专题5 因式分解的方法与应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

16 180°,∴ ∠ACN=∠DCM.∵ AN,DM 分别是△ACE 和 △BDC 的高,∴ ∠CNA=∠CMD=90°.在△ANC 和 △DMC 中, ∠ACN=∠DCM, ∠CNA=∠CMD, AC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ANC≌△DMC. ∴ AN=DM.∵ S1= 1 2BC ·DM,S2= 1 2EC ·AN, EC=BC,∴ S1=S2. 10. 【问题提出】 由旋转,知BE=AF,∠EBC=∠FAC, EC=FC,∠ECF=60°,∴ △ECF 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠FEC=60°.∴ ∠AEF+∠BEC=120°.∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠BAC=∠ABC=60°.∴ ∠BEC+ ∠BCE=120°.∴ ∠AEF = ∠BCE.∵ ED =EC, ∴ ∠D = ∠ECD.∴ ∠AEF = ∠D.∵ ∠FAC = ∠ABC=60°,∠BAC=60°,∴ ∠EAF = ∠BAC+ ∠FAC=120°.∵ ∠ABC =60°,∴ ∠DBE =120°. ∴ ∠EAF = ∠DBE.在 △AEF 和 △BDE 中, ∠AEF=∠D, ∠EAF=∠DBE, AF=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△BDE.∴ AE=BD. ∵ AB=AE+BE,BE=AF,AE=DB,∴ AB=DB+ AF.【类比探究】 (1) AB=DB-AF.理由:由旋转,知 BE=AF,∠EBC=∠FAC,EC=FC,∠ECF=60°, ∴ △ECF 是等边三角形.∴ ∠FEC=60°.∴ ∠FEA+ ∠BEC=60°.∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠BAC= ∠ABC=60°.∴ ∠BEC+∠BCE=60°.∴ ∠FEA= ∠BCE.∵ ED=EC,∴ ∠D=∠BCE.∴ ∠FEA= ∠D.∵ ∠ABC=60°,∴ ∠DBE=60°,∠EBC=120°. ∴ ∠FAC=∠EBC=120°.∵ ∠BAC=60°,∴ ∠FAE= 60°.∴ ∠FAE=∠EBD.又∵ ∠FEA=∠D,AF=BE, ∴ △AEF≌△BDE.∴ AE=BD.∵ AB=AE-BE, AF=BE,∴ AB=DB-AF.(2) 图形补充完整如图①或 ②所示,AB=AF-DB. 第10题 旋转类比探究题的解题策略 解决旋转类比探究题的策略:一是利用旋转的性 质及由旋转得到的全等关系,得到线段、角之间的数量 关系;二是把握运动变化的全过程,关注一些不变的 量、不变的关系,善于化动为静,由特殊情形(特殊点、 特殊值、特殊位置、特殊图形等)过渡到一般情形,运用 类比、分类讨论、转化等数学思想加以解决. 专题五　因式分解的方法与应用 1. (1) 原式=-5ab(ab2-4b+1).(2) 原式=4(x- y)2(2ax-2ay-b). 2. (1) 原式=-a(a-1)2.(2) 原式=-2x(10x-11)· (2x+5).(3) 原式=(x-1)4. 3. (1) mx-2ny-nx+2my=(mx-nx)-(2ny- 2my)=x(m-n)+2y(m-n)=(m-n)(x+2y). (2) 4x2-4x-y2+1=(4x2-4x+1)-y2=(2x-1)2- y2=(2x-1+y)(2x-1-y). 4. (1) 原式=(y+4)(y-6).(2) 原式=(2x+1)(x-2). 5. (1) x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+ 2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2) a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2- (ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab). 6. (1) (b-a)(5a+b);5(a+b)(a-b).(2) (x-y+ 1)2;(a+b-2)2.(3) (n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+ 3n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1= (n2+3n+1)2.∵ n 为正整数,∴ 式子(n+1)(n+ 2)(n2+3n)+1的值一定是正整数n2+3n+1的平方. 7. (1) 552-452=(55+45)×(55-45)=100×10= 1 000.(2) 9914×100 3 4= 100- 3 4 × 100+34 = 10 000-916=9 999716. (3) 872+87×26+132=872+ 2×87×13+132 = (87+13)2 =1002 =10 000. (4) (-3)101+(-3)100+399=-3101+3100+399=399× (-32+3+1)=-5×399. 