专题7 平行四边形的性质与判定-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

18 ∴ m=-1,n=3.∴ 原式=- -1+2×32×(-1)×3= 5 6. 12. 原 式 = (a-3b)2 a(a-2b)÷ 5b2 a-2b- a2-4b2 a-2b - 1a = (a-3b)2 a(a-2b) ÷ 9b2-a2 a-2b - 1 a = (a-3b)2 a(a-2b) · a-2b (3b+a)(3b-a) - 1 a = 3b-a a(3b+a) - 1 a = 3b-a-3b-a a(3b+a) =- 2 3b+a. 由 a+b=8, a-b=1, 解得 a=92 , b=72. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ a+3b=15.∴ 原式=-215. 13. 原 式=a-2-3a+10a-2 · (a-2) 2 a-4 = -2(a-4) a-2 · (a-2)2 a-4 =-2 (a-2)=-2a+4.∵ a与2,3是三角形的 三边长,∴ 3-2<a<3+2,即1<a<5.∵ a 为整数, ∴ a=2或3或4.又∵ a-2≠0且a-4≠0,∴ a≠2且 a≠4.∴ a=3.∴ 原式=-2×3+4=-6+4=-2. 14. 原 式 = 2x(x+1)÷ x2-1-x+1 (x+1)(x-1)= 2 x(x+1) · (x+1)(x-1) x(x-1) = 2 x2. 解不等式组 2(x-1)<x+1, 5x+3≥2x, 得 -1≤x<3.∵ x 为整数,∴ x 的值为-1,0,1,2. ∵ x(x+1)≠0,(x+1)(x-1)≠0,x(x-1)≠0,∴ x≠ 0,-1,1,即x只能取2.当x=2时,原式=222= 1 2. 分式的化简求值与解不等式(组)综合题的解法 解分式的化简求值与不等式(组)的综合题时,通 常先进行分式的化简,要注意分式的运算结果应是最 简分式或整式;再解不等式(组);最后代值,代值时应 注意字母取值的限制条件:字母的取值应使原分式及 运算过程中所有分式都有意义,即所有分母均不为0. 专题七　平行四边形的性质与判定 1. C 2. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A=∠C,AD= CB.在△ADE 和△CBF 中, AD=CB, ∠A=∠C, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △CBF.∴ DE=BF. 3. (1) ∵ 四边形ABCD 为平行四边形,∴ DA=BC, DA∥BC.∴ ∠DAC=∠BCA.∵ ∠DAC+∠EAD= 180°,∠BCA+∠FCB=180°,∴ ∠EAD=∠FCB.在 △ADE 和△CBF 中, AE=CF, ∠EAD=∠FCB, AD=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △CBF.(2) 由(1),知△ADE≌△CBF,∴ ∠E=∠F. ∴ ED∥BF. 4. (1) AC'∥BD.(2) BE 与 DE 相 等.由 折 叠,得 ∠CBD=∠C'BD.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC.∴ ∠ADB=∠CBD.∴ ∠EDB=∠EBD. ∴ BE=DE. 5. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, AD=BC,AB=CD,∠ABC=∠ADC.∴ ∠DAC= ∠BCA.∵ BE,DG 分 别 平 分 ∠ABC,∠ADC, ∴ ∠CBE = 12 ∠ABC ,∠ADG = 12 ∠ADC. ∴ ∠ADG= ∠CBE.∵ ∠DGE= ∠DAC+ ∠ADG, ∠BEG=∠BCA+∠CBE,∴ ∠DGE=∠BEG.∴ DG∥ BE.在 △ADG 和 △CBE 中, ∠DAG=∠BCE, AD=CB, ∠ADG=∠CBE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△CBE.∴ DG=BE.(2) 如图,过点E 作 EH⊥BC 于点H.∵ BE 平分∠ABC,EF⊥AB,EH⊥ BC,∴ EH=EF=6.∵ ▱ABCD 的周长为56,∴ AB+ BC=28.∴ S△ABC = 1 2AB ·EF+ 12BC ·EH = 1 2EF ·(AB+BC)=12×6×28=84. 第5题 6. D 巧用中心对称性求平行四边形的顶点坐标 平行四边形是中心对称图形,其对称中心是对角 线的交点,也是每条对角线的中点.在平面直角坐标系 中,对角线的交点坐标是对角顶点坐标的平均数,即 为对角顶点坐标和的一半.若已知平行四边形三个 顶点的坐标,则利用中心对称性可以求第四个顶点的 坐标.若各顶点的顺序不确定,则第四个顶点的坐标 有三种情况. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 19 7. (1) ∵ AF=CD,∴ AF+CF=CD+CF,即AC= DF.在△ABC 和△DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △DEF.