第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（北师大版）

5 第二章　一元一次不等式与一元一次不等式组 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共27分) 1. 新情境 日常生活 (遵义中考)小明用30元 买铅笔和签字笔,已知铅笔和签字笔的单价 分别是2元和5元,他买了2支铅笔后,最多 还能买几支签字笔? 设小明还能买x 支签 字笔,则下列不等关系正确的是 ( ) A. 5×2+2x≥30 B. 5×2+2x≤30 C. 2×2+2x≥30 D. 2×2+5x≤30 2. (包头中考)若m>n,则下列不等式正确 的是 ( ) A. m-2<n-2 B. -12m>- 1 2n C. n-m>0 D. 1-2m<1-2n 3. (盘锦中考)不等式1 2x-1≤7- 3 2x 的解集 在数轴上表示为 ( ) A B C D 4. (鄂州中考)数形结合是解决数学问题常用 的思想方法.如图,一次函数y=kx+b(k,b 为常数,且k<0)的图象与直线y= 1 3x 都经 过点A(3,1).当kx+b<13x 时,根据图象, 可知x的取值范围是 ( ) 第4题 A. x>3 B. x<3 C. x<1 D. x>1 5. (攀枝花中考)某学校准备购进单价分别为 5元和7元的A,B两种笔记本共50本作为 奖品发放给学生,要求A种笔记本的数量不 多于B种笔记本数量的3倍,不少于B种笔 记本数量的2倍,则不同的购进方案的种 数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. ★已知关于x 的不等式组 2x-a<1, x-2b>3 的解 集是-1<x<1,则(a+1)(b-1)的值为 ( ) A. -5 B. -6 C. 7 D. 8 答案讲解 7. (邵阳中考)若关于x 的不等式组 -13x> 2 3-x , 1 2x-1< 1 2 (a-2) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 有且只有三个 整数解,则a的最大值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案讲解 8. (广西北部湾经济区中考)定义一种 运算:a*b= a(a≥b), b(a<b), 则不等式 (2x+1)*(2-x)>3的解集是 ( ) A. x>1或x<13 B. -1<x<13 C. x>1或x<-1 D. x>13 或x<-1 9. ★若不等式2x+5 3 -1≤2-x 的解集中x 的 每一个值,都能使关于x 的不等式3(x- 1)+5>5x+2(m+x)成立,则m 的取值范 围是 ( ) A. m>-35 B. m<-15 C. m<-35 D. m>-15 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 6 二、 填空题(每小题3分,共24分) 10. 若(m-2)x|3-m|+2≤6是关于x的一元一 次不等式,则m= ,不等式的解集 为 . 11. 已知一次函数y=ax+b(a,b 是常数), x与y的部分对应值如下表: x -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 不等式ax+b>0的解集是 . 12. 关于x的不等式2x-m<-1的解集在数 轴上表示如图所示,则m 的值为 . 第12题 答案讲解 13. (苏州中考)若2x+y=1,且0< y<1,则x的取值范围是 . 14. (龙东地区中考)若关于x 的一元 一次不等式组 2x-1<3, x-a<0 的解集为x<2, 则a的取值范围是 . 15. 同时满足不等式1+2x 3 >x-1 和x+ 3(x-1)<1的x的最大整数是 . 16. 老师在黑板上留了一道解不等式的题目: x+2 2 ≥ 2x-1 3 + . 是被一名学生 擦去的一个数字,又知其解集为x≤2,则被 擦去的数字是 . 17. 新情境 日常生活 如图所示为由若干个 粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链 条.已知铁环粗1cm,每个铁环长5cm. 设铁环间处于最大限度的拉伸状态.若要 组成不短于2m 长的链条,则至少需要 个铁环. 