专题6 分式的化简求值-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

42 专题六　分式的化简求值 分式的化简求值题全面考查了初中代数式的运算及求值能力,一直是中考必考的重要考点, 且常常以解答题的形式考查.分式的化简求值题全都遵循“先化简,再求值”的原则.分式的化简, 要牢记运算法则和运算顺序,并能灵活应用. 类型一 化简分式，直接代值计算 1. (湘潭中考)先化简,再求值:1 x-3÷ 1 x2-9- x x+1 ·x 2+x x2 ,其中x=2. 2. (邵阳中考)先化简 1 x+1+ 1 x2-1 ÷ xx-1, 再从-1,0,1,3中选择一个合适的数作为 x的值代入求值. 3. (营 口 中 考)先化简,再求值: a+1- 5+2a a+1 ÷a 2+4a+4 a+1 ,其 中 a = 9 + |-2|- 12 -1 . 4. (大 庆 中 考)先化简,再求值:a 2 b-a ÷ a2-b2 b ,其中a=2b,b≠0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 拍 照 批 改 43 5. (娄 底 中 考)先化简,再求值: x+2+ 4 x-2 ÷ x 3 x2-4x+4 ,其中x是满足x≤2的 合适的非负整数. 6. 先化简,再求值: 3 x+1-x+1 ÷x 2+4x+4 x+1 , 其中x2=4. 答案讲解 7. 先 化 简 a a-b- b2 a2-ab ÷ a2+2ab+b2 a ,当a=-1时,请你选 择一个适当的数作为b的值代入求值. 类型二 化简分式，整体代值计算 8. (龙东地区中考)先化简,再求值: x2-3x-1- 2 ÷ 1x-1,其中x满足x2-2x-3=0. 9. 先 化 简,再 求 值: a 2-4 a2-4a+4- 1 2-a ÷ 2 a2-2a ,其中a满足a2+3a-2=0. 10. 先化简,再求值:a-1 a - a-2 a+1 ÷ 2a2-aa2+2a+1, 其中a2-a-1=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 44 类型三 分式的化简求值与解方程（组）、 不等式（组）的综合题 答案讲解 11. 先 化 简,再 求 值: 2 m- 1 n ÷ m2+n2 mn - 5n m · m2n+2nm+2 ,其 中m,n满足 m+1+(n-3)2=0. 12. 先化简,再求值:a 2-6ab+9b2 a2-2ab ÷ 5b 2 a-2b- a-2b -1a,其中a,b满足a+b=8,a-b=1. 13. (达州中考)先化简,再求值: 1-3a-10a-2 ÷ a-4 a2-4a+4 ,其中a与2,3是三角形的三边 长,且a为整数. 答案讲解 14. ★(广 元 中 考)先化简,再求值: 2 x2+x÷ 1-x-1x2-1 ,其中x 是 不等式组 2(x-1)<x+1, 5x+3≥2x 的整数解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 17 因式分解助力代数式化简求值 求代数式的值时,若不能直接代值计算,则需要先 将所给“知值”式和“求值”式变形,再整体代值计算,变 形最重要的方法是将整体或局部因式分解.此题中关 键的变形有两处:一是将x2 用3x-2替换,达到降次 的目的;二是将2x2-6x 局部因式分解,从而将x2- 3x整体代入求值. 11. 0 12. 36 解析:∵ x+y=3,xy=2,∴ 2x3y+4x2y2+ 2xy3=2xy(x2+2xy+y2)=2xy(x+y)2=2×2× 32=36. 13. (2x+1)2-8(2x+1)+16=(2x+1-4)2=(2x- 3)2.当2x-3=5时,原式=(5)2=5. 14. ∵ (n+5)2-(n-1)2=(n+5+n-1)(n+5-n+ 1)=6(2n+4)=12(n+2),又∵ n 是正整数,∴ (n+ 5)2-(n-1)2能被12整除. 15. ∵ a4+b2c2-a2c2-b4=0,∴ (a4-b4)+(b2c2- a2c2)=0.∴ (a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0. ∴ (a2-b2)(a2+b2-c2)=0.