第6章 平行四边形-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

19 第六章　平行四边形 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. (烟台中考)一个正多边形每个内角与它相 邻外角的度数比为3∶1,则这个正多边形是 ( ) A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 2. (安顺中考)如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的 平分线交AD 于点E,∠BCD 的平分线交 AD 于点F.若AB=3,AD=4,则EF 的 长是 ( ) 第2题 A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 3. ★一个多边形的内角和比其外角和的2倍多 180°,则该多边形的对角线的条数是 ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 4. (河北中考)依据所标数据,下列一定为平行 四边形的是 ( ) A B C D 5. (益阳中考)如图,在▱ABCD 中,AB=8,E 是AB 上一点,AE=3,连接DE,过点C 作 CF∥DE,交AB 的延长线于点F,则BF 的 长为 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第5题 第6题 6. (大庆中考)如图,将▱ABCD 沿对角线BD 折叠,使点 A 落在点E 处.若∠1=56°, ∠2=42°,则∠A 的度数为 ( ) A. 108° B. 109° C. 110° D. 111° 答案讲解 7. 如图,在△ABC 中,M 是BC 的中 点,AN 平分∠BAC,BN⊥AN 于 点N.若AB=7,MN=3,则AC 的 长为 ( ) A. 14 B. 12 C. 13 D. 11 第7题 第8题 8. 如图,在▱ABCD 中,∠ABD=30°,AB=4, AE⊥BD 于点E,CF⊥BD 于点F,且E,F 恰好是BD 的三等分点,延长AE,CF 分别 交CD,AB 于点N,M,连接EM,FN.若 M,N 分别是AB,CD 的中点,则四边形 MENF 的面积是 ( ) A. 33 B. 3 C. 32 D. 2 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. (广州中考)如图,在▱ABCD 中,AD=10, 对角线AC 与BD 相交于点O,AC+BD= 22,则△BOC 的周长为 . 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 20 10. (丽水中考)如图,在△ABC 中,D,E,F 分 别是BC,AC,AB 的中点.若AB=6,BC= 8,则四边形BDEF 的周长是 . 第10题 第11题 第13题 11. 如图,AD 是△ABC 的中线,CF,BE 分别 垂直于AD,垂足分别为F,E,则四边形 BECF 是 ,理 由 是 . 12. ★在▱ABCD 中,AD=BD,BE 是边AD 上 的高,∠EBD=20°,则∠C的度数为 . 答案讲解 13. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°, AB=4,BC>AB,点D 在BC 上, 以AC 为对角线的所有平行四边 形ADCE 中,DE 长的最小值是 . 14. 转换法 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E+∠F+∠G+∠H= . 第14题 第15题 15. (临沂中考)如图,在正六边形ABCDEF中, M,N 是对角线BE 上的两点.添加下列条 件中的一个:① BM=EN;② ∠FAN= ∠CDM;③ AM =DN;④ ∠AMB = ∠DNE.其中,能使四边形AMDN 是平行 四边形的为 (填序号). 16. ★如图,AD,BE 分别是△ABC 的中线和 角平分线,AD⊥BE,AE=13AC ,AD= BE=6,则AC 的长为 . 第16题 三、 解答题(共52分) 17. (6分)如图,小东在足球场的中间位置,从 点A 出发,每走6m向左转60°. (1) 小东能否走回点A? 若能回到点A,则 需走多少米? 走过的路径是一个什么图形 (路径为点A→点B→点C→…)? (2) 求这个图形的内角和. 第17题 18. (6分)(宿迁中考)如图,在▱ABCD 中,E, F 分 别 是 边 AB,CD 的 中 点.求 证: AF=CE. 第18题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 21 答案讲解 19. (6分)如图,P 是四边形ABCD 的 对角线BD 的中点,E,F 分别是 AB,CD 的 中 点,AD =BC, ∠CBD=45°,∠ADB=105°,试探究EF 与PF 之间的数量关系,并证明. 