∴ ∠ACB=∠DFE. (2) 四边形BFEC 是平行四边形. 解析:由(1),可知 ∠ACB=∠DFE,∴ BC∥EF.又∵ BC=EF,∴ 四边形 BFEC 是平行四边形. 8. ∵ △ABE,△BCF 为等边三角形,∴ AB=BE=AE, BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°.∴ ∠ABE- ∠ABF= ∠CBF - ∠ABF,即 ∠FBE = ∠CBA.在 △EBF 和△ABC 中, EB=AB, ∠FBE=∠CBA, BF=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EBF≌ △ABC.∴ EF=AC.又∵ △ACD 为 等 边 三 角 形, ∴ CD=AD=AC.∴ EF=AD.同理,可证△ABC≌ △DFC,∴ AB=DF.∴ DF=AE.∴ 四边形ADFE 是 平行四边形. 9. (1) 答案不唯一,如选择①②.在△BEO 和△DFO 中, ∠1=∠2, OB=OD, ∠EOB=∠FOD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BEO≌△DFO.(2) 由(1),知 △BEO≌△DFO,∴ EO=FO.∵ AE=CF,∴ EO+ AE=FO+CF,即AO=CO.又∵ OB=OD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, AB∥CD.∴ ∠ABD=∠CDB.在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE=∠CDF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF.(2) 由(1),可知 △ABE≌ △CDF,∴ AE =CF,∠AEB = ∠CFD. ∴ 180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠AEF=∠CFE. ∴ AE∥CF.∵ AE=CF,AE∥CF,∴ 四边形AECF 是 平行四边形. 11. (1) ∵ O 为对角线BD 的中点,∴ OD=OB.∵ 四边 形ABCD 是平行四边形,∴ DF∥EB.∴ ∠DFE= ∠BEF.在 △DOF 和 △BOE 中, ∠DFO=∠BEO, ∠DOF=∠BOE, OD=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DOF≌△BOE.(2) 由(1),知△DOF≌△BOE, ∴ DF=BE.∵ DF∥EB,∴ 四边形DFBE 是平行四边 形.∴ DE=BF. 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD, ∠D=∠ABC.由折叠,可知∠D=∠AD'E.∴ ∠AD'E= ∠ABC.∴ ED'∥BC.又∵ CE∥BD',∴ 四边形BCED' 是平行四边形.(2) ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE= ∠D'BE=12∠CBD'.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC.∴ ∠DAB+∠CBD'=180°.由折叠,可知 ∠DAE=∠EAB=12∠DAB.∴ ∠EAB+∠EBD'= 1 2 (∠DAB+∠CBD')=90°.∴ ∠AEB=90°.∴ 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得AB2=AE2+BE2. 13. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,OA= OC,OB=OD.∴ ∠ADB=∠CBD,∠DEO=∠BFO.在 △DEO 和△BFO 中, ∠EDO=∠FBO, ∠DEO=∠BFO, OD=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEO≌ △BFO.∴ OE=OF.∵ G,H 分别是OA,OC 的中点, ∴ OG=12OA ,OH=12OC.∴ OG=OH.又∵ OE= OF,∴ 四边形EGFH 是平行四边形. 14. (1) ∵ BD 垂直平分AC,∴ AB=BC,AD=DC. ∴ ∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA.∴ ∠BAC+ ∠DAC = ∠BCA + ∠DCA,即 ∠BAD = ∠BCD. ∵ ∠BCD=∠ADF,∴ ∠BAD=∠ADF.∴ AB∥FD. ∵ BD⊥AC,AF⊥AC,∴ AF∥BD.又∵ AB∥FD,∴ 四 边形ABDF 是平行四边形.(2) 由(1),得四边形ABDF 是平行四边形,∴ AB=DF,AF=BD.∵ AF=DF=5, ∴ AB=BD=5.设BE=x,则DE=5-x.∵ BD⊥AC, ∴ AB2-BE2=AE2=AD2-DE2,即52-x2=62- (5-x)2,解得x=75.∴ BE=75.∴ 在Rt△ABE 中,由 勾股定理,得AE= AB2-BE2=245.