∴ (a+b)(a-b)(a2+ b2-c2)=0.∵ a+b≠0,∴ a-b=0或a2+b2-c2=0. ∴ a=b或a2+b2=c2.∴ △ABC 是等腰三角形或直角 三角形或等腰直角三角形. 16. -2x4+12x3-18x2=-2x2(x2-6x+9)= -2x2(x-3)2.∵ -2x2≤0,(x-3)2≥0,∴ -2x2(x- 3)2≤0.∴ 不论x 取何实数,多项式-2x4+12x3- 18x2的值都不会是正数. 专题六　分式的化简求值 1. 原式= 1x-3 ·(x+3)(x-3)- xx+1 ·x(x+1) x2 = x+3-1=x+2.当x=2时,原式=2+2=4. 2. 原式= x-1+1(x+1)(x-1) ·x-1 x = 1 x+1. 由题意,得 x≠-1,0,1,∴ x只能取3,此时原式= 1 3+1 = 3-12 . 3. 原 式 = (a+1)2-(5+2a) a+1 · a+1(a+2)2 = a2-4 a+1 · a+1 (a+2)2= (a+2)(a-2) a+1 · a+1(a+2)2= a-2 a+2.∵ a= 9+ |-2|- 12 -1 =3+2-2=3,∴ 原式=3-23+2= 1 5. 4. 原 式 =a 2-ab b · b(a+b)(a-b)= a(a-b) b · b (a+b)(a-b)= a a+b. 当 a=2b,b≠0时,原 式 = 2b 2b+b= 2b 3b= 2 3. 5. 原 式 = x 2-4 x-2+ 4 x-2 ÷ x 3 (x-2)2 = x2 x-2 · (x-2)2 x3 = x-2 x .∵ x≠0且x-2≠0,∴ x≠0且x≠2. ∵ x是满足x≤2的合适的非负整数,∴ x=1.∴ 原式= 1-2 1 =-1. 6. 原 式 = 3 x+1- (x+1)(x-1) x+1 ÷ (x+2) 2 x+1 = -(x+2)(x-2) x+1 · x+1(x+2)2= 2-x x+2.∵ x2=4,x+1≠0, x+2≠0,∴ x=2.当x=2时,原式=0. 7. 原 式 = a 2-b2 a(a-b) · a(a+b)2 = (a+b)(a-b) a(a-b) · a (a+b)2= 1 a+b.b 的值不唯一,如当a=-1时,取b=2, 原式= 1-1+2=1. 8. 原 式 = x 2-3 x-1- 2(x-1) x-1 · (x - 1)= x2-3-2x+2 x-1 ·(x-1)=x2-2x-1.∵ x2-2x-3= 0,∴ x2-2x=3.∴ 原式=3-1=2. 9. 原 式 = (a+2)(a-2)(a-2)2 + 1a-2 ·a(a-2)2 = a+2 a-2+ 1 a-2 · a(a-2)2 = a+3a-2 · a(a-2)2 = a(a+3) 2 = a2+3a 2 .∵ a2+3a-2=0,∴ a2+3a=2. ∴ 原式=22=1. 10. 原 式 = (a+1)(a-1)-a(a-2) a(a+1) · (a+1) 2 a(2a-1)= 2a-1 a(a+1) · (a+1) 2 a(2a-1)= a+1 a2 .∵ a2-a-1=0,∴ a2= a+1.∴ 原式=a+1a+1=1. 11. 原式=2n-mmn ÷ m2+n2-5n2 mn ·m 2+4n2+4mn 2mn = 2n-m mn · mn(m+2n)(m-2n) · (m+2n) 2 2mn =- m+2n 2mn . ∵ m+1+(n-3)2=0,∴ m+1=0,n-3=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 ∴ m=-1,n=3.∴ 原式=- -1+2×32×(-1)×3= 5 6. 12. 原 式 = (a-3b)2 a(a-2b)÷ 5b2 a-2b- a2-4b2 a-2b - 1a = (a-3b)2 a(a-2b) ÷ 9b2-a2 a-2b - 1 a = (a-3b)2 a(a-2b) · a-2b (3b+a)(3b-a) - 1 a = 3b-a a(3b+a) - 1 a = 3b-a-3b-a a(3b+a) =- 2 3b+a. 由 a+b=8, a-b=1, 解得 a=92 , b=72. