专题3 不等式(组)中的字母取值范围问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

33 专题三　不等式（组）中的字母取值范围问题 不等式(组)中的字母取值范围问题是一元一次不等式(组)中一类重要的题型,它考查对知 识的理解,以及数形结合思想的灵活应用,为中考热点题型.若借助数轴进行分析,并注意分类讨 论,则能快捷地解决此类问题. 类型一 根据“解集”求字母的取值（取值 范围） 1. (包头中考)定义新运算“★”,规定:a★b= a-2b.若关于x的不等式x★m>3的解集 为x>-1,则m 的值为 ( ) A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 2. 已知关于x 的不等式组 1-2x≤5, 3x-a>0 的解集 是x≥-2,则实数a的取值范围是 ( ) A. a>-2 B. a≥-2 C. a<-6 D. a≤-6 3. 若关于x 的不等式组 x+4 3 ≤x-6 , x+1>m 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的解集 是x≥11,则m 的取值范围是 ( ) A. m=12 B. m>12 C. m<12 D. m≥12 4. 已知关于x的不等式m-2x3 ≤-2 的解集为 x≥4,则m 的值为 . 5. 数形结合思想 关于x的不等式组 2x-1<5, m-x≥1 的解集如图所示,则m 的值为 . 第5题 6. 若关于x的不等式组 2x-3a<2, x-2b>3 的解集为 -1<x<2,则代数式a+b的值为 . 7. 小明在学习时,遇到以下问题,被难住了,请 你帮忙解答一下. 题目:不等式a(x-1)>x+1-2a 的解集 是x<-1,请确定a的取值范围. 答案讲解 8. 已知关于x的两个不等式3x+a2 < 1与1-3x>0. (1) 若两个不等式的解集相同,求a的值; (2) 若不等式3x+a 2 <1 的解都是不等式 1-3x>0的解,求a的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 34 类型二 根据“有解”“无解”确定字母的取值 范围 9. 若关于x 的不等式组 x≤3m+2, x-12>3-2x 无解, 则m 的取值范围是 ( ) A. m≤1 B. m<1 C. m≥1 D. m>1 10. 若关于x 的不等式组 5-3x≥0, x-m≥0 有解,则 实数m 的取值范围是 ( ) A. m≤53 B. m<53 C. m>53 D. m≥53 11. 若关于x的不等式组 x+1 3 < x 2-1 , x<4m 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 无解, 则m 的取值范围是 ( ) A. m≤2 B. m<2 C. m≥2 D. m>2 12. 若关于x 的不等式组 1+x<a, x+9 2 +1≥ x+1 3 -1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,则实数a的取值范围是 ( ) A. a<-36 B. a≤-36 C. a>-36 D. a≥-36 13. 若关于x的不等式组 -1≤x≤1, 2x<a 有解,则 a必须满足 . 14. 当m 的取值范围是 时,关于x 的 不等式组 x-3 2 ≤m , x-11>1-2x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 无解. 15. 若关于x 的不等式组 x+a≥0, 1-2x>x-2 有解, 则a的取值范围是 . 答案讲解 16. 已 知 关 于 x 的 不 等 式 组 3x-a≥0, 1 2 (x-2)>3x+4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,求实数 a的取值范围,并写出该不等式组的解集. 类型三 根据“整数解”确定字母的取值范围 17. (眉山中考)若关于x 的不等式x+m<1 只有3个正整数解,则m 的取值范围是 ( ) A. -3<m<-2 B. -3≤m<-2 C. -3≤m≤-2 D. -3<m≤-2 18. 若关于x的不等式组-1<x≤a有3个正 整数解,则a的取值范围是 . 19. ★(达州中考)已知关于x 的不等式组 -x+a<2, 3x-1 2 ≤x+1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 恰有3个整数解,则a的取 值范围是 . 答案讲解 20. 已知关于x的一元一次方程9x- 3=kx+14有整数解,且关于x的 不等式组 x+15 2 >x+5 , x≥k-28 -2x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 有且只 有4个整数解,则满足条件的整数k 的值 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 35 21. 新考法 新定义题 对于任意实数m,n, 定义一种运算“※”如下:m※n=mn-m- n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运 算.例如:3※5=3×5-3-5+3=10.请根 据上述定义解决问题:若a<2※x<7,且 解集中有2个整数解,求a的取值范围. 