第5章 分式与分式方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

15 第五章　分式与分式方程 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. (怀化中考)在代数式2 5x ,1 π , 2 x2+4 ,x2- 2 3 ,1 x ,x+1 x+2 中,属于分式的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. (凉山中考)分式 1 3+x 有意义的条件是 ( ) A. x=-3 B. x≠-3 C. x≠3 D. x≠0 3. 若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分 式的值保持不变的是 ( ) A. 2+x x-y B. 2y x2 C. 2y3 3x2 D. y2 (x-y)2 4. (威 海 中 考)试 卷 上 一 个 正 确 的 式 子 1 a+b+ 1 a-b ÷ = 2a+b被小颖同学不 小心滴上墨汁,被墨汁遮住部分的代数式为 ( ) A. a a-b B. a-b a C. a a+b D. 4a a2-b2 5. (玉林中考)若x是非负整数,则表示2xx+2- x2-4 (x+2)2 的值的对应点落在如图所示的数轴 上的范围是 ( ) 第5题 A. ① B. ② C. ③ D. ①或② 6. (河北中考)如果x 和y 互为倒数,那么 x+1y 2y-1x 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. (无锡中考)若分式方程 3 x-2+1= m 4-2x 有 增根,则m 的值为 ( ) A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 答案讲解 8. ★(泸州中考)已知关于x的分式方 程 m x-1+2=- 3 1-x 的解为非负 数,则正整数m 的所有可能取值有 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. (广西北部湾经济区中考)当x= 时,分式2x x+2 的值为0. 10. (宜宾中 考)某家具厂要在开学前赶制 540套桌凳,为了尽快完成任务,厂领导合 理调配,加强第一线人力,使每天完成的桌 凳比原计划多2套,结果提前3天完成任 务.问原计划每天完成多少套桌凳? 设原 计划每天完成x 套桌凳,则所列的方程为 . 11. 有 下 列 分 式:① b 8a ;② 3x 9y ;③ a+b a-b ; ④ x+y x2-y2 ;⑤ x2+xy 2x . 其中,最简分式有 (填序号). 12. (自贡中考)化简: a-3 a2+4a+4 ·a 2-4 a-3+ 2 a+2= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 16 13. (台州中考)如图所示的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则 图中被污染的x的值是 . 先化简,再求值:3-x x-4+1 ,其中x= . 解:原式=3-xx-4 ·(x-4)+(x-4)①, =3-x+x-4, =-1. 第13题 14. (菏泽中考)若a2-2a-15=0,则代数式 a-4a-4a ·a 2 a-2 的值是 . 15. (泸州中考)若方程x-3 x-2+1= 3 2-x 的解使 关于x 的不等式(2-a)x-3>0成立,则 实数a的取值范围是 . 16. 新考法 新定义题 (内江中考)对于非零 实数a,b,规定a􀱇b=1a- 1 b. 若(2x-1)􀱇 2=1,则x的值为 . 三、 解答题(共52分) 17. (6分)解方程: (1) x x2-1+1= x x+1 ; (2) 4 x2-2x+ x 2-x=-1. 18. (6分)对分式a 2-b2 a+b 的变形,甲同学的做法 是a 2-b2 a+b = (a+b)(a-b) a+b =a-b ;乙同学 的 做 法 是a 2-b2 a+b = (a2-b2)(a-b) (a+b)(a-b) = (a2-b2)(a-b) a2-b2 =a-b. 