专题1 一次函数与方程(组)不等式(组)的综合应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

12 次采购时每吨土豆的平均价格为(x+200)元,第二次采 购时每吨土豆的平均价格为(x-200)元.由题意,得 300000 x+200×2= 500000 x-200 ,解得x=2200.经检验,x=2200 是原分式方程的解,且符合题意.∴ 去年每吨土豆的平均 价格是2200元.(2) 由(1),得今年采购的土豆总数量为 300000 2200+200×3=375 (吨).设应将m 吨土豆加工成薯片, 则应将(375-m)吨 土 豆 加 工 成 淀 粉.由 题 意,得 m≥23 (375-m), m 5+ 375-m 8 ≤60 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得150≤m≤175.设总利润为 y元,则y=700m+400(375-m)=300m+150000. ∵ 300>0,∴ y 随m 的增大而增大.∴ 当m=175时, y的值最大,为300×175+150000=202500.∴ 为获得 最大利润,应将175吨土豆加工成薯片,最大利润是 202500元. 2 整合提优 专题一　一次函数与方程（组）、 不等式（组）的综合应用 1. B 2. (1) ∵ 点A(0,4),C(-2,0)在直线l:y=kx+b上, ∴ b=4, -2k+b=0, 解得 k=2 , b=4. ∴ 直线l对应的函数表达 式为y=2x+4.(2) ∵ 点B 的横坐标是1,且在直线l 上,∴ 当x=1时,y=2+4=6.∴ 点B 的坐标为(1,6). ∵ 点B 是直线l与直线y=-4x+a的交点,∴ 关于x, y的方程组 y=kx+b, y=-4x+a 的解为 x=1, y=6. 把x=1,y=6代 入y=-4x+a,得-4+a=6,解得a=10. 3. B 4. A 5. x<-1 6. -4<x<-2 7. (1) 由题意,得y甲=60x.当x≤2时,y乙=65x;当 x>2时,y乙 =65×2+65×0.8(x-2)=52x+26, ∴ y乙= 65x(x≤2), 52x+26(x>2). (2) 当60x<52x+26,即x< 13 4 时,到甲商店购买樱桃更省钱;当60x=52x+26,即 x=134 时,到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同;当60x> 52x+26,即x>134 时,到乙商店购买樱桃更省钱. 8. (1) 设A奖品的单价为x元,B奖品的单价为y元.根 据题意,得 3x+2y=120, 5x+4y=210, 解得 x=30, y=15. ∴ A奖品的单价 为30元,B奖品的单价为15元.(2) 设购买A奖品z个, 则购买B奖品(30-z)个,购买奖品的费用为W 元.根据 题意,得z≥13 (30-z),解得z≥152.∵ W=30z+ 15(30-z)=15z+450,且W 随z的增大而增大,z为正 整数,∴ 当z=8时,W 有最小值.∴ 30-z=22.∴ 购买 8个A奖品和22个B奖品最省钱. 9. (1) 设 A厂运送水泥x 吨,则B厂运送水泥(x+ 20)吨.根据题意,得x+x+20=520,解得x=250.此时 x+20=270,∴ A厂运送水泥250吨,B厂运送水泥270吨. (2) 由题意,得A厂运往乙地水泥(250-a)吨,B厂运往 甲地水泥(240-a)吨,B厂运往乙地水泥280-(250- a)=(30+a)吨.由题意,得w=40a+35(250-a)+ 28(240-a)+25(a+30)=40a+8750-35a+6720- 28a+25a+750=2a+16220.∵ B厂运往甲地的水泥最 多150吨,∴ 240-a≤150,解得a≥90.∵ 2>0,∴ w 随 a的增大而增大.∴ 当a=90时,总运费最低,最低运费 为2×90+16220=16400(元).∴ 总运费最低的运送方 案为A厂运往甲地水泥90吨,运往乙地水泥160吨;B厂 运往甲地水泥150吨,运往乙地水泥120吨,最低运费为 16400元. 10. (1) 设该商店购进A种纪念品每件需a元,购进B种 纪念品每件需b 元.由题意,得 10a+5b=1000, 5a+3b=550, 解得 a=50, b=100. ∴ 该商店购进A种纪念品每件需50元,购进 B种纪念品每件需100元.(2) 设该商店购进A种纪念品 x件,购进B种纪念品y 件.根据题意,得50x+100y= 10000,∴ x=200-2y.把x=200-2y代入x≥6y,解得 y≤25.∵ y≥20,∴ 20≤y≤25,且y为正整数.∴ y可 取得的正整数值是20,21,22,23,24,25,与y相对应的x 可取得的正整数值是160,158,156,154,152,150.∴ 该商 店共有6种进货方案.(3) 设总利润为W 元,则W= 20x+30y=-10y+4000.∵ -10<0,∴ W 随y的增大 而减小.∴ 当y=20时,W 有最大值,W最大=-10×20+ 4000=3800.∴ 当购进A种纪念品160件,B种纪念品 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 20件时,可获得最大利润,最大利润是3800元. 11. (1) 依题意,得3000 m = 2400 m-20 ,解得m=100.经 检 验,m=100是 原 分 式 方 程 的 解,且 符 合 题 意. ∴ m=100.