第17题 三、 解答题(共49分) 18. (6分)解不等式(组),并将解集在数轴上表 示出来. (1) 2x-1 4 - 1+x 6 ≥1 ; (2) 5x-1≤3(x+1)①, 2x-1 3 - 2x+3 2 <-1②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 19. (6 分)(扬 州 中 考)解 不 等 式 组 x-2≤2x①, x-1<1+2x3 ② , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 并求出它的所有整数解 的和. 20. (6分)已知方程组 y-2x=m, 2y+3x=m+1 的解满 足2x+y≥0,求m 的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 7 21. (6分)已知关于x 的不等式2m-mx2 > 1 2x-1. (1) 当m=1时,求该不等式的解集. (2) 当m 取何值时,该不等式有解? 请求 出解集. 22. (6分)(宿迁中考)某单位准备购买文化用 品,现有甲、乙两家超市进行促销活动,该 文化用品在两家超市的标价均为10元/件, 甲超市一次性购买金额不超过400元的不 优惠,超过400元的部分按标价的6折售 卖;乙超市全部按标价的8折售卖. (1) 若该单位需要购买30件这种文化用 品,则在甲超市的购买金额为 元, 在乙超市的购买金额为 元; (2) 假如你是该单位的采购员,你认为选择 哪家超市支付的费用较少? 23. ★(6分)(通辽中考)为丰富课后活动的内 容,某学校计划到甲、乙两个商店购买一批 新的体育用品,两个商店的优惠活动如下: 甲:所有商品按原价的8.5折出售. 乙:一次性购买商品总额不超过300元的 按原价付费,超过300元的部分打7折. 设需要购买体育用品的原价总额为x 元, 去甲商店购买实付y甲 元,去乙商店购买实 付y乙 元,其函数图象如图所示. (1) 分别求y甲,y乙 关于x的函数表达式; (2) 两图象交于点A,求点A 的坐标; (3) 根据函数图象,请直接写出选择去哪个 商店购买体育用品更合算. 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 8 答案讲解 24. (6分)(邵阳中考)2022年2月 4日至20日,冬季奥运会在北京 举行.某特许专卖商店购进冬奥会 纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行 销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/ 个,“冰墩墩”挂件的进价为50元/个. (1) 若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了 11400元,请分别求出购进“冰墩墩”摆件 和挂件的数量. (2) 该商店计划将“冰墩墩”摆件的售价定 为100元/个,“冰墩墩”挂件的售价定为 60元/个.若购进的180个“冰墩墩”摆件和 挂件全部售完,且至少盈利2900元,则购 进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个? 25. ★(7分)(遂宁中考)某中学为落实教育部文 件要求,决定增设篮球、足球两门选修课 程,需要购买一批篮球和足球.已知购买 2个篮球和3个足球共需费用510元;购买 3个篮球和5个足球共需费用810元. (1) 篮球和足球的单价分别是多少元? (2) 学校计划购买篮球、足球共50个,并要 求篮球不少于30个,且总费用不超过 5500元,那么有哪几种购买方案? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)八年级 3 ∠FCE,∴ 2∠CAD=2∠FCE,即∠CAD=∠FCE. 第24题 第二章　一元一次不等式 与一元一次不等式组 一、 1. D 2. D 3. C 4. A 5. D 6. B 解析:令 2x-a<1①, x-2b>3②. 解不等式①,得x<a+12 , 解不等式②,得x>2b+3.∵ 不等式组有解,∴ 解集是 2b+3<x<a+12 .∵ 不等式组的解集是-1<x<1, ∴ 2b+3=-1,a+12 =1 ,解得b=-2,a=1.∴ (a+1)· (b-1)=2×(-3)=-6. 不等式(组)与方程(组)综合问题的求解方法 不等式(组)与方程(组)的综合问题通常以“解”为 桥梁联系起来,解题的关键是分清相关字母与未知数, 能通过解方程(组)或不等式(组)用相关字母表示未知 数,并能对照解的情况,列方程(组)或不等式(组),从 而求出相关字母的取值或取值范围. 7. C 8. C 9. C 解析:解不等式2x+53 -1≤2-x ,得x≤45. 解关 于x的不等式3(x-1)+5>5x+2(m+x),得x< 1-m 2 . 根据题意,得1-m 2 > 4 5 ,解得m<-35. 