专题4 图形旋转的有关证明-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

36 专题四　图形旋转的有关证明 旋转同平移、轴对称一样,属于全等变换,是研究图形性质和位置关系、进行方案设计、解决 数学及现实问题的重要途径与方法.图形旋转的有关证明为中考重要考点,常与三角形、特殊四 边形、圆等图形综合考查,难度较大,特别是作为中考热点题型的动态变换题、操作探究题,甚至 是压轴题,常以图形的旋转变换为依托,进行变式、拓展、延伸. 类型一 图形旋转性质的有关证明 1. (益阳中考)如图,在△ABC 中,∠CAB= 20°,∠ABC=30°,将△ABC 绕点A 按逆时 针方向旋转50°得到△AB'C'.有下列结论: ① BC=B'C';② AC∥B'C';③ B'C'⊥ BB';④ ∠ABB'=∠ACC'.其中,正确的有 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第1题 第2题 2. (呼 和 浩 特 中 考)如 图,在 △ABC 中, ∠ACB=90°,将△ABC 绕点C 按顺时针方 向旋转得到△EDC,使点B 的对应点D 恰 好落在边AB 上,AC,ED 交于点F.若 ∠BCD=α,则∠EFC 的度数是(用含α的 代数式表示) ( ) A. 90°+12α B. 90°-12α C. 180°-32α D. 3 2α 答案讲解 3. (聊城中考)如图①,在等腰直角三 角形ABC 中,∠BAC=90°,一把三 角尺的直角顶点与边BC 的中点O 重合,且两条直角边分别经过点A 和点B. 如图②,将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转 任意一个锐角,当三角尺的两条直角边与 AB,AC 分别交于点E,F 时,下列结论错误 的是 ( ) 第3题 A. AE+AF=AC B. ∠BEO+∠OFC=180° C. OE+OF= 22BC D. S四边形AEOF= 1 2S△ABC 4. (西宁中考)如图,在△ABC 中,∠C=90°, ∠B=30°,AB=6,将△ABC 绕点A 按逆时 针方向旋转15°得到△AB'C',B'C'交AB 于 点E,则B'E= . 第4题 第5题 5. 如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC, ∠BAC=45°,点D 在边AC 上,将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转45°得到△ACD', 且 D',D,B 三 点 在 同 一 条 直 线 上,则 ∠ABD 的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 拍 照 批 改 37 6. (常州中考)如图,点A 在射线OX 上,OA= a.如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转n° (0<n≤360)到OA',那么点A'的位置可以 用(a,n°)表示. (1) 按上述表示方法,若a=3,n=37,则点 A'的位置可以表示为 . (2) 在(1)的 条 件 下,若 点 B 的 位 置 用 (3,74°)表示,连接A'A,A'B.求证:A'A=A'B. 第6题 答案讲解 7. 思想方法 类比法 如图①,在△ABC 中,∠ACB=90°,P 为△ABC 内一 点,连接 PA,PB,PC.求 PA+ PB+PC 的最小值. 小慧以点A 为旋转中心,将△ABP 按顺时 针方向旋转60°得到△ANM,连接PM,就 将PA+PB+PC 的值转化为PM+MN+ PC 的值,连接CN 交AB 于点Q,当点P 落 在CN 上时,此题可解. 第7题 请你参考小慧的思路在图②中证明PA+ PB+PC=PM +MN +PC,并计算当 AC=BC=4时,PA+PB+PC 的最小值. 类型二 与旋转有关的探究题 8. (黔西南中考)如图,D 为等边三角形ABC 内一点,将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋 转60°得到AE,连接CE,BD,BD 的延长线 与AC 交于点G,与CE 交于点F. (1) 求证:BD=CE. (2) 连接FA,小颖对该图形进行探究,得出 结论:∠BFC=∠AFB=∠AFE.小颖的结 论是否正确? 若正确,请给出证明;若不正 确,请说明理由. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 38 答案讲解 9. 如图①,将两个完全相同的△ABC 和△DEC 重合放置,其中∠C= 90°,∠B=∠E=30°. (1) 【操作发现】 如图②,固定△ABC 的位置,使△DEC 绕点 C 旋转,当点D 恰好落在边AB 上时,填空: ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ; ② 设△BDC 的面积为S1,△AEC 的面积为 S2,则S1与S2的数量关系是 . (2) 【猜想论证】 当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置 时,小明猜想(1)中S1 与S2 的数量关系仍 然成 立,并 尝 试 分 别 作 出 了 △BDC 和 △AEC 中边BC,CE 上的高,请你证明小明 的猜想. 