第4章 因式分解-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

6 第四章　因式分解 一、 1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. D 解析:∵ 4x2+kxy+25y2=(±2x)2+2· (±2x)·(±5y)+(±5y)2,∴ k=±20. “已知a2,b2 构造2ab”时容易遗漏一种结果 要构造完全平方式,应知道哪个代数式(数、字母、 单项式、多项式等)相当于公式中的某个字母或公式中 的某个部分.在完全平方式a2±2ab+b2 中,已知a2, b2 构造2ab,关键是“a”“b”的确定,注意由“互为相反 数的两个数的平方相等”得到“a” 和“b”分别有正、负 两种情况,这样计算2ab就有正、负两种结果,往往容 易漏掉一种结果导致错误. 8. D 解析:由题意,得ab=10,a+b=7,∴ a3b+ 2a2b2+ab3=ab(a+b)2=10×72=490. 二、 9. (1) x2(1+x)(1-x) (2) y(x-y)2 10. (2a+b)(a+2b) 11. 0 12. 4 13. (x-y+1)(x-y-1) 利用分组分解法进行因式分解 利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.若 多项式为四项或四项以上时,通常用分组分解法因式 分解.如果把一个多项式的项分组后,各组能直接运用 公式法或提公因式法进行分解,并且各组在分解后,它 们之间又能运用公式法或提公因式法进行分解,那么 这个多项式可以用分组分解法因式分解. 14. 第三步 15. 3(x+2y)(x-2y) 16. 10 解析:∵ a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+ 9,a+b=1,∴ 原式=a-b+2b+9=a+b+9=10. 三、 17. (1) 原式=3(a-b)[2(a-b)+1]=3(a- b)(2a-2b+1).(2) 原式=x2-x-3x+4=x2-4x+ 4=(x-2)2.(3) 原式=(y2-1)(x2+2x+1)=(y+ 1)(y-1)(x+1)2. 18. 答案不唯一,如4m2+4n2-8mn=4(m2+n2- 2mn)=4(m-n)2. 19. (1) ∵ 一名同学看错了一次项系数而分解成(x- 1)(x-4),(x-1)(x-4)=x2-5x+4,∴ a=1,c=4. ∵ 另一名同学看错了常数项而分解成(x-5)(x+1), (x-5)(x+1)=x2-4x-5,∴ a=1,b=-4.∴ a=1, b=-4,c=4.(2) 原多项式为x2-4x+4,∴ x2-4x+ 4=(x-2)2. 20. (1) (x+1)2-4(x+1)+4=(x+1-2)2=(x-1)2. 当x-1=3时,原式=(3)2=3.(2) (x-2y)2-(x- y)(x+y)-2y2=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)-2y2= x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2=-4xy+3y2= -y(4x-3y).∵ 4x=3y,∴ 4x-3y=0.∴ 原式=0. 21. (1) C.(2) (x-2)4.(3) 设x2+2x=y.原式= y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2= (x+1)4. 22. (1) ∵ x2+4xy+5y2+4y+4=0,∴ (x2+4xy+ 4y2)+(y2+4y+4)=0,即(x+2y)2+(y+2)2=0. ∴ x+2y=0,y+2=0.∴ x=4,y=-2.∴ xy=4-2= 1 16. (2) ∵ a2+b2-14a-16b+113=0,∴ (a2-14a+ 49)+(b2-16b+64)=0,即(a-7)2+(b-8)2=0. ∴ a-7=0,b-8=0,解得a=7,b=8.由三角形的三边 关系,可知1<c<15,且c为正整数,∴ c的最大值为14. ∴ △ABC的周长的最大值为29.(3) △ABC是等边三角 形.理由:∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,∴ (a2-2ab+ b2)+(b2-2bc+c2)=0.∴ (a-b)2+(b-c)2=0. ∴ a=b=c.∴ △ABC是等边三角形. 第五章　分式与分式方程 一、 1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. B 7. D 8. B 解析:去分母,得m+2(x-1)=3,解得x=5-m2 . ∵ 分式方程的解为非负数,∴ 5-m 2 ≥0 且5-m 2 ≠1 ,解 得m≤5且m≠3.∴ 正整数m 可以取1,2,4,5,共4个. 因忽略分式中分母不为0而致错 解决分式与分式方程问题时,常常因忽略分母不 为0,而导致解题错误.注意分母不为0是分式有意义 的条件,凡是与分式及其运算有关的问题,都要注意这 个隐含条件. 二、 9. 0 10. 540 x - 540 x+2=3 11. ①③ 12. a a+2 13. 5 14. 15 15. a<-1 16. 5 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 第四章　因式分解 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. (济宁中考)下列各式从左到右的变形中,属 于因式分解的是 ( ) A. x2-x-1=x(x-1)-1 B. x2-1=(x-1)2 C. x2-x-6=(x-3)(x+2) D. x(x-1)=x2-x 2. 分解因式4x2-(y-z)2 后,其中一个因 式为 ( ) A. 2x-y-z B. 2x+y-z C. 2x+y+z D. 4x-y+z 3. 