建立平 面直角坐标系后,学校和体育场的坐标分 别是(3,1),(4,-2),图中各地点中,离原 点最远的是 ,距离为 . 第12题 13. (长沙中考)如图,在△ABC 中,按以下步骤 作图:① 分别以点A,B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧交于P,Q 两点; ② 作直线PQ 交AB 于点D;③ 以点D 为 圆心,AD 长为半径画弧,交PQ 于点M,连 接AM,BM.若AB=22,则AM 的长为 . 第13题 第15题 14. (齐齐哈尔中考)若关于x 的分式方程 1 x-2+ 2 x+2= x+2m x2-4 的解大于1,则m 的 取值范围是 . 15. 如图,分别以Rt△ABC 的斜边AB、直角边 AC 为边向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE,F 为AB 的中点,DE 与AB 交于点G,EF 与AC 交于点H,连接 DF,∠ACB=90°,∠BAC=30°.有下列结 论:① EF⊥AC;② 四边形ADFE 是平行 四边形;③ AD=4AG;④ FH=14BD. 其 中,正确的为 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 51 答案讲解 16. 如图,等边三角形ABC 内有一点 P,分 别 连 接 AP,BP,CP.若 AP=6,BP =8,CP =10,则 S△ABP+S△BPC= . 第16题 三、 解答题(共66分) 17. (8分)分解因式: (1) (x+2)(x+3)+14 ; (2) (内江中考)a4-3a2-4. 18. (8分)(凉山中考)先化简,再求值: m+ 2+ 52-m ·2m-43-m ,其中m 为满足-1< m<4的整数. 19. (10分)(达州中考)某商场进货员预测一种 应季衬衫能畅销市场,就用4000元购进一 批这种衬衫,面市后果然供不应求.商场又 用8800元购进了第二批这种衬衫,所购数 量是第一批购进数量的2倍,但每件的进 价贵了4元. (1) 该商场购进第一批、第二批衬衫每件的 进价分别是多少元? (2) 如果两批衬衫按相同的标价销售,最后 40件衬衫按7折优惠销售,要使两批衬衫 全部销售完后利润率不低于80%(不考虑 其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多 少元? 20. (10分)某市某中学举行“校园好声音”歌手 大赛,初、高中部根据初赛成绩,各选出 5名选手组成初中代表队和高中代表队参 加决赛.两队各选出的5名选手的决赛成 绩(满分为100分)如图所示. 第20题 平均数/分 中位数/分 众数/分 初中代表队 85 高中代表队 85 100 (1) 将表格补充完整; (2) 结合两个代表队决赛成绩的平均数和 中位数,分析哪个代表队的决赛成绩较好; (3) 计算两个代表队决赛成绩的方差,并判 断哪个代表队选手的决赛成绩较为稳定. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 52 21. (10分)在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°, ∠ACB=30°.将△ABC 绕点C 按顺时针 方向旋转一定的角度α得到△DEC,点A, B 的对应点分别是D,E. (1) 如图①,当点E 恰好在AC 上时,连接 AD,求∠ADE 的度数; (2) 如图②,当α=60°时,若F 是边AC 的 中点,连接DF,BF,AE,BE,求证:四边形 BEDF 是平行四边形. 第21题 22. (10分)某商店欲购进A,B两种纪念品,已 知380元可以购进A种纪念品7件、B种 纪念品8件;380元也可以购进A种纪念品 10件、B种纪念品6件. (1) A,B两种纪念品的进价分别为多少? (2) 若A种纪念品的售价是25元/件,B种 纪念品的售价是37元/件,该商店准备用 不超过900元的资金购进A,B两种纪念品 共40件,且这两种纪念品全部售出获得的 总利润不低于216元,则商店应该怎样进 货,才能使获得的总利润最大? 最大总利 润是多少元? 答案讲解 23. (10分)如图,在△ABC 中,BC= 24cm,射线AG∥BC,点E 从点A 出发沿射线AG 以4cm/s的速度 运动,当点E 出发2s时,点F 从点B 出发 沿射线BC 以8cm/s的速度运动.设点F 运动的时间为ts(t>0).连接AF,CE,EF. (1) 当t= 时,四边形ABFE 是平 行四边形. (2) 当t为何值时,以A,E,C,F 为顶点的 四边形是平行四边形? (3) 当t为何值时,S△ACE=2S△ACF? 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 19 7. (1) ∵ AF=CD,∴ AF+CF=CD+CF,即AC= DF.在△ABC 和△DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DEF.∴ ∠ACB=∠DFE. (2) 四边形BFEC 是平行四边形. 解析:由(1),可知 ∠ACB=∠DFE,∴ BC∥EF.