第19题 20. (6分)(株洲中考)如图,点E 在四边形 ABCD 的边AD 上,连接CE 并延长,交 BA 的延长线于点F,已知 AE=DE, FE=CE. (1) 求证:△AEF≌△DEC; (2) 若AD∥BC,求证:四边形ABCD 为平 行四边形. 第20题 21. (6分)如图,在平行四边形纸片ABCD 中, AB=3,将纸片沿对角线AC 折叠,边BC 的对应边B'C 与边AD 交于点E,此时 △CDE 恰为等边三角形.求: (1) AD 的长; (2) 涂色部分△ACE 的面积. 第21题 22. ★(6分)如图,在▱ABCD 中,过点B 作 BM⊥AC 于点E,交CD 于点M,过点D 作DN⊥AC 于点F,交AB 于点N. (1) 求证:四边形BMDN 是平行四边形; (2) 已知AF=12,EM=5,求AN 的长. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 22 答案讲解 23. (8分)如图,在四边形ABCD 中, AD∥BC,AD=5,BC=9,M 是 CD 的中点,P 是边BC 上的一动 点(不与点B,C 重合).连接PM 并延长, 交AD 的延长线于点Q,连接PD,QC. (1) 求证:无论点 P 在何位置,四边形 PCQD 始终是平行四边形; (2) 当点P 在点B,C 之间运动到什么位置 时,四边形ABPQ 是平行四边形? 第23题 24. (8分)如图,四边形ABCD 为平行四边形, E 为AD 上的一点,连接EB 并延长至点 F,使BF=BE,连接EC 并延长至点G,使 CG=CE,连接FG.H 为FG 的中点,连接 DH,AF. (1) 求证:四边形AFHD 为平行四边形; (2) 若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE= 10°,求∠DAB 的度数. 第24题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 8 列分式方程解决行程问题的方法 行程问题涉及的基本数量关系是“路程=速度× 时间”,一般地,根据题意可找到速度、时间两方面的等 量关系.若问题所求的量是速度,则可利用速度方面的 等量关系设未知数,并利用时间方面的等量关系列分 式方程;若问题所求的量是时间,则可利用时间方面的 等量关系设未知数,并利用速度方面的等量关系列分 式方程. 24. (1) 5 21. (2) 1 3 [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]. (3) ∵ A=1×2+2×3+…+n(n+1)=13× (1×2× 3-0×1×2)+13× (2×3×4-1×2×3)+…+ 1 3 [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]=13n (n+1)· (n+2),B=1n 11×2+ 12×3+…+ 1n(n+1) =1n 1- 1 2+ 1 2- 1 3+ …+1n- 1 n+1 =1n 1- 1n+1 = 1n+1, ∴ A·B=13n (n+1)(n+2)· 1n+1= 1 3n (n+2).又 ∵ C=43n ,∴ 当n=1时,A·B<C;当n=2时,A· B=C;当n≥3时,A·B>C(n为正整数). 第六章　平行四边形 一、 1. C 2. B 3. C 多边形对角线数量的计数方法 一般地,从n边形的一个顶点,可以引出(n-3)条 对角线,这是因为每个顶点有两个和它相邻的顶点,再 除去这个顶点本身,它和其他的顶点都可以连接一条 对角线,所以从一个顶点出发的对角线的条数是多边 形的顶点数减3.因为每个顶点可以引(n-3)条对角 线,所以n个顶点可以引n(n-3)条对角线,但每条对 角线对应着两个顶点,在每个顶点处都被计算了一次, 这样每条对角线都被计算了两次,因此多边形的对角 线的数量为n(n-3) 2 条. 4. D 5. C 6. C 7. C 解析:如图,延长BN 交AC 于点D.∵ BN⊥AN, ∴ ∠ANB = ∠AND =90°.∵ AN 平 分 ∠BAC, ∴ ∠NAB = ∠NAD.在 △ANB 和 △AND 中, ∠NAB=∠NAD, AN=AN, ∠ANB=∠AND=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ANB≌△AND.∴ AB= AD=7,BN=DN.∵ M 是BC 的中点,∴ MN 为 △BCD 的中位线.∴ DC=2MN=6.∴ AC=AD+ CD=13. 第7题 8. B 解析:∵ AB=4,M 是AB 的中点,∴ BM=2.又 ∵ CF⊥BD,∠ABD=30°,∴ 在 Rt△BFM 中,易得 MF=1,BF= 3.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD.∴ ∠BDC=∠ABD=30°.同理在Rt△DEN 中,可得EN=1,∴ EN=MF.∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ MF∥EN.