请根据分式的基 本性质,判断甲、乙两名同学的做法是否 正确. 19. (6分)先化简,再求值: (1) (荆 州 中 考) a a2-b2- 1 a+b ÷ b a2-2ab+b2 ,其中a= 13 -1 ,b=(-2022)0; (2) (广安中考) 4 x-2+x+2 ÷ x 2-2x x2-4x+4 , 再从0,1,2,3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 17 答案讲解 20. ★(6 分)已 知 关 于 x 的 方 程 m+2 x+2+ m x-1= 1-m (x+2)(x-1). (1) 当m 为何值时,方程有增根? (2) 当m 为何值时,方程无解? 21. (6分)甲、乙两人两次同时在一家粮店购买 大米,两次大米的价格分别为每千克a 元 和每千克b元(a≠b).甲每次购买100千 克大米,乙每次购买100元大米. (1) 用含a,b的代数式表示:甲两次购买大 米共需付款 元,乙两次共购买 千克大米.若甲两次购买大米 的平均价格为每千克Q1元,乙两次购买大 米的平均价格为每千克Q2 元,则Q1= ,Q2= . (2) 若规定两次购买大米谁的平均价格低, 谁购买的方式就更合理,请你判断甲、乙两 人谁的购买方式更合理,并说明理由. 22. ★(6分)(菏泽中考)某健身器材店计划购进 一批篮球和排球,已知每个篮球的进价是 每个排球进价的1.5倍.若用3600元购进 篮球的数量比用3200元购进排球的数量 少10个. (1) 篮球、排球的进价分别为每个多少元? (2) 该健身器材店决定用不多于28000元 的资金购进篮球和排球共300个进行销售, 最多可以购进多少个篮球? 23. ★(8分)(包头中考)小刚家到学校的距离是 1800m.某天早上,小刚到学校后发现作业 本忘在家中,此时离上课还有20min,于是 他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑 自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行 车的时间比跑步时间少用了4.5min,且骑 自行车的平均速度是跑步的平均速度的 1.6倍. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 18 (1) 求小刚跑步的平均速度. (2) 如果小刚在家取作业本和取自行车共 用了3min,那么他能否在上课前赶回学 校? 请说明理由. 答案讲解 24. (8分)裂项法,这是分解与组合思 想在一组数求和中的应用.将这组 数中的每项分解,然后重新组合, 使之能消去一部分,最终达到化简求和的 目的.例如: ∵ 1 n(n+1)= 1 n- 1 n+1 , ∴ 1 1×2+ 1 2×3+ …+ 19×10 =1-12 + 12-13 +…+ 19-110 =1-12+ 1 2- 1 3+ …+19- 1 10 =1-110 =910. 分母为n(n+1)(n+2)的分式也能用此方 法裂项,即 1 n(n+1)(n+2)= 1 2 1 n(n+1)- 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 1 (n+1)(n+2) 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 (n为正整数). 其实,整式也能进行裂项求和,例如: 1×(1+1)=13× (1×2×3-0×1×2); 2×(2+1)=13× (2×3×4-1×2×3); 3×(3+1)=13× (3×4×5-2×3×4); … (1) 计 算: 1 1×2×3+ 1 2×3×4+ … + 1 5×6×7= ; (2) 裂项整式:n(n+1)= ; (3) 若A=1×2+2×3+…+n(n+1),B= 1 n 1 1×2+ 1 2×3+ …+ 1n(n+1) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,C=43n (n为正整数),试判断A·B 与C 的大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 6 第四章　因式分解 一、 1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. D 解析:∵ 4x2+kxy+25y2=(±2x)2+2· (±2x)·(±5y)+(±5y)2,∴ k=±20. “已知a2,b2 构造2ab”时容易遗漏一种结果 要构造完全平方式,应知道哪个代数式(数、字母、 单项式、多项式等)相当于公式中的某个字母或公式中 的某个部分.在完全平方式a2±2ab+b2 中,已知a2, b2 构造2ab,关键是“a”“b”的确定,注意由“互为相反 数的两个数的平方相等”得到“a” 和“b”分别有正、负 两种情况,这样计算2ab就有正、负两种结果,往往容 易漏掉一种结果导致错误. 