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ a+3b=15.∴ 原式=-215. 13. 原 式=a-2-3a+10a-2 · (a-2) 2 a-4 = -2(a-4) a-2 · (a-2)2 a-4 =-2 (a-2)=-2a+4.∵ a与2,3是三角形的 三边长,∴ 3-2<a<3+2,即1<a<5.∵ a 为整数, ∴ a=2或3或4.又∵ a-2≠0且a-4≠0,∴ a≠2且 a≠4.∴ a=3.∴ 原式=-2×3+4=-6+4=-2. 14. 原 式 = 2x(x+1)÷ x2-1-x+1 (x+1)(x-1)= 2 x(x+1) · (x+1)(x-1) x(x-1) = 2 x2. 解不等式组 2(x-1)<x+1, 5x+3≥2x, 得 -1≤x<3.∵ x 为整数,∴ x 的值为-1,0,1,2. ∵ x(x+1)≠0,(x+1)(x-1)≠0,x(x-1)≠0,∴ x≠ 0,-1,1,即x只能取2.当x=2时,原式=222= 1 2. 分式的化简求值与解不等式(组)综合题的解法 解分式的化简求值与不等式(组)的综合题时,通 常先进行分式的化简,要注意分式的运算结果应是最 简分式或整式;再解不等式(组);最后代值,代值时应 注意字母取值的限制条件:字母的取值应使原分式及 运算过程中所有分式都有意义,即所有分母均不为0. 专题七　平行四边形的性质与判定 1. C 2. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A=∠C,AD= CB.在△ADE 和△CBF 中, AD=CB, ∠A=∠C, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △CBF.∴ DE=BF. 3. (1) ∵ 四边形ABCD 为平行四边形,∴ DA=BC, DA∥BC.∴ ∠DAC=∠BCA.∵ ∠DAC+∠EAD= 180°,∠BCA+∠FCB=180°,∴ ∠EAD=∠FCB.在 △ADE 和△CBF 中, AE=CF, ∠EAD=∠FCB, AD=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △CBF.(2) 由(1),知△ADE≌△CBF,∴ ∠E=∠F. ∴ ED∥BF. 4. (1) AC'∥BD.(2) BE 与 DE 相 等.由 折 叠,得 ∠CBD=∠C'BD.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC.∴ ∠ADB=∠CBD.∴ ∠EDB=∠EBD. ∴ BE=DE. 5. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, AD=BC,AB=CD,∠ABC=∠ADC.∴ ∠DAC= ∠BCA.∵ BE,DG 分 别 平 分 ∠ABC,∠ADC, ∴ ∠CBE = 12 ∠ABC ,∠ADG = 12 ∠ADC. ∴ ∠ADG= ∠CBE.∵ ∠DGE= ∠DAC+ ∠ADG, ∠BEG=∠BCA+∠CBE,∴ ∠DGE=∠BEG.∴ DG∥ BE.在 △ADG 和 △CBE 中, ∠DAG=∠BCE, AD=CB, ∠ADG=∠CBE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADG≌△CBE.∴ DG=BE.(2) 如图,过点E 作 EH⊥BC 于点H.∵ BE 平分∠ABC,EF⊥AB,EH⊥ BC,∴ EH=EF=6.∵ ▱ABCD 的周长为56,∴ AB+ BC=28.∴ S△ABC = 1 2AB ·EF+ 12BC ·EH = 1 2EF ·(AB+BC)=12×6×28=84. 第5题 6. D 巧用中心对称性求平行四边形的顶点坐标 平行四边形是中心对称图形,其对称中心是对角 线的交点,也是每条对角线的中点.在平面直角坐标系 中,对角线的交点坐标是对角顶点坐标的平均数,即 为对角顶点坐标和的一半.若已知平行四边形三个 顶点的坐标,则利用中心对称性可以求第四个顶点的 坐标.若各顶点的顺序不确定,则第四个顶点的坐标 有三种情况. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