第9题 答案讲解 10. ★【问题提出】 如图①,△ABC 是等边三角形,点 E 在线段AB 上,点D 在直线BC 上,且ED=EC.将△BCE 绕点C 按顺时 针方向旋转60°至△ACF,连接EF.求证: AB=DB+AF. 【类比探究】 (1) 如图②,如果点E 在线段AB 的延长线 上,其他条件不变,线段AB,DB,AF 之间 又有怎样的数量关系? 请说明理由. (2) 如果点E 在线段BA 的延长线上,其他 条件不变,请在图③的基础上将图形补充 完整,并写出AB,DB,AF 之间的数量关 系,不必说明理由. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 14 3x>0,得x<13.∵ 两个不等式的解集相同,∴ 2-a 3 = 1 3 ,解得a=1.(2) ∵ 不等式3x+a 2 <1 的解都是不等式 1-3x>0的解,∴ 2-a 3 ≤ 1 3 ,解得a≥1. 9. A 10. A 11. A 12. C 13. a>-2 14. m≤12 15. a>-1 解析:解关于x的不等式组 x+a≥0, 1-2x>x-2, 得 x≥-a, x<1. ∵ 原不等式组有解,∴ -a<1,解得a>-1. 16. 解不等式3x-a≥0,得x≥a3 ,解不等式1 2 (x- 2)>3x+4,得x<-2.由题意,得a3<-2 ,解得a<-6. ∴ 不等式组的解集为a 3≤x<-2. 17. B 18. 3≤a<4 19. 2≤a<3 解析:解不等式组,得a-2<x≤3.∵ 该 不等式组恰有3个整数解,∴ 0≤a-2<1.∴ 2≤a<3. 不等式(组)中的字母取值范围问题的求解策略 根据不等式(组)的解集情况求解有关字母的取值 范围问题,解答的策略是先求解不等式(组),再根据不 等式(组)解的情况将不等式组的解集在数轴上表示 出来,借助数轴的直观性确定字母或字母所在代数 式的取值范围,注意空心圆圈与实心圆点的区别,全 面考虑问题. 20. 8,10,26 解析:解方程9x-3=kx+14,得x= 17 9-k.∵ 方程有整数解,∴ 9-k=±1或9-k=±17,解 得k=8或10或-8或26.解不等式组 x+15 2 >x+5 , x≥k-28 -2x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 k-2 24 ≤x<5.∵ 不等式组有且只有4个整数解,∴ 0< k-2 24 ≤1 ,解得2<k≤26.∴ 满足条件的整数k的值为8, 10,26. 21. 根据题意,得2※x=2x-2-x+3=x+1.∴ a< x+1<7,即a-1<x<6.∵ 解集中有2个整数解,∴ 这 2个整数解为5,4.∴ a-1<4, a-1≥3, 解得4≤a<5. 22. 由题图,可知数轴上被墨汁覆盖的整数是-1,0,1,2. 解不等式组 3(x+m)>2x+3, x≤x-22 +n , 得 x>3-3m,x≤2n-2. 根据题 意,得-2≤3-3m<-1,2≤2n-2<3,解得43<m≤ 5 3 ,2≤n<52. 23. A 24. 解不等式-12x≤-1 ,得x≥2.解不等式x-2≤0, 得x≤2.∵ x同时满足两个不等式,∴ x=2.将x=2代 入x-4 2 -a+1=x ,得-1-a+1=2,解得a=-2. 25. 令 2x+y=-3m+2①, x+2y=4②. 由①+②,得3(x+y)= -3m+6,即x+y=-m+2.∵ x+y>- 3 2 ,∴ -m+ 2>-32 ,解得m<72.∵ m 为正整数,∴ m=1,2,3. 专题四　图形旋转的有关证明 1. B 解析:① ∵ △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转50° 得到△AB'C',∴ BC=B'C'.故①正确.② ∵ △ABC 绕 点A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 50°,∴ ∠BAB'=50°. ∵ ∠CAB=20°,∴ ∠B'AC=∠BAB'-∠CAB=30°.由 旋转,得∠AB'C'=∠ABC=30°,∴ ∠AB'C'=∠B'AC. ∴ AC∥B'C'.故②正确.③ 在△BAB'中,AB=AB', ∠BAB'=50°,∴ ∠AB'B=∠ABB'= 12 × (180°- 50°)=65°.∴ ∠BB'C'=∠AB'B+∠AB'C'=65°+ 30°=95°.∴ B'C'与BB'不垂直.故③不正确.④ 由旋转, 得AC=AC',∠CAC'=50°,∴ ∠ACC'=12× (180°- 50°)=65°.∴ ∠ABB'=∠ACC'.故④正确.综上所述,正 确的有①②④. 2. C 3. C 解析:如图,连接AO.∵ △ABC 为等腰直角三角 形,O 为BC 的中点,∴ ∠AOC=90°,∠BAO=∠CAO= 45°=∠C.∴ OA=OC.