∵ BD 垂直平分 AC,∴ AC=2AE=485. 整合提优自主检测 一、 1. C 2. C 3. C 4. B 5. B 6. A 7. D 8. D 9. B 解析:由函数图象,得甲的速度为12÷3=4(m/s), 乙的速度为400÷80=5(m/s).故①正确.根据题意,得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 专题七　平行四边形的性质与判定 平行四边形具有众多的性质,为证明线段相等、倍分关系、角相等提供了新的理论依据,为我 们证明开辟了更多简便的方法.而要运用平行四边形的性质,往往要先证明一个四边形是平行四 边形,然后综合运用平行四边形的性质、判定解决问题.平行四边形的性质与判定是中考的重要 考点,其考查方式灵活多样,选择题、填空题、解答题中都可能考查,且往往会综合其他几何图形 的知识考查. 类型一 平行四边形的性质 1. 如图,▱ABCD 的周长为16,AC,BD 相交 于点O,OE⊥AC 交AD 于点E,则△DCE 的周长为 ( ) 第1题 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. (泸州中考)如图,E,F 分别是▱ABCD 的 边AB,CD 上 的 点,且 AE=CF.求 证: DE=BF. 第2题 3. (怀化中考)如图,四边形ABCD 为平行四边 形,点E,A,C,F 在同一条直线上,AE= CF.求证: (1) △ADE≌△CBF; (2) ED∥BF. 第3题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 46 答案讲解 4. 如图,把平行四边形纸片ABCD 沿 BD 折叠,点C 落在点C'处,BC'与 AD 相交于点E. (1) 连接AC',则AC'与BD 的位置关系是 . (2) BE 与DE 相等吗? 证明你的结论. 第4题 5. (扬州中考)如图,在▱ABCD 中,BE,DG 分 别平分∠ABC,∠ADC,交AC 于点E,G. (1) 求证:DG∥BE,DG=BE. (2) 过点 E 作EF⊥AB,垂足为 F.若 ▱ABCD 的周长为56,EF=6,求△ABC 的 面积. 第5题 类型二 平行四边形的判定 6. ★在平面直角坐标系中,以A(0,2),B(-1, -1),C(3,0),D 为顶点构造平行四边形.下 列不能作为顶点D 的坐标是 ( ) A. (2,-3) B. (-4,1) C. (4,3) D. (-4,0) 7. (河池中考)如图,点A,F,C,D 在同一条直 线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF. (1) 求证:∠ACB=∠DFE; (2) 连接BF,CE,直接判断四边形BFEC 的形状. 第7题 8. 如图,以△ABC 的三边为边分别作等边三角 形ACD,等边三角形 ABE,等边三角形 BCF,连接EF,FD.求证:四边形ADFE 是 平行四边形. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 47 9. 新考法 开放题 如图,在四边形ABCD 中, 对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 分别在 OA,OC 上. (1) 给出下列条件:① OB=OD;② ∠1= ∠2;③ OE=OF.请你从中选择两个条件证 明△BEO≌△DFO. (2) 在(1)中你所选条件的前提下,添加 AE=CF,求证:四边形ABCD 是平行四 边形. 第9题 类型三 平行四边形性质与判定的综合应用 10. (内江中考)如图,在▱ABCD 中,点E,F 在对角线BD 上,且BE=DF.求证: (1) △ABE≌△CDF; (2) 四边形AECF 是平行四边形. 第10题 11. (无锡中考)如图,在▱ABCD 中,O 为对角 线BD 的中点,EF 过点O,且分别交AB, DC 于点E,F,连接DE,BF.求证: (1) △DOF≌△BOE; (2) DE=BF. 第11题 答案讲解 12. 如图,将▱ABCD 沿过点A 的直 线l折叠,使点D 落到边AB 上的 点D'处,直线l交边CD 于点E, 连接BE. (1) 求证:四边形BCED'是平行四边形; (2) 若 BE 平 分∠ABC,求 证:AB2= AE2+BE2. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 48 13. 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点 O,EF 过点O 交AD 于点E,交BC 于点 F,G 是OA 的中点,H 是OC 的中点,连接 EG,GF,FH,EH.求证:四边形EGFH 是 平行四边形. 第13题 答案讲解 14. 如图,在四边形ABCD 中,BD 垂 直平分AC,交AC于点E,∠BCD= ∠ADF,AF⊥AC. (1) 求证:四边形ABDF 是平行四边形; (2) 若AF=DF=5,AD=6,求AC 的长. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级