(2) 设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种 运 动 鞋 (200 - x ) 双. 根 据 题 意, 得 (240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700, (240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300, 解得95≤ x≤105.∵ x是正整数,∴ 该专卖店共有105-95+1= 11(种)进货方案.(3) 设总利润为W 元,则W=(240- 100-a)x+(160-80)(200-x)=(60-a)x+16000 (95≤x≤105).① 当50<a<60时,60-a>0,W 随x的 增大而增大,∴ 当x=105时,W 有最大值,即此时应购 进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双.② 当a=60 时,60-a=0,W=16000.此时(2)中所有方案获利都一 样.③ 当60<a<70时,60-a<0,W 随x 的增大而减 小,∴ 当x=95时,W 有最大值,即此时应购进甲种运动 鞋95双,购进乙种运动鞋105双. 利用一次函数、不等式(组)设计最优方案的方法 利用一次函数、不等式(组)设计最优方案的一般 方法是列不等式(组)求得自变量的取值范围;列一次 函数的表达式,根据一次项系数值的正、负,确定一次 函数的增减性.注意:若一次项系数里含有字母参数, 其正、负不能确定,则还需要分类讨论,再根据自变量 取值范围的限制条件,确定最值. 专题二　数据的分析 1. (1) C.(2) 1 100× (50×8+75×16+105×40+150× 36)=112(min),∴ 这100名学生的平均劳动时间为 112min.(3) 1200×40+36100 =912 (名),∴ 估计在该校学 生中,劳动时间不少于90min的人数为912. 2. (1) 21.(2) 90;80.(3) ① 从平均数的角度看,两个班 的成绩一样;从中位数的角度看,(1)班的成绩比(2)班好, ∴ (1)班的成绩好.② 从平均数的角度看,两个班的成绩 一样;从众数的角度看,(2)班的成绩比(1)班好,∴ (2)班 的成绩好.③ 从B级以上(包括B级)的人数的角度看,易 知(1)班的人数是18,(2)班的人数是12,∴ (1)班的成 绩好. 3. (1) 3.75;2.0.(2) ②.(3) ∵ 一片长11cm、宽5.6cm 的树叶,长宽比接近2,∴ 这片树叶更可能来自荔枝树. 4. (1) 3.2;3.5.(2) 300×610=180 (棵).∴ 估计其产量 不低于3.16千克的棵数为180.(3) ∵ 甲品种的方差为 0.2944,乙品种的方差为0.1484,∴ 乙品种更好,产量稳 定(合理即可). 方差在数据分析中的作用 方差是用来描述一组数据中每一个数据与这组数 据的平均数的偏离程度的量,在实际生活中经常用方 差来判断数据的稳定性.方差越大,数据越不稳定,波 动越大;方差越小,数据越稳定,波动越小. 5. (1) a=177.5,b=185.(2) 应选乙.理由:乙的方差为 1 8× [2×(175-175)2+2×(180-175)2+2×(170- 175)2+(185-175)2+(165-175)2]=37.5.∵ 乙的方差 小于甲的方差,∴ 乙的成绩比甲的成绩稳定.∴ 应选乙. (3) 角度选择不唯一,如从平均数和中位数相结合看,甲 的一分钟跳绳成绩优. 6. (1) ∵ 有50名居民,4+8+12=24(名),∴ 中位数落 在第四组,中位数为75分.(2) 500×16+10-250 = 240(名).∴ 估计A小区500名居民成绩能超过平均数的 人数为240.(3) 从平均数看,A,B两小区居民对垃圾分 类知识掌握情况的平均水平相同;从中位数看,B小区至 少有一半的居民成绩高于平均数;从众数看,A小区得 79分的人数最多,B小区得76分的人数最多;从优秀率 看,B小区的优秀人数多于A小区;从方差看,B小区居民 对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定. 专题三　不等式（组）中的字母 取值范围问题 1. B 2. C 3. C 4. 2 5. 2 6. -43 解析:解不等式组,得2b+3<x<3a+22 .∵ 不 等式组的解集为-1<x<2,∴ 2b+3=-1,3a+22 =2 , 解得a=23 ,b=-2.∴ a+b=-43. 7. 去括号,得ax-a>x+1-2a.移项、合并同类项,得 (a-1)x>1-a.∵ 不等式a(x-1)>x+1-2a的解集 是x<-1,∴ a-1<0.∴ a<1. 8. (1) 解不等式3x+a 2 <1 ,得x<2-a3 . 解不等式1- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 专题一　一次函数与方程（组）、不等式（组）的 综合应用 方程、不等式、函数分别是刻画相等、不等、变化关系的数学模型,方程是函数的即刻状态,不 等式是函数即刻状态前或后的情形,也就是说方程、不等式都是函数的特殊情形.解决函数问题 常用到方程、不等式的知识,反过来,方程、不等式的问题可以利用函数来解决.一次函数与方程 (组)、不等式(组)的综合应用问题一直是中考热点题型,解题的关键是理解三者关系,灵活转换. 类型一 根据一次函数的图象求解方程（组） 1. 数形结合思想 如图,直线y=2x 与y= kx+b相交于点P(m,2),则关于x 的方程 kx+b=2的解是 ( ) 第1题 A. x=12 B. x=1 C. x=2 D. x=4 2. 