答案讲解 22. 如图,在数轴上被墨汁覆盖的整数 部分恰好是关于x 的不等式组 3(x+m)>2x+3, x≤x-22 +n 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的所有整数 解,求m,n的取值范围. 第22题 类型四 根据方程（组）的解（的关系式）求 字母的取值（取值范围） 23. (聊 城 中 考)若 关 于 x,y 的 方 程 组 2x-y=2k-3, x-2y=k 的解中x 与y 的和不小 于5,则k的取值范围是 ( ) A. k≥8 B. k>8 C. k≤8 D. k<8 24. 已知方程x-4 2 -a+1=x 的解满足不等 式-12x≤-1 和x-2≤0,求a的值. 25. 若 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 2x+y=-3m+2, x+2y=4 的 解 满 足 x+y> -32 ,求满足条件的m 的所有正整数值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 13 20件时,可获得最大利润,最大利润是3800元. 11. (1) 依题意,得3000 m = 2400 m-20 ,解得m=100.经 检 验,m=100是 原 分 式 方 程 的 解,且 符 合 题 意. ∴ m=100.(2) 设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种 运 动 鞋 (200 - x ) 双. 根 据 题 意, 得 (240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700, (240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300, 解得95≤ x≤105.∵ x是正整数,∴ 该专卖店共有105-95+1= 11(种)进货方案.(3) 设总利润为W 元,则W=(240- 100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16000 (95≤x≤105).① 当50<a<60时,60-a>0,W 随x的 增大而增大,∴ 当x=105时,W 有最大值,即此时应购 进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双.② 当a=60 时,60-a=0,W=16000.此时(2)中所有方案获利都一 样.③ 当60<a<70时,60-a<0,W 随x 的增大而减 小,∴ 当x=95时,W 有最大值,即此时应购进甲种运动 鞋95双,购进乙种运动鞋105双. 利用一次函数、不等式(组)设计最优方案的方法 利用一次函数、不等式(组)设计最优方案的一般 方法是列不等式(组)求得自变量的取值范围;列一次 函数的表达式,根据一次项系数值的正、负,确定一次 函数的增减性.注意:若一次项系数里含有字母参数, 其正、负不能确定,则还需要分类讨论,再根据自变量 取值范围的限制条件,确定最值. 专题二　数据的分析 1. (1) C.(2) 1 100× (50×8+75×16+105×40+150× 36)=112(min),∴ 这100名学生的平均劳动时间为 112min.(3) 1200×40+36100 =912 (名),∴ 估计在该校学 生中,劳动时间不少于90min的人数为912. 2. (1) 21.(2) 90;80.(3) ① 从平均数的角度看,两个班 的成绩一样;从中位数的角度看,(1)班的成绩比(2)班好, ∴ (1)班的成绩好.② 从平均数的角度看,两个班的成绩 一样;从众数的角度看,(2)班的成绩比(1)班好,∴ (2)班 的成绩好.③ 从B级以上(包括B级)的人数的角度看,易 知(1)班的人数是18,(2)班的人数是12,∴ (1)班的成 绩好. 3. (1) 3.75;2.0.(2) ②.(3) ∵ 一片长11cm、宽5.6cm 的树叶,长宽比接近2,∴ 这片树叶更可能来自荔枝树. 4. (1) 3.2;3.5.(2) 300×610=180 (棵).∴ 估计其产量 不低于3.16千克的棵数为180.(3) ∵ 甲品种的方差为 0.2944,乙品种的方差为0.1484,∴ 乙品种更好,产量稳 定(合理即可). 方差在数据分析中的作用 方差是用来描述一组数据中每一个数据与这组数 据的平均数的偏离程度的量,在实际生活中经常用方 差来判断数据的稳定性.方差越大,数据越不稳定,波 动越大;方差越小,数据越稳定,波动越小. 5. (1) a=177.5,b=185.(2) 应选乙.理由:乙的方差为 1 8× [2×(175-175)2+2×(180-175)2+2×(170- 175)2+(185-175)2+(165-175)2]=37.5.∵ 乙的方差 小于甲的方差,∴ 乙的成绩比甲的成绩稳定.∴ 应选乙. (3) 角度选择不唯一,如从平均数和中位数相结合看,甲 的一分钟跳绳成绩优. 6. (1) ∵ 有50名居民,4+8+12=24(名),∴ 中位数落 在第四组,中位数为75分.(2) 500×16+10-250 = 240(名).∴ 估计A小区500名居民成绩能超过平均数的 人数为240.