下列多项式不能用公式法进行因式分解 的是 ( ) A. 9a2-100 B. -0.01a2+25b2 C. x2-14x+ 1 64 D. 4m2+m+1 4. (贺州中考)多项式2x3-4x2+2x因式分解 的结果为 ( ) A. 2x(x-1)2 B. 2x(x+1)2 C. x(2x-1)2 D. x(2x+1)2 5. 若多项式5x2+17x-12可因式分解成(x+ a)(bx+c),其中a,b,c均为整数,则a+c 的值为 ( ) A. 1 B. 7 C. 11 D. 13 6. 有下列多项式:① 16x5-x;② (x-1)2- 4(x-1)+4;③ (x+1)4-4x(x+1)2+ 4x2;④ -4x2-1+4x.其中,因式分解的结 果中含有相同因式的是 ( ) A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 7. ★若多项式4x2+kxy+25y2 是完全平方 式,则常数k的值为 ( ) A. 10 B. ±10 C. 20 D. ±20 答案讲解 8. 如图,长、宽分别为a,b的长方形的 周长为14,面积为10,则a3b+ 2a2b2+ab3的值为 ( ) 第8题 A. 70 B. 140 C. 2560 D. 490 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. 分解因式: (1) (怀化中考)x2-x4= ; (2) (盘锦中考)x2y-2xy2+y3= . 10. 数形结合思想 如图,将一张大长方形纸 板按图中实线裁剪成9块,其中有2块是边 长都为a的大正方形,2块是边长都为b的 小正方形,5块是长为a、宽为b的相同的 小长方形,且a>b.观察图形,可以发现代 数式2a2+5ab+2b2 可以因式分解为 . 第10题 11. 若a,b互为相反数,则a(x-2y)-b(2y- x)= . 12. 利用因式分解计算:225-15×26+132= . 13. ★分解因式:x2-2xy+y2-1= . 14. 以下是把多项式(x-2)2-4x+8因式分 解的过程: 原式=(x-2)2-(4x-8)(第一步) =(x-2)2-4(x-2)(第二步) =(x-2)(x-2+4)(第三步) =(x-2)(x+2)(第四步). 其中,最开始出现错误的一步是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 拍 照 批 改 13 15. 新考法 新定义题 规定新运算:a⊕b= 3a-2b,其中a=x2+2xy,b=3xy+6y2,则 把a⊕b分解因式的结果是 . 答案讲解 16. (广安中考)已知a+b=1,则代数 式 a2 -b2 +2b+9 的 值 为 . 三、 解答题(共52分) 17. (9分)把下列各式分解因式: (1) 6(a-b)2+3(a-b); (2) x(x-1)-3x+4; (3) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). 18. (6分)已知下列单项式:① 4m2;② 9b2a; ③ 6a2b;④ 4n2;⑤ -4n2;⑥ -12ab; ⑦ -8mn;⑧ a3.请在以上单项式中选取 三个组成一个能够先用提公因式法,再用 公式法分解因式的多项式,并将这个多项 式因式分解. 19. (7分)两名同学将一个二次三项式ax2+ bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0)分 解因式,其中一名同学看错了一次项系数 而分解成(x-1)(x-4),另一名同学看错 了常数项而分解成(x-5)(x+1). (1) 求原多项式ax2+bx+c的二次项系数 a,一次项系数b和常数项c的值; (2) 将原多项式分解因式. 20. (10分)先分解因式,再求值: (1) 已知x-1= 3,求代数式(x+1)2- 4(x+1)+4的值; (2) 已知4x=3y,求代数式(x-2y)2- (x-y)(x+y)-2y2的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 14 21. (10分)阅读下面的材料: 在因式分解中,把多项式中某些部分 看成一个整体,用一个新的字母代替(即换 元),不仅可以简化要分解的多项式的结 构,而且能使式子的特点更加明显,便于观 察如何进行因式分解,我们把这种因式分 解的方法称为“换元法”. 下面是小涵同学用换元法对多项式 (x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分 解的过程. 解:设x2-4x=y. 原式=(y+1)(y+7)+9(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2-4x+4)2(第四步). 请根据材料回答下列问题: (1) 小涵同学的解法中,第二步到第三步运 用了 ( ) A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 完全平方公式 (2) 老师说小涵同学因式分解的结果不彻 底,请你写出该因式分解的最后结果: . (3) 请你用换元法对多项式(x2+2x)· (x2+2x+2)+1进行因式分解. 答案讲解 22. (10分)阅读材料: 若m2-2mn+2n2-10n+25=0, 求m,n的值. 解:∵ m2-2mn+2n2-10n+25=0, ∴ (m2-2mn+n2)+(n2-10n+25)=0. ∴ (m-n)2+(n-5)2=0. ∴ m-n=0,n-5=0. ∴ n=5,m=5. 根据你的观察,探究下列问题: (1) 已知x2+4xy+5y2+4y+4=0,求xy 的值; (2) 已知△ABC 的三边长a,b,c都是正整 数,且a,b满足a2+b2-14a-16b+113= 0,求△ABC 的周长的最大值; (3) 已知△ABC 的三边长是a,b,c,且满足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断 △ABC 是什么特殊的三角形,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级