∴ 四边形 MENF 是平行四边形.∵ E,F 恰好是BD 的三等分点,∴ EF=BF= 3.∴ 四边形 MENF 的面积=1×3=3. 二、 9. 21 10. 14 11. 平行四边形 一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形 12. 55°或35° 解析:由题意,可知在等腰三角形ADB 中,顶角∠ADB 可能是锐角,也可能是钝角,因此需分两 种情况讨论.如图①,当∠ADB 为锐角时,点E 在线段 AD 上.∵ BE 是边AD 上的高,∴ ∠BED=90°.又 ∵ ∠EBD =20°,∴ ∠EDB =70°.∵ AD =BD, ∴ ∠A=12× (180°-70°)=55°.∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠C=∠A=55°.如图②,当∠ADB 为钝角 时,点E 在线段AD 的延长线上.∵ BE 是边AD 上的高, ∴ ∠BED=90°.∵ ∠EBD=20°,∴ ∠EDB=70°. ∴ ∠ADB=180°- ∠EDB =110°.∵ AD =BD, ∴ ∠A=12× (180°-110°)=35°.∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠C=∠A=35°.综上所述,∠C 的度数为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 55°或35°. 第12题 当平行四边形内出现等腰三角形时 因忽略分类讨论而致错 平行四边形被每条对角线分成两个三角形,当平 行四边形的一边和一条对角线相等时,分成的两个三 角形就是等腰三角形,这时往往容易忽略分类讨论而 导致错误.注意:当等腰三角形的角、边、顶点、高等不 确定时,要分类讨论. 13. 4 14. 720° 15. ①②④ 16. 95 2 解析:如图,设AD,BE 交于点O,取EC 的中 点F,连接DF.由题意,知D 是BC 的中点,∴ DF 是 △BEC 的中位线.∴ DF=12BE ,DF∥BE.∵ BE 是 △ABC 的角平分线,∴ ∠ABO=∠DBO.∵ AD⊥BE, ∴ ∠AOB= ∠DOB =90°.在 △ABO 和 △DBO 中, ∠ABO=∠DBO, BO=BO, ∠AOB=∠DOB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌△DBO.∴ AO=DO= 1 2AD=3.∵ AE=13AC ,F 是EC的中点,∴ AE=EF. ∴ OE 是△ADF 的中位线.∴ OE=12DF= 1 4BE= 1 4×6= 3 2.∵ 在Rt△AOE 中,由勾股定理,得AE= AO2+OE2= 32+ 32 2 =325 ,∴ AC=3AE=952 . 第16题 巧构三角形中位线解题 三角形的中位线定理具有证明位置关系和数量关 系两方面的作用,在几何证明题中有着重要的应用.若 图形中存在中点,则可以构造三角形及三角形的中位 线,从而利用三角形的中位线定理证明. 三、 17. (1) 小东能走回点A.回到点A 需走360÷60× 6=36(m).走过的路径是一个边长为6m的正六边形. (2) 正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°. 18. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AB= CD.∵ E,F 分别是边AB,CD 的中点,∴ AE=BE= CF=DF.∴ 四边形AECF 是平行四边形.∴ AF=CE. 19. EF=3PF.如图,连接PE.∵ P,E 分别为BD,AB 的中点,∴ PE∥AD,且 PE= 12AD.∴ ∠ADP+ ∠EPD=180°.∴ ∠EPD=75°.∵ F,P 分别为CD,BD 的中点,∴ PF∥BC,且 PF= 12BC.∴ ∠DPF= ∠CBD=45°.∵ AD=BC,∴ PF=PE,且∠EPF= 75°+45°=120°.∴ ∠PFE=∠PEF=30°.过点P 作 PG⊥EF 于点G,则EF=2FG.在Rt△PFG 中,由勾定 理,可得FG= 32PF ,∴ EF=3PF. 第19题 20. (1) 在△AEF 和△DEC 中, AE=DE, ∠AEF=∠DEC, FE=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△DEC.(2) 由(1),得△AEF≌△DEC, ∴ ∠AFE=∠DCE.∴ AB∥CD.∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形. 21. (1) ∵ △CDE 为等边三角形,∴ DE=DC=EC, ∠D=∠DEC=60°.由折叠的性质,得∠BCA=∠B'CA. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC, AB=CD.∴ ∠EAC=∠BCA.∴ ∠EAC=∠ECA. ∴ EA=EC.