又∵ BC=EF,∴ 四边形 BFEC 是平行四边形. 8. ∵ △ABE,△BCF 为等边三角形,∴ AB=BE=AE, BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°.∴ ∠ABE- ∠ABF= ∠CBF - ∠ABF,即 ∠FBE = ∠CBA.在 △EBF 和△ABC 中, EB=AB, ∠FBE=∠CBA, BF=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EBF≌ △ABC.∴ EF=AC.又∵ △ACD 为 等 边 三 角 形, ∴ CD=AD=AC.∴ EF=AD.同理,可证△ABC≌ △DFC,∴ AB=DF.∴ DF=AE.∴ 四边形ADFE 是 平行四边形. 9. (1) 答案不唯一,如选择①②.在△BEO 和△DFO 中, ∠1=∠2, OB=OD, ∠EOB=∠FOD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEO≌△DFO.(2) 由(1),知 △BEO≌△DFO,∴ EO=FO.∵ AE=CF,∴ EO+ AE=FO+CF,即AO=CO.又∵ OB=OD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, AB∥CD.∴ ∠ABD=∠CDB.在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE=∠CDF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF.(2) 由(1),可知 △ABE≌ △CDF,∴ AE =CF,∠AEB = ∠CFD. ∴ 180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠AEF=∠CFE. ∴ AE∥CF.∵ AE=CF,AE∥CF,∴ 四边形AECF 是 平行四边形. 11. (1) ∵ O 为对角线BD 的中点,∴ OD=OB.∵ 四边 形ABCD 是平行四边形,∴ DF∥EB.∴ ∠DFE= ∠BEF.在 △DOF 和 △BOE 中, ∠DFO=∠BEO, ∠DOF=∠BOE, OD=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DOF≌△BOE.(2) 由(1),知△DOF≌△BOE, ∴ DF=BE.∵ DF∥EB,∴ 四边形DFBE 是平行四边 形.∴ DE=BF. 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, ∠D=∠ABC.由折叠,可知∠D=∠AD'E.∴ ∠AD'E= ∠ABC.∴ ED'∥BC.又∵ CE∥BD',∴ 四边形BCED' 是平行四边形.(2) ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE= ∠D'BE=12∠CBD'.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC.∴ ∠DAB+∠CBD'=180°.由折叠,可知 ∠DAE=∠EAB=12∠DAB.∴ ∠EAB+∠EBD'= 1 2 (∠DAB+∠CBD')=90°.∴ ∠AEB=90°.∴ 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得AB2=AE2+BE2. 13. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,OA= OC,OB=OD.∴ ∠ADB=∠CBD,∠DEO=∠BFO.在 △DEO 和△BFO 中, ∠EDO=∠FBO, ∠DEO=∠BFO, OD=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEO≌ △BFO.∴ OE=OF.∵ G,H 分别是OA,OC 的中点, ∴ OG=12OA ,OH=12OC.∴ OG=OH.又∵ OE= OF,∴ 四边形EGFH 是平行四边形. 14. (1) ∵ BD 垂直平分AC,∴ AB=BC,AD=DC. ∴ ∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA.∴ ∠BAC+ ∠DAC = ∠BCA + ∠DCA,即 ∠BAD = ∠BCD. ∵ ∠BCD=∠ADF,∴ ∠BAD=∠ADF.∴ AB∥FD. ∵ BD⊥AC,AF⊥AC,∴ AF∥BD.又∵ AB∥FD,∴ 四 边形ABDF 是平行四边形.(2) 由(1),得四边形ABDF 是平行四边形,∴ AB=DF,AF=BD.∵ AF=DF=5, ∴ AB=BD=5.设BE=x,则DE=5-x.∵ BD⊥AC, ∴ AB2-BE2=AE2=AD2-DE2,即52-x2=62- (5-x)2,解得x=75.∴ BE=75.∴ 在Rt△ABE 中,由 勾股定理,得AE= AB2-BE2=245.∵ BD 垂直平分 AC,∴ AC=2AE=485. 