∵ ∠EOA+∠AOF=∠EOF= 90°,∠AOF + ∠FOC = ∠AOC =90°,∴ ∠EOA = ∠FOC.在 △EOA 和 △FOC 中, ∠EAO=∠C, OA=OC, ∠EOA=∠FOC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 ∴ △EOA≌△FOC.∴ EA=FC.∴ AE+AF=FC+ AF=AC.故选项A正确.∵ ∠B+∠BEO+∠EOB= ∠FOC+ ∠C + ∠OFC =180°,∠B + ∠C =90°, ∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°,∴ ∠BEO+ ∠OFC=360°-(∠B+∠C)-(∠EOB+∠FOC)= 180°.故选项B正确.∵ △EOA≌△FOC,∴ S△EOA= S△FOC.∵ O 是BC 的中点,∴ BO=CO.∴ S四边形AEOF= S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC= 1 2S△ABC. 故选 项D正确. 第3题 4. 33-3 解析:在△ABC 中,∵ ∠C=90°,∠B=30°, AB=6,∴ 易得AC=3,BC=33,∠CAB=60°.∵ 将 △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°得到△AB'C', ∴ 易得△ABC≌△AB'C',∠CAC'=15°.∴ ∠C'AE= 45°,BC=B'C'=33.∴ 易得AC=AC'=C'E=3. ∴ B'E=B'C'-C'E=33-3. 5. 22.5° 解析:∵ 将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转 45°得到△ACD',∴ ∠BAC=∠CAD'=45°,AD=AD'. ∴ ∠AD'D=∠ADD'= 12 × (180°-45°)=67.5°, ∠D'AB=90°.∴ ∠ABD=90°-∠AD'B=90°-67.5°= 22.5°. 6. (1) (3,37°).(2) 如图.∵ A'(3,37°),B(3,74°), ∴ ∠AOA'=37°,∠AOB=74°,OA=OA'=OB=3. ∴ ∠A'OB= ∠AOB - ∠AOA'=74°-37°=37°. ∵ OA'=OA',∴ △AOA'≌△BOA'.∴ A'A=A'B. 第6题 7. 如图,以点A 为旋转中心,将△ABP 按顺时针方向旋 转60°得到△ANM,连接BN,PM.由旋转,得MN=PB, MA =PA,∠PAM = ∠BAN =60°,AN = AB. ∴ △PAM,△ABN 都是等边三角形.∴ AN=BN, PA=PM.∴ PA+PB+PC=PM +MN+PC.在 Rt△ABC中,当 AC=BC=4时,易 得 AB=4 2. ∴ AN=42.当C,P,M,N 四点在同一条直线上时, PA+PB+PC 的值最小.连接CN 交AB 于点Q.由 AC=BC,AN=BN,可得CN 垂直平分AB,∴ AQ= 1 2AB=22.∴ 在Rt△AQN 中,由勾股定理,得NQ= AN2-AQ2=26;在Rt△CQA 中,由勾股定理,得CQ= AC2-AQ2=22.∴ CN=CQ+NQ=22+26. ∴ PA+PB+PC的最小值为22+26. 第7题 8. (1) ∵ 线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转60°得到 AE,∴ AD=AE,∠DAE=60°.∵ △ABC 是等边三角 形,∴ AB=AC,∠BAC=60°.∴ ∠BAC=∠DAE.∴ 易得 ∠BAD = ∠CAE. 在 △ABD 和 △ACE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACE.∴ BD=CE. (2) 结论正确.如图,过点A 作BD,CF 的垂线,分别交 BD,CF 的 延 长 线 于 点 M,N.∵ △ABD≌△ACE, ∴ ∠ABD=∠ACE.又∵ ∠AGB=∠CGF,∴ ∠BFC= ∠BAC=60°.∴ ∠BFE=120°.∵ △ABD≌△ACE, ∴ BD=CE,S△ABD=S△ACE.∴ 1 2BD ·AM=12CE · AN.∴ AM =AN.在Rt△AFM 和 Rt△AFN 中, AF=AF, AM=AN, ∴ Rt△AFM ≌Rt△AFN.∴ ∠AFM = ∠AFN=60°.∴ ∠BFC=∠AFB=∠AFE. 第8题 9. (1) ① DE∥AC.② S1=S2.(2) 由△ABC 和△DEC 完全 相 同,可 知 BC=EC,∠DCE= ∠ACB=90°. ∴ ∠DCM+∠ACE=180°.又∵ ∠ACN+∠ACE= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 180°,∴ ∠ACN=∠DCM.∵ AN,DM 分别是△ACE 和 △BDC 的高,∴ ∠CNA=∠CMD=90°.在△ANC 和 △DMC 中, ∠ACN=∠DCM, ∠CNA=∠CMD, AC=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ANC≌△DMC. ∴ AN=DM.