8. D 解析:由题意,得ab=10,a+b=7,∴ a3b+ 2a2b2+ab3=ab(a+b)2=10×72=490. 二、 9. (1) x2(1+x)(1-x) (2) y(x-y)2 10. (2a+b)(a+2b) 11. 0 12. 4 13. (x-y+1)(x-y-1) 利用分组分解法进行因式分解 利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.若 多项式为四项或四项以上时,通常用分组分解法因式 分解.如果把一个多项式的项分组后,各组能直接运用 公式法或提公因式法进行分解,并且各组在分解后,它 们之间又能运用公式法或提公因式法进行分解,那么 这个多项式可以用分组分解法因式分解. 14. 第三步 15. 3(x+2y)(x-2y) 16. 10 解析:∵ a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+ 9,a+b=1,∴ 原式=a-b+2b+9=a+b+9=10. 三、 17. (1) 原式=3(a-b)[2(a-b)+1]=3(a- b)(2a-2b+1).(2) 原式=x2-x-3x+4=x2-4x+ 4=(x-2)2.(3) 原式=(y2-1)(x2+2x+1)=(y+ 1)(y-1)(x+1)2. 18. 答案不唯一,如4m2+4n2-8mn=4(m2+n2- 2mn)=4(m-n)2. 19. (1) ∵ 一名同学看错了一次项系数而分解成(x- 1)(x-4),(x-1)(x-4)=x2-5x+4,∴ a=1,c=4. ∵ 另一名同学看错了常数项而分解成(x-5)(x+1), (x-5)(x+1)=x2-4x-5,∴ a=1,b=-4.∴ a=1, b=-4,c=4.(2) 原多项式为x2-4x+4,∴ x2-4x+ 4=(x-2)2. 20. (1) (x+1)2-4(x+1)+4=(x+1-2)2=(x-1)2. 当x-1=3时,原式=(3)2=3.(2) (x-2y)2-(x- y)(x+y)-2y2=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)-2y2= x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2=-4xy+3y2= -y(4x-3y).∵ 4x=3y,∴ 4x-3y=0.∴ 原式=0. 21. (1) C.(2) (x-2)4.(3) 设x2+2x=y.原式= y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2= (x+1)4. 22. (1) ∵ x2+4xy+5y2+4y+4=0,∴ (x2+4xy+ 4y2)+(y2+4y+4)=0,即(x+2y)2+(y+2)2=0. ∴ x+2y=0,y+2=0.∴ x=4,y=-2.∴ xy=4-2= 1 16. (2) ∵ a2+b2-14a-16b+113=0,∴ (a2-14a+ 49)+(b2-16b+64)=0,即(a-7)2+(b-8)2=0. ∴ a-7=0,b-8=0,解得a=7,b=8.由三角形的三边 关系,可知1<c<15,且c为正整数,∴ c的最大值为14. ∴ △ABC的周长的最大值为29.(3) △ABC是等边三角 形.理由:∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,∴ (a2-2ab+ b2)+(b2-2bc+c2)=0.∴ (a-b)2+(b-c)2=0. ∴ a=b=c.∴ △ABC是等边三角形. 第五章　分式与分式方程 一、 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. B 7. D 8. B 解析:去分母,得m+2(x-1)=3,解得x=5-m2 . ∵ 分式方程的解为非负数,∴ 5-m 2 ≥0 且5-m 2 ≠1 ,解 得m≤5且m≠3.∴ 正整数m 可以取1,2,4,5,共4个. 因忽略分式中分母不为0而致错 解决分式与分式方程问题时,常常因忽略分母不 为0,而导致解题错误.注意分母不为0是分式有意义 的条件,凡是与分式及其运算有关的问题,都要注意这 个隐含条件. 二、 9. 0 10. 540 x - 540 x+2=3 11. ①③ 12. a a+2 13. 5 14. 15 15. a<-1 16. 5 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 三、 17. (1) x=12. (2) 原分式方程无解. 