如图,点A(0,4),C(-2,0)在直线l:y=kx+ b上,直线l和函数y=-4x+a 的图象交 于点B. (1) 求直线l对应的函数表达式; (2) 若点B 的横坐标是1,求关于x,y的方 程组 y=kx+b, y=-4x+a 的解及a的值. 第2题 类型二 根据一次函数的图象求解不等式（组） 3. 直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所 示,当y<0时,x的取值范围是 ( ) A. x>2 B. x<2 C. x>-1D. x<-1 第3题 第4题 4. (娄底中考)如图,直线y=x+b和y=kx+4 与x轴分别相交于点A(-4,0),B(2,0),则 关于x的不等式组 x+b>0, kx+4>0 的解集为( ) A. -4<x<2 B. x<-4 C. x>2 D. x<-4或x>2 5. (扬州中考)如图,函数y=kx+b(k<0)的 图象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3 的解集为 . 第5题 第6题 答案讲解 6. 如图,直线y=-x+m 与y=x+4 交点的横坐标为-2,则关于x的不 等式组-x+m>x+4>0的解集 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 28 类型三 综合利用一次函数、方程（组）、 不等式（组）设计可行性方案 7. (黔西南中考)甲、乙两家水果商店,平时以 同样的价格出售品质相同的樱桃.春节期 间,甲、乙两家商店都让利酬宾,甲商店的樱 桃价格为60元/千克;乙商店的樱桃价格为 65元/千克,且若一次性购买2千克以上,超 过2千克部分的樱桃价格打8折. (1) 设购买樱桃x 千克,y甲,y乙(单位:元) 分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的 付款金额,求y甲,y乙 关于x的函数表达式; (2) 春节期间,如何选择甲、乙两家商店购买 樱桃更省钱? 类型四 综合利用一次函数、方程（组）、 不等式（组）设计最优方案 8. (河南中考)学校计划为“我和我的祖国”演 讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和 2个B奖品共需120元;购买5个A奖品和 4个B奖品共需210元. (1) 求A,B两种奖品的单价; (2) 学校准备购买A,B两种奖品共30个, 且A奖品的数量不少于B奖品数量的13 ,请 设计出最省钱的购买方案. 答案讲解 9. (广安中考)某企业下属A,B两厂 向甲、乙两地运送水泥共520吨, A厂比B厂少运送20吨,从A厂 运往甲、乙两地的运费分别为40元/吨和 35元/吨,从B厂运往甲、乙两地的运费分别 为28元/吨和25元/吨. (1) A,B两厂各运送水泥多少吨? (2) 现甲地需要水泥240吨,乙地需要水泥 280吨,受条件限制,B厂运往甲地的水泥最 多150吨.设从A厂运往甲地a吨水泥,A, B两厂运往甲、乙两地的总运费为w 元.求 w 与a之间的函数表达式.请你为该企业设 计一种总运费最低的运送方案. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 29 10. 某商店决定购进A,B两种纪念品.若购进 A种纪念品10件,B种纪念品5件,需要 1000元;若购进A种纪念品5件,B种纪 念品3件,需要550元. (1) 求购进A,B两种纪念品每件的价格. (2) 若该商店决定拿出1万元全部用来购 进这两种纪念品,考虑市场需求,要求购进 A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量 的6倍,且购进B种纪念品的数量不少于 20件,则该商店共有几种进货方案? (3) 若销售每件 A 种纪念品可获利润 20元,销售每件 B种纪念 品 可 获 利 润 30元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一 种方案获得利润最大? 求出最大利润. 答案讲解 11. ★(龙东地区中考)为了迎接国庆 节长假的购物高峰,某运动品牌专 卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表: 运动鞋 甲 乙 进价/(元/双) m m-20 售价/(元/双) 240 160 已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与 用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. (1) 求m 的值. (2) 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双 的总利润(利润=售价-进价)不少于 21700元,且不超过22300元,则该专卖店 有几种进货方案? (3) 在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运 动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动 鞋每双优惠a元(50<a<70)出售,乙种运 动鞋价格不变.该专卖店要获得最大利润 应如何进货? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优