∴ ∠DAC=30°.∴ ∠ACD=90°.∴ AD= 2CD=2AB=23.(2) ∵ CD= 3,∠ACD=90°, ∠DAC=30°,∴ AC= AD2-CD2= (23)2-(3)2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 3.由(1),可知AE=CE=DE,即CE 为△ACD 的中线, ∴ S△ACE= 1 2S△ACD= 1 2× 1 2AC ·CD=12× 1 2×3× 3=334 . 22. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ CD=AB, CD∥AB.∵ BM ⊥AC,DN⊥AC,∴ DN∥BM.又 ∵ DM∥BN,∴ 四边形BMDN 是平行四边形.(2) ∵ 四 边形BMDN 是平行四边形,∴ DM=BN.∴ CD- DM=AB-BN,即CM=AN.∵ CD∥AB,∴ ∠MCE= ∠NAF.∵ BM⊥AC,DN⊥AC,∴ ∠CEM=∠AFN= 90°.在 △CEM 和 △AFN 中, ∠MCE=∠NAF, ∠CEM=∠AFN, CM=AN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CEM≌△AFN.∴ EM=FN=5.∴ 在Rt△AFN 中,由 勾 股 定 理,得 AN = AF2+FN2 = 122+52=13. 平行四边形的性质与判定综合应用的技巧 解决此类题的技巧在于注意所证平行四边形与已 知平行四边形是否共对边或共对角线(所在直线相 同),从而利用已知平行四边形的性质提供证明所证平 行四边形的条件. 23. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠QDM=∠PCM.∵ M 是CD 的 中 点,∴ DM =CM.又 ∵ ∠DMQ = ∠CMP, ∴ △QDM≌△PCM.∴ DQ=CP.∵ AD∥BC,∴ 四边 形PCQD 是平行四边形.∴ 无论点P 在何位置,四边形 PCQD 始终是平行四边形.(2) 当四边形ABPQ 是平行 四边形时,PB=AQ,即BC-CP=AD+DQ.由(1),得 DQ=CP,∴ 9-CP=5+CP.∴ CP=2.∴ 当PC= 2时,四边形ABPQ 是平行四边形. 24. (1) ∵ BF=BE,CG=CE,∴ BC 为△FEG 的中位 线.∴ BC∥FG,BC= 12FG.∵ H 为FG 的中点, ∴ FH=12FG.∴ BC=FH.∵ 四边形ABCD 为平行 四边形,∴ AD∥BC,AD=BC.∴ AD∥FH,AD=FH. ∴ 四边形AFHD 为平行四边形.(2) ∵ 四边形ABCD 是平 行 四 边 形,∴ ∠DAB= ∠DCB.∵ CB=CE, ∴ ∠BEC=∠EBC=75°.∴ ∠BCE=180°-75°-75°= 30°.∴ ∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°. ∴ ∠DAB=40°. 复习进阶自主检测 一、 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. C 7. B 8. B 9. D 10. C 解析:如图,过点A 作AM⊥BD 于点M,AN⊥ EC于点N,设CE 交AD 于点O.∵ ∠BAC=∠DAE= 90°,∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD,即 ∠BAD=∠CAE.∵ △ABC 和△ADE 都是等腰直角三 角形,∴ AB=AC,AD=AE.在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAE.∴ BD=CE, ∠BDA= ∠CEA.故 ① 正 确.∵ ∠DOF = ∠AOE, ∠BDA=∠CEA,∴ 180°-∠DOF-∠BDA=180°- ∠AOE-∠CEA,即∠DFO=∠EAO=90°.∴ BD⊥ CE.故②正确.∵ △BAD≌△CAE,∴ S△BAD=S△CAE. ∴ 1 2BD ·AM=12CE ·AN.∵ BD=CE,∴ AM= AN.又∵ AM⊥FB,AN⊥FE,∴ FA 平分∠EFB. ∴ ∠AFE=45°.故④正确.③无法证明其正确性.综上所 述,正确的有3个. 第10题 二、 11. (x-y)(a+1)(a-1) 12. ▱ABCF,▱ACEF 13. 6 14. 1 15. 400 16. 11 解析:如图,连接BD,设点C 的坐标为(a,b). ∵ 顶点B,D 分别在x 轴和直线y=-3上,∴ 点B,D 的纵坐标分别为0,-3.∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AC 与BD 互相平分.∴ -3+0 2 = 4+b 2 .∴ b=-7. ∴ 点C 在直线y=-7上.∴ 当AC 垂直于直线y=-7 时,AC 的长有最小值.∴ 对角线AC 长的最小值为4- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