18. 甲同学的做法正确,将分式上下同时约去(a+b),a+ b≠0.乙同学的做法错误,将分式上下同时乘(a-b),这 时a-b是否等于0是不确定的. 19. (1) 原 式 = a(a+b)(a-b)- a-b (a+b)(a-b) · (a-b)2 b = b (a+b)(a-b) · (a-b) 2 b = a-b a+b.∵ a= 1 3 -1 =3,b=(-2022)0=1,∴ 原式=3-13+1= 1 2. (2) 原式= 4x-2+ x2-4 x-2 ·(x-2) 2 x(x-2)= x2 x-2 ·x-2 x = x.∵ x(x-2)≠0,x≠0,x-2≠0,∴ x≠0且x≠2.当 x=1时,原式=1(或当x=3时,原式=3). 20. (1) 方程两边都乘(x+2)(x-1),得(m+2)(x- 1)+m(x+2)=1-m.整理,得(2m+2)x=3-2m.从最 简公分母(x+2)(x-1)来看,原方程的增根只可能是 x=-2或x=1.若增根是x=-2,把x=-2代入 (2m+2)x=3-2m,得-4m-4=3-2m,解得m= -72 ;若增根是x=1,把x=1代入(2m+2)x=3-2m, 得2m+2=3-2m,解得 m=14. 综上所述,当 m= -72 或1 4 时,方程有增根.(2) 由(1),知当m=-72 或1 4 时,原分式方程无解.由(2m+2)x=3-2m,可知当 m=-1时,此方程无解,原分式方程也无解.∴ 当m= -72 或1 4 或-1时,分式方程无解. 分式方程有增根与无解的辨析 分式方程产生增根的原因:对于分式方程,当分式 中分母为零时,相应的分式没有意义,所以分式方程不 允许未知数取那些使分母为零的值,即分式方程本身 就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整 式方程后,这种限制就取消了,那么有可能出现增根, 所以解分式方程时,必须验根.注意增根是分式方程转 化成的整式方程的解,不是分式方程的解.分式方程无 解,包括两种情况,一是解分式方程产生增根时无解; 二是将分式方程转化为整式方程,此整式方程无解,则 此时分式方程也无解. 21. (1) 100(a+b);100a + 100 b ;a+b2 ;2aba+b.(2) 乙的 购买方式更合理.理由:∵ Q1-Q2= a+b 2 - 2ab a+b= (a-b)2 2(a+b) ,a≠b,∴ Q1-Q2>0.∴ Q1>Q2,即乙的购买 方式更合理. 22. (1) 设排球的进价为每个x元,则篮球的进价为每个 1.5x元.依题意,得3200x - 3600 1.5x=10 ,解得x=80.经检 验,x=80是原方程的解,且符合题意.∴ 1.5x=1.5× 80=120.∴ 篮球的进价为每个120元,排球的进价为每 个80元.(2) 设购进m 个篮球,则购进(300-m)个排球. 依题意,得120m+80(300-m)≤28000,解得m≤100. ∴ 最多可以购进100个篮球. 找等量关系列分式方程的策略 列分式方程解应用题的关键是寻找等量关系,一 般涉及几种未知量就从这几种未知量方面依次寻找等 量关系.如涉及“单价、数量、总价”,若单价、数量未知, 则分别从单价、数量方面寻找等量关系.设未知数时, 一般以题目所求量的方面的等量关系为依据设未知 数,以其他等量关系为依据列方程.如问题求甲、乙的 单价,可设甲的单价,并利用单价方面的等量关系表示 出乙的单价,再利用数量方面的等量关系列方程.当 然,也应具体问题具体分析.将等量关系(文字等式)译 为数学符号的过程即为列方程,在列分式方程的过程 中,一般用基本数量关系将各个量表示出来,如甲的数 量= 甲的总价 甲的单价.注意量之间的对应关系,不要混淆. 23. (1) 设小刚跑步的平均速度为xm/min,则小刚骑自 行车的平均速度为1.6xm/min.根据题意,得18001.6x+ 4.5=1800x ,解得x=150.经检验,x=150是所列方程的 解,且符合题意.∴ 小刚跑步的平均速度为150m/min. (2) 他不能在上课前赶回学校.理由:由(1),得小刚跑步 的平均速度为150m/min,则小刚跑步所用时间为 1800÷150=12(min),骑自行车所用时间为12-4.5= 7.5(min).∵ 在家取作业本和取自行车共用了3min, ∴ 小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3= 22.5(min).∵ 22.5>20,∴ 他不能在上课前赶回学校. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 列分式方程解决行程问题的方法 行程问题涉及的基本数量关系是“路程=速度× 时间”,一般地,根据题意可找到速度、时间两方面的等 量关系.若问题所求的量是速度,则可利用速度方面的 等量关系设未知数,并利用时间方面的等量关系列分 式方程;若问题所求的量是时间,则可利用时间方面的 等量关系设未知数,并利用速度方面的等量关系列分 式方程. 24. (1) 5 21. (2) 1 3 [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]. (3) ∵ A=1×2+2×3+…+n(n+1)=13× (1×2× 3-0×1×2)+13× (2×3×4-1×2×3)+…+ 1 3 [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]=13n (n+1)· (n+2),B=1n 11×2+ 12×3+…+ 1n(n+1) =1n 1- 1 2+ 1 2- 1 3+ …+1n- 1 n+1 =1n 1- 1n+1 = 1n+1, ∴ A·B=13n (n+1)(n+2)· 1n+1= 1 3n (n+2).又 ∵ C=43n ,∴ 当n=1时,A·B<C;当n=2时,A· B=C;当n≥3时,A·B>C(n为正整数). 第六章　平行四边形 一、 1. C 2. B 3. C 多边形对角线数量的计数方法 一般地,从n边形的一个顶点,可以引出(n-3)条 对角线,这是因为每个顶点有两个和它相邻的顶点,再 除去这个顶点本身,它和其他的顶点都可以连接一条 对角线,所以从一个顶点出发的对角线的条数是多边 形的顶点数减3.因为每个顶点可以引(n-3)条对角 线,所以n个顶点可以引n(n-3)条对角线,但每条对 角线对应着两个顶点,在每个顶点处都被计算了一次, 这样每条对角线都被计算了两次,因此多边形的对角 线的数量为n(n-3) 2 条. 4. D 5. C 6. C 7. C 解析:如图,延长BN 交AC 于点D.∵ BN⊥AN, ∴ ∠ANB = ∠AND =90°.∵ AN 平 分 ∠BAC, ∴ ∠NAB = ∠NAD.在 △ANB 和 △AND 中, ∠NAB=∠NAD, AN=AN, ∠ANB=∠AND=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ANB≌△AND.∴ AB= AD=7,BN=DN.∵ M 是BC 的中点,∴ MN 为 △BCD 的中位线.∴ DC=2MN=6.∴ AC=AD+ CD=13. 第7题 8. B 解析:∵ AB=4,M 是AB 的中点,∴ BM=2.又 ∵ CF⊥BD,∠ABD=30°,∴ 在 Rt△BFM 中,易得 MF=1,BF= 3.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD.∴ ∠BDC=∠ABD=30°.同理在Rt△DEN 中,可得EN=1,∴ EN=MF.∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ MF∥EN.∴ 四边形 MENF 是平行四边形.∵ E,F 恰好是BD 的三等分点,∴ EF=BF= 3.∴ 四边形 MENF 的面积=1×3=3. 二、 9. 21 10. 14 11. 平行四边形 一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形 12. 55°或35° 解析:由题意,可知在等腰三角形ADB 中,顶角∠ADB 可能是锐角,也可能是钝角,因此需分两 种情况讨论.如图①,当∠ADB 为锐角时,点E 在线段 AD 上.∵ BE 是边AD 上的高,∴ ∠BED=90°.又 ∵ ∠EBD =20°,∴ ∠EDB =70°.∵ AD =BD, ∴ ∠A=12× (180°-70°)=55°.∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠C=∠A=55°.如图②,当∠ADB 为钝角 时,点E 在线段AD 的延长线上.∵ BE 是边AD 上的高, ∴ ∠BED=90°.∵ ∠EBD=20°,∴ ∠EDB=70°. ∴ ∠ADB=180°- ∠EDB =110°.∵ AD =BD, ∴ ∠A=12× (180°-110°)=35°.∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ ∠C=∠A=35°.综上所述,∠C 的度数为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