整合提优自主检测 一、 1. C 2. C 3. C 4. B 5. B 6. A 7. D 8. D 9. B 解析:由函数图象,得甲的速度为12÷3=4(m/s), 乙的速度为400÷80=5(m/s).故①正确.根据题意,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 5x=12+4x,解得x=12.∴ 离开起点后,甲、乙两人第一 次相遇时,距离起点12×5=60(m).故②错误.当甲、乙两 人之间的距离超过32m时, (5-4)x-12>32, 4(x+3)<400-32, 可得 44<x<89.故③正确.∵ 乙到达终点时,所用时间为 80s,甲先出发3s,∴ 此时甲跑步的时间为83s.∴ 甲跑 步的路程为83×4=332(m).∴ 乙到达终点时,甲距离终 点还有400-332=68(m).故④正确.综上所述,正确的有 3个. 10. A 解析:如图,连接OC,OC',过点C 作CH⊥AB 于 点H.在Rt△ABC 中,∵ ∠ACB=90°,AC=12,BC=5, ∴ AB= 52+122 =13.∵ S△ABC = 1 2AB ·CH = 1 2AC ·BC,∴ CH =AC ·BC AB = 12×5 13 = 60 13.∵ 将 △ABC 绕AB 上的点O 按顺时针方向旋转90°,得到 △A'B'C',∴ OC =OC',∠COC'= ∠BOB'=90°. ∵ BC'∥A'B',∴ ∠OBC' =90°.∵ CH ⊥ AB, ∴ ∠CHO=90°=∠OBC'.∵ ∠COH+∠C'OB=90°, ∠COH+∠OCH=90°,∴ ∠OCH=∠C'OB.在△CHO 和△OBC'中, ∠OCH=∠C'OB, ∠CHO=∠OBC', OC=C'O, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CHO≌△OBC'. ∴ CH=OB=6013. 第10题 二、 11. 等边 12. 体育场 25 13. 2 14. m>0且 m≠1 15. ①②③④ 16. 163+24 解析:如图,将△BPC 绕点B 按逆时针方 向旋转60°后得△BP'A,连接PP'.根据旋转的性质,可 知旋转角∠PBP'=∠CBA=60°,BP=BP',∴ △BPP' 为等边三角形.∴ BP'=BP=8=PP'.过点P 作PD⊥ BP'于点D.∵ PP'=BP,∴ BD=12BP'=4.∵ PD⊥ BP',∴ ∠PDB=90°.∴ 在Rt△PDB 中,由勾股定理, 得PD= BP2-BD2=43.由旋转的性质,得AP'= PC=10.在△APP'中,∵ PP'2+AP2=82+62=100= AP'2,∴ △APP'是 直 角 三 角 形,且 ∠APP'=90°. ∴ S△ABP +S△BPC =S四边形AP'BP =S△BP'P +S△AP'P = 1 2BP' ·PD+12PP' ·AP=12×8×43+ 1 2×8× 6=163+24. 第16题 三、 17. (1) 原式= x+52 2 .(2) 原式=(a2+1)(a+ 2)(a-2). 18. 原式=m 2-4-5 m-2 ·2(m-2) 3-m = m2-9 m-2 ·2(m-2) 3-m = (m+3)(m-3) m-2 ·2(m-2) 3-m =-2 (m+3)=-2m-6.由 题意,得m≠2,m≠3,且m 为满足-1<m<4的整数, ∴ 当m=0时,原式=-6;当m=1时,原式=-2×1- 6=-8. 19. (1) 设该商场购进第一批、第二批衬衫每件的进价分 别是x元和(x+4)元.根据题意,可得2×4000x = 8800 x+4 , 解得x=40.经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题 意.∴ x+4=44.∴ 该商场购进第一批、第二批衬衫每件 的进价分别是40元和44元.(2) 衬衫的总数量是4000 40 + 8800 44 =300 (件).设每件衬衫的标价是y元.根据题意,可 得(300-40)y+40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80%), 解得y≥80.∴ 每件衬衫的标价至少是80元. 20. (1) 85;85;80.(2) 初中代表队的决赛成绩较好. ∵ 两个代表队决赛成绩的平均数相同,初中代表队的中 位数高,∴ 在平均数相同的情况下,中位数高的初中代表 队的决赛成绩较好.(3) ∵ s2初中 =15× [(75-85)2+ (80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2]=70, s2高中=15× [(70-85)2+(100-85)2+(100-85)2+ (75-85)2+(80-85)2]=160,∴ s2初中 <s2高中,即初中代 表队选手的决赛成绩较为稳定. 21. (1) 由 旋 转 的 性 质,可 知 CA =CD,∠ECD = ∠BCA=30°,∠DEC = ∠ABC =90°.∴ ∠CAD = ∠CDA=12× (180°-30°)=75°.∴ ∠ADE=∠DEC- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 ∠CAD=90°-75°=15°.