(3) 从平均数看,A,B两小区居民对垃圾分 类知识掌握情况的平均水平相同;从中位数看,B小区至 少有一半的居民成绩高于平均数;从众数看,A小区得 79分的人数最多,B小区得76分的人数最多;从优秀率 看,B小区的优秀人数多于A小区;从方差看,B小区居民 对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定. 专题三　不等式（组）中的字母 取值范围问题 1. B 2. C 3. C 4. 2 5. 2 6. -43 解析:解不等式组,得2b+3<x<3a+22 .∵ 不 等式组的解集为-1<x<2,∴ 2b+3=-1,3a+22 =2 , 解得a=23 ,b=-2.∴ a+b=-43. 7. 去括号,得ax-a>x+1-2a.移项、合并同类项,得 (a-1)x>1-a.∵ 不等式a(x-1)>x+1-2a的解集 是x<-1,∴ a-1<0.∴ a<1. 8. (1) 解不等式3x+a 2 <1 ,得x<2-a3 . 解不等式1- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 3x>0,得x<13.∵ 两个不等式的解集相同,∴ 2-a 3 = 1 3 ,解得a=1.(2) ∵ 不等式3x+a 2 <1 的解都是不等式 1-3x>0的解,∴ 2-a 3 ≤ 1 3 ,解得a≥1. 9. A 10. A 11. A 12. C 13. a>-2 14. m≤12 15. a>-1 解析:解关于x的不等式组 x+a≥0, 1-2x>x-2, 得 x≥-a, x<1. ∵ 原不等式组有解,∴ -a<1,解得a>-1. 16. 解不等式3x-a≥0,得x≥a3 ,解不等式1 2 (x- 2)>3x+4,得x<-2.由题意,得a3<-2 ,解得a<-6. ∴ 不等式组的解集为a 3≤x<-2. 17. B 18. 3≤a<4 19. 2≤a<3 解析:解不等式组,得a-2<x≤3.∵ 该 不等式组恰有3个整数解,∴ 0≤a-2<1.∴ 2≤a<3. 不等式(组)中的字母取值范围问题的求解策略 根据不等式(组)的解集情况求解有关字母的取值 范围问题,解答的策略是先求解不等式(组),再根据不 等式(组)解的情况将不等式组的解集在数轴上表示 出来,借助数轴的直观性确定字母或字母所在代数 式的取值范围,注意空心圆圈与实心圆点的区别,全 面考虑问题. 20. 8,10,26 解析:解方程9x-3=kx+14,得x= 17 9-k.∵ 方程有整数解,∴ 9-k=±1或9-k=±17,解 得k=8或10或-8或26.解不等式组 x+15 2 >x+5 , x≥k-28 -2x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 k-2 24 ≤x<5.∵ 不等式组有且只有4个整数解,∴ 0< k-2 24 ≤1 ,解得2<k≤26.∴ 满足条件的整数k的值为8, 10,26. 21. 根据题意,得2※x=2x-2-x+3=x+1.∴ a< x+1<7,即a-1<x<6.∵ 解集中有2个整数解,∴ 这 2个整数解为5,4.∴ a-1<4, a-1≥3, 解得4≤a<5. 22. 由题图,可知数轴上被墨汁覆盖的整数是-1,0,1,2. 解不等式组 3(x+m)>2x+3, x≤x-22 +n , 得 x>3-3m,x≤2n-2. 根据题 意,得-2≤3-3m<-1,2≤2n-2<3,解得43<m≤ 5 3 ,2≤n<52. 23. A 24. 解不等式-12x≤-1 ,得x≥2.解不等式x-2≤0, 得x≤2.∵ x同时满足两个不等式,∴ x=2.将x=2代 入x-4 2 -a+1=x ,得-1-a+1=2,解得a=-2. 25. 令 2x+y=-3m+2①, x+2y=4②. 由①+②,得3(x+y)= -3m+6,即x+y=-m+2.∵ x+y>- 3 2 ,∴ -m+ 2>-32 ,解得m<72.∵ m 为正整数,∴ m=1,2,3. 专题四　图形旋转的有关证明 1. B 解析:① ∵ △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转50° 得到△AB'C',∴ BC=B'C'.故①正确.② ∵ △ABC 绕 点A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 50°,∴ ∠BAB'=50°. ∵ ∠CAB=20°,∴ ∠B'AC=∠BAB'-∠CAB=30°.由 旋转,得∠AB'C'=∠ABC=30°,∴ ∠AB'C'=∠B'AC. ∴ AC∥B'C'.故②正确.③ 在△BAB'中,AB=AB', ∠BAB'=50°,∴ ∠AB'B=∠ABB'= 12 × (180°- 50°)=65°.∴ ∠BB'C'=∠AB'B+∠AB'C'=65°+ 30°=95°.∴ B'C'与BB'不垂直.故③不正确.④ 由旋转, 得AC=AC',∠CAC'=50°,∴ ∠ACC'=12× (180°- 50°)=65°.∴ ∠ABB'=∠ACC'.故④正确.综上所述,正 确的有①②④. 2. C 3. C 解析:如图,连接AO.∵ △ABC 为等腰直角三角 形,O 为BC 的中点,∴ ∠AOC=90°,∠BAO=∠CAO= 45°=∠C.∴ OA=OC.∵ ∠EOA+∠AOF=∠EOF= 90°,∠AOF + ∠FOC = ∠AOC =90°,∴ ∠EOA = ∠FOC.在 △EOA 和 △FOC 中, ∠EAO=∠C, OA=OC, ∠EOA=∠FOC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