∵ S1= 1 2BC ·DM,S2= 1 2EC ·AN, EC=BC,∴ S1=S2. 10. 【问题提出】 由旋转,知BE=AF,∠EBC=∠FAC, EC=FC,∠ECF=60°,∴ △ECF 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠FEC=60°.∴ ∠AEF+∠BEC=120°.∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠BAC=∠ABC=60°.∴ ∠BEC+ ∠BCE=120°.∴ ∠AEF = ∠BCE.∵ ED =EC, ∴ ∠D = ∠ECD.∴ ∠AEF = ∠D.∵ ∠FAC = ∠ABC=60°,∠BAC=60°,∴ ∠EAF = ∠BAC+ ∠FAC=120°.∵ ∠ABC =60°,∴ ∠DBE =120°. ∴ ∠EAF = ∠DBE.在 △AEF 和 △BDE 中, ∠AEF=∠D, ∠EAF=∠DBE, AF=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△BDE.∴ AE=BD. ∵ AB=AE+BE,BE=AF,AE=DB,∴ AB=DB+ AF.【类比探究】 (1) AB=DB-AF.理由:由旋转,知 BE=AF,∠EBC=∠FAC,EC=FC,∠ECF=60°, ∴ △ECF 是等边三角形.∴ ∠FEC=60°.∴ ∠FEA+ ∠BEC=60°.∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠BAC= ∠ABC=60°.∴ ∠BEC+∠BCE=60°.∴ ∠FEA= ∠BCE.∵ ED=EC,∴ ∠D=∠BCE.∴ ∠FEA= ∠D.∵ ∠ABC=60°,∴ ∠DBE=60°,∠EBC=120°. ∴ ∠FAC=∠EBC=120°.∵ ∠BAC=60°,∴ ∠FAE= 60°.∴ ∠FAE=∠EBD.又∵ ∠FEA=∠D,AF=BE, ∴ △AEF≌△BDE.∴ AE=BD.∵ AB=AE-BE, AF=BE,∴ AB=DB-AF.(2) 图形补充完整如图①或 ②所示,AB=AF-DB. 第10题 旋转类比探究题的解题策略 解决旋转类比探究题的策略:一是利用旋转的性 质及由旋转得到的全等关系,得到线段、角之间的数量 关系;二是把握运动变化的全过程,关注一些不变的 量、不变的关系,善于化动为静,由特殊情形(特殊点、 特殊值、特殊位置、特殊图形等)过渡到一般情形,运用 类比、分类讨论、转化等数学思想加以解决. 专题五　因式分解的方法与应用 1. (1) 原式=-5ab(ab2-4b+1).(2) 原式=4(x- y)2(2ax-2ay-b). 2. (1) 原式=-a(a-1)2.(2) 原式=-2x(10x-11)· (2x+5).(3) 原式=(x-1)4. 3. (1) mx-2ny-nx+2my=(mx-nx)-(2ny- 2my)=x(m-n)+2y(m-n)=(m-n)(x+2y). (2) 4x2-4x-y2+1=(4x2-4x+1)-y2=(2x-1)2- y2=(2x-1+y)(2x-1-y). 4. (1) 原式=(y+4)(y-6).(2) 原式=(2x+1)(x-2). 5. (1) x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+ 2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy). (2) a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2- (ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab). 6. (1) (b-a)(5a+b);5(a+b)(a-b).(2) (x-y+ 1)2;(a+b-2)2.(3) (n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+ 3n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1= (n2+3n+1)2.∵ n 为正整数,∴ 式子(n+1)(n+ 2)(n2+3n)+1的值一定是正整数n2+3n+1的平方. 7. (1) 552-452=(55+45)×(55-45)=100×10= 1 000.(2) 9914×100 3 4= 100- 3 4 × 100+34 = 10 000-916=9 999716. (3) 872+87×26+132=872+ 2×87×13+132 = (87+13)2 =1002 =10 000. (4) (-3)101+(-3)100+399=-3101+3100+399=399× (-32+3+1)=-5×399. 8. D 9. C 10. A 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