(2) ∵ F 是边AC 的中点, ∴ AF=12AC.∵ ∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴ AB= 1 2AC ,∠BAC=60°.∴ AF=AB.∴ △ABF 是等边三角 形.∴ BF=AB.∵ △ABC绕点C按顺时针方向旋转60° 得到△DEC,∴ ∠BCE=∠ACD=60°,CB=CE,AC= DC,DE=AB,∠DCE=∠ACB=30°.∴ DE=BF. ∵ ∠ACB=30°,∴ ∠ACE=∠DCE=30°.∴ 易得 △ACE≌△DCE.∴ ∠AEC=∠DEC=90°.∴ 点A,E, D 在同一条直线上.∴ △ACD 和△BCE 为等边三角形. ∴ BE=CB,AD=CD=AC.∵ F 为边AC 的中点, ∴ DF⊥AC.∴ ∠CFD=90°.在△ABC 和△CFD 中, ∠ABC=∠CFD, ∠BAC=∠FCD, AC=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△CFD.∴ CB=DF. ∵ BE=CB,∴ DF=BE.又∵ BF=DE,∴ 四边形 BEDF 是平行四边形. 22. (1) 设A,B两种纪念品的进价分别为x元/件、y元/ 件.由题意,得 7x+8y=380, 10x+6y=380, 解得 x=20, y=30. ∴ A,B两种 纪念品的进价分别为20元/件、30元/件.(2) 设商店购进 A种纪念品a件,则购进B种纪念品(40-a)件.由题意, 得 20a+30(40-a)≤900, (25-20)a+(37-30)(40-a)≥216, 解得30≤a≤ 32.设总利润为w 元.由题意,得w=(25-20)a+(37- 30)(40-a)=-2a+280.∵ -2<0,∴ w 随a的增大而 减小.∴ 当a=30时,w 最大,最大值为-2×30+280= 220.∴ 40-a=10.∴ 当购进A种纪念品30件,B种纪 念品10件时,获得的总利润最大,最大总利润是220元. 23. (1) 2.(2) 由题意,得BF=8tcm,AE=4(t+2)= (4t+8)cm.分两种情况讨论:① 当点F 在点C 的左侧, AE=FC时,以A,E,C,F 为顶点的四边形是平行四边 形,则4t+8=24-8t,解得t=43 ;② 当点F 在点C的右 侧,AE=CF 时,以A,E,C,F 为顶点的四边形是平行四 边形,则4t+8=8t-24,解得t=8.综上所述,当t=43 或 8时,以 A,E,C,F 为顶点的四边形是平行四边形. (3) ∵ AG∥BC,S△ACE=2S△ACF,∴ AE=2CF.由(2), 得BF=8tcm,AE=(4t+8)cm.分两种情况讨论:① 当 点F 在点C 的左侧时,∵ AE=2CF,∴ 4t+8=2(24- 8t),解得t=2.② 当点F 在点C 的右侧时,∵ AE= 2CF,∴ 4t+8=2(8t-24),解得t=143. 综上所述,当t= 2或143 时,S△ACE=2S△ACF. 3 预学储备 第一章　特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 知识梳理 1. 相等 平行 2. (1) 相等 (2) 垂直 3. (1) 互相垂 直 平行四边形 (2) 相等 四边形 典例演练 典例1 52 解析:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB= BC=CD=DA,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∵ AC= 24,BD=10,∴ AO=12AC=12 ,BO=12BD=5. 在 Rt△AOB 中,AB= AO2+BO2 = 122+52 =13, ∴ 菱形ABCD 的周长为13×4=52. 典例2 赞同小洁的说法.补充的条件不唯一,如OA= OC.∵ OA=OC,OB=OD,∴ 四边形ABCD 是平行四 边形.又∵ AC⊥BD,∴ 四边形ABCD 是菱形. 典例3 (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC.∴ ∠EBF = ∠AFB.∵ BF 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABF=∠CBF.∴ ∠ABF=∠AFB.∴ AB=AF. ∵ AE⊥BF,∴ ∠AOB=∠EOB=90°.∵ BO=BO, ∴ △BOA≌△BOE.∴ AB=EB.∴ EB=AF.∵ BE∥ AF,∴ 四边形ABEF 是平行四边形.∵ AB=AF,∴ 四 边形ABEF 是菱形.(2) 如图,过点F 作FG⊥BC 于点 G.∵ 四边形ABEF 是菱形,AE=6,BF=8,∴ OE= 1 2AE=3 ,OB=12BF=4.∵ AE⊥BF,∴ 在Rt△BOE 中,BE= 32+42=5.∵ S菱形ABEF= 1 2AE ·BF=BE· FG,∴ FG=245.∴ S▱ABCD=BC·FG=(BE+CE)· FG=(5+5)×245=48. 典例3图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