8. D 9. C 10. A 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 17 因式分解助力代数式化简求值 求代数式的值时,若不能直接代值计算,则需要先 将所给“知值”式和“求值”式变形,再整体代值计算,变 形最重要的方法是将整体或局部因式分解.此题中关 键的变形有两处:一是将x2 用3x-2替换,达到降次 的目的;二是将2x2-6x 局部因式分解,从而将x2- 3x整体代入求值. 11. 0 12. 36 解析:∵ x+y=3,xy=2,∴ 2x3y+4x2y2+ 2xy3=2xy(x2+2xy+y2)=2xy(x+y)2=2×2× 32=36. 13. (2x+1)2-8(2x+1)+16=(2x+1-4)2=(2x- 3)2.当2x-3=5时,原式=(5)2=5. 14. ∵ (n+5)2-(n-1)2=(n+5+n-1)(n+5-n+ 1)=6(2n+4)=12(n+2),又∵ n 是正整数,∴ (n+ 5)2-(n-1)2能被12整除. 15. ∵ a4+b2c2-a2c2-b4=0,∴ (a4-b4)+(b2c2- a2c2)=0.∴ (a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0. ∴ (a2-b2)(a2+b2-c2)=0.∴ (a+b)(a-b)(a2+ b2-c2)=0.∵ a+b≠0,∴ a-b=0或a2+b2-c2=0. ∴ a=b或a2+b2=c2.∴ △ABC 是等腰三角形或直角 三角形或等腰直角三角形. 16. -2x4+12x3-18x2=-2x2(x2-6x+9)= -2x2(x-3)2.∵ -2x2≤0,(x-3)2≥0,∴ -2x2(x- 3)2≤0.∴ 不论x 取何实数,多项式-2x4+12x3- 18x2的值都不会是正数. 专题六　分式的化简求值 1. 原式= 1x-3 ·(x+3)(x-3)- xx+1 ·x(x+1) x2 = x+3-1=x+2.当x=2时,原式=2+2=4. 2. 原式= x-1+1(x+1)(x-1) ·x-1 x = 1 x+1. 由题意,得 x≠-1,0,1,∴ x只能取3,此时原式= 1 3+1 = 3-12 . 3. 原 式 = (a+1)2-(5+2a) a+1 · a+1(a+2)2 = a2-4 a+1 · a+1 (a+2)2= (a+2)(a-2) a+1 · a+1(a+2)2= a-2 a+2.∵ a= 9+ |-2|- 12 -1 =3+2-2=3,∴ 原式=3-23+2= 1 5. 4. 原 式 =a 2-ab b · b(a+b)(a-b)= a(a-b) b · b (a+b)(a-b)= a a+b. 当 a=2b,b≠0时,原 式 = 2b 2b+b= 2b 3b= 2 3. 5. 原 式 = x 2-4 x-2+ 4 x-2 ÷ x 3 (x-2)2 = x2 x-2 · (x-2)2 x3 = x-2 x .∵ x≠0且x-2≠0,∴ x≠0且x≠2. ∵ x是满足x≤2的合适的非负整数,∴ x=1.∴ 原式= 1-2 1 =-1. 6. 原 式 = 3 x+1- (x+1)(x-1) x+1 ÷ (x+2) 2 x+1 = -(x+2)(x-2) x+1 · x+1(x+2)2= 2-x x+2.∵ x2=4,x+1≠0, x+2≠0,∴ x=2.当x=2时,原式=0. 7. 原 式 = a 2-b2 a(a-b) · a(a+b)2 = (a+b)(a-b) a(a-b) · a (a+b)2= 1 a+b.b 的值不唯一,如当a=-1时,取b=2, 原式= 1-1+2=1. 8. 原 式 = x 2-3 x-1- 2(x-1) x-1 · (x - 1)= x2-3-2x+2 x-1 ·(x-1)=x2-2x-1.∵ x2-2x-3= 0,∴ x2-2x=3.∴ 原式=3-1=2. 9. 原 式 = (a+2)(a-2)(a-2)2 + 1a-2 ·a(a-2)2 = a+2 a-2+ 1 a-2 · a(a-2)2 = a+3a-2 · a(a-2)2 = a(a+3) 2 = a2+3a 2 .∵ a2+3a-2=0,∴ a2+3a=2. ∴ 原式=22=1. 10. 原 式 = (a+1)(a-1)-a(a-2) a(a+1) · (a+1) 2 a(2a-1)= 2a-1 a(a+1) · (a+1) 2 a(2a-1)= a+1 a2 .∵ a2-a-1=0,∴ a2= a+1.∴ 原式=a+1a+1=1. 11. 原式=2n-mmn ÷ m2+n2-5n2 mn ·m 2+4n2+4mn 2mn = 2n-m mn · mn(m+2n)(m-2n) · (m+2n) 2 2mn =- m+2n 2mn . ∵ m+1+(n-3)2=0,∴ m+1=0,n-3=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 39 专题五　因式分解的方法与应用 因式分解是整式乘法的逆运算,是数学运算的基础知识,是初中数学极其重要的恒等变形, 也是重要的解题方法,在数学中有着广泛的应用.这也是中考重要的考点,在中考中除了单独考 查因式分解,还会与其他知识综合考查. 类型一 因式分解的方法 (一) 提公因式法 1. 把下面各式因式分解: (1) -5a2b3+20ab2-5ab; (2) 8a(x-y)3-4b(y-x)2. (二) 公式法 2. 把下列各式因式分解: (1) (巴中中考)-a3+2a2-a; (2) 32x(x-2)2-18x(2x-1)2; (3) (x2+1)2-4x(x2+1)+4x2. (三) 分组分解法 3. 将一个多项式分组后,可提公因式或运用公 式继续分解的方法是分组分解法.例如: ① am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+ bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+ n);② x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+ 1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1). 试用上述方法分解因式: (1) mx-2ny-nx+2my; (2) 4x2-4x-y2+1. (四) 十字相乘法 4. 在分解因式x2+3x+2的过程中,可以用十 字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系 数,分别写在十字交叉线的左上角和左下 角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的 右上角和右下角;最后交叉相乘,求代数和, 使其等于一次项系数(如图).这样,我们可 以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2). 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 40 请用这种方法分解因式: (1) y2-2y-24; (2) 2x2-3x-2. (五) 拆、添项法 答案讲解 5. 阅读材料: 在对某些多项式分解因式时, 需要恢复那些被合并或相互抵消的 项,即把多项式中的某一项拆成两项或多 项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的 项,前者称为拆项,后者称为添项.如:x4+ 4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2- (2x)2=(x2-2x+2)(x2+2x+2). 仿照上述方法分解因式: (1) x4+4y4; (2) a4+a2b2+b4. (六) 换元(整体)法 6. 整体思想 阅读材料: 分解因式:(a+b)2-2(a+b)+1. 解:将“a+b”看成整体,设 M=a+b,则原 式=M2-2M+1=(M-1)2. 再将“M”还原,得原式=(a+b-1)2. 上述解题方法用到的是“整体思想”,“整体 思想”是数学解题中常用的一种思想方法, 请你仿照上面的方法解答下列问题: (1) 分解因式:(2a+b)2-9a2= ; (3a+2b)2-(2a+3b)2= . (2) 分解因式:(x-y)2+2(x-y)+1= ;(a+b)(a+b-4)+4= . (3) 求证:若n 为正整数,则式子(n+ 1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个 正整数的平方. 类型二 因式分解的应用 (一) 用于简便计算 7. 利用因式分解计算: (1) 552-452; (2) 9914×100 3 4 ; (3) 872+87×26+132; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 41 (4) (-3)101+(-3)100+399. (二) 用于化简求值 8. 已知a=b+2,则代数式3a2-6ab+3b2+ 2022的值为 ( ) A. 2020 B. 2024 C. 2021 D. 2034 9. 已知x-y=3,y-z=2,x+z=4,则代数 式x2-z2的值是 ( ) A. 9 B. 18 C. 20 D. 24 10. ★若x2-3x+2=0,则x3-x2-4x+10 的值是 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 如果a,b互为相反数,那么a2(3x+2y)- b2(2y+3x)的值是 . 12. 已知x+y=3,xy=2,则2x3y+4x2y2+ 2xy3的值为 . 13. 已知2x-3= 5,求代数式(2x+1)2- 8(2x+1)+16的值. (三) 用于判断整除 14. 利用因式分解,求证:(n+5)2-(n-1)2能 被12整除(n是正整数). (四) 用于判断三角形的形状 答案讲解 15. 若△ABC 的三边长a,b,c 满足 a4+b2c2-a2c2-b4=0,请判断 △ABC 的形状. (五) 用于推理证明 答案讲解 16. 求证:不论x 取何实数,多项式 -2x4+12x3-18x2 的值都不会 是正数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优