根据“解的从属关系”求字母取值范围的方法 解决“一个不等式的所有解都使另一个不等式成 立,求字母的取值范围”问题,方法是先分别求解两个 不等式,再根据“前面不等式的解集都在后面不等式的 解集范围内(可借助数轴判断)”列不等式,进而求出字 母的取值范围. 二、 10. 4 x≤2 11. x<1 12. -1 13. 0<x<12 14. a≥2 15. 0 16. 1 17. 66 解析:设需要 x 个铁环.2m=200cm.依题意,得 5x-2(x-1)≥200,解得 x≥66. 三、 18. (1) x≥174. 不等式的解集在数轴上表示如图① 所示.(2) 解不等式①,得x≤2,解不等式②,得x> -2.5.∴ 原不等式组的解集为-2.5<x≤2.不等式组的 解集在数轴上表示如图②所示. 第18题 19. 解不等式①,得x≥-2,解不等式②,得x<4.∴ 原 不等式组的解集是-2≤x<4.∴ 该不等式组的整数解 是-2,-1,0,1,2,3.∵ -2+(-1)+0+1+2+3=3, ∴ 该不等式组的所有整数解的和是3. 20. 解方程组,得 x=-m+17 , y= 5m+2 7 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∵ 2x+y≥0,∴ 2× -m+1 7 + 5m+2 7 ≥0 ,解得m≥-43. 21. (1) 当m=1时,不等式为2-x2 > 1 2x-1. 去分母,得 2-x>x-2,解得x<2.(2) 不等式去分母,得2m- mx>x-2.移项、合并同类项,得(m+1)x<2(m+1).当 m≠-1时,不等式有解;当m>-1时,不等式的解集为 x<2;当m<-1时,不等式的解集为x>2. 22. (1) 300;240.(2) 设购买x 件这种文化用品.当0< x≤40时,在甲超市的购买金额为10x元,在乙超市的购 买金额为0.8×10x=8x(元).∵ 10x>8x,∴ 选择乙超 市支付的费用较少.当x>40时,在甲超市的购买金额为 400+0.6(10x-400)=(6x+160)元,在乙超市的购买金 额为0.8×10x=8x(元).若6x+160>8x,则x<80;若 6x+160=8x,则x=80;若6x+160<8x,则x>80.综上 所述,当购买数量不足80件时,选择乙超市支付的费用较 少;当购买数量为80件时,选择两家超市支付的费用相 同;当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用 较少. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 23. (1) 由题意,可得y甲=0.85x,当0≤x≤300时, y乙=x,当x>300时,y乙 =300+(x-300)×0.7= 0.7x+90,则y乙= x(0≤x≤300), 0.7x+90(x>300). (2) 令0.85x= 0.7x+90,解得x=600.将x=600代入0.85x,得 0.85×600=510,即点A 的坐标为(600,510).(3) 由图象 可得,当x<600时,去甲商店购买体育用品更合算;当 x=600时,去两个商店购买体育用品一样合算;当x> 600时,去乙商店购买体育用品更合算. 综合运用一次函数、方程、不等式 设计合理性方案的方法 综合运用一次函数、方程、不等式的相关知识设计 合理性方案,通常有两种方法.方法一是利用两函数间 的大于、等于、小于三种情况,分别列不等式或方程,从 而确定三种情况下对应的合适方案;方法二是直接借 助图象的直观性,以两函数图象的交点为界,分三种情 况确定合适的方案. 24. (1) 设购进“冰墩墩”摆件x个,“冰墩墩”挂件y个.依 题意,得 x+y=180, 80x+50y=11400, 解得 x=80, y=100. ∴ 购进“冰 墩墩”摆件80个,“冰墩墩”挂件100个.(2) 设购进“冰墩 墩”挂件m 个,则购进“冰墩墩”摆件(180-m)个.依题意, 得(60-50)m+(100-80)(180-m)≥2900,解得m≤ 70.∴ 购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个. 25. (1) 设篮球的单价为a元,足球的单价为b元.由题 意,得 2a+3b=510, 3a+5b=810, 解得 a=120 , b=90. ∴ 篮球的单价为 120元,足球的单价为90元.(2) 设购买篮球x 个,则购 买足球(50-x)个.∵ 要求篮球不少于30个,且总费用不 超过5500元,∴ x≥30, 120x+90(50-x)≤5500, 解得30≤ x≤3313.∵ x 为整数,∴ x 的值可为30,31,32,33. ∴ 共有四种购买方案.方案一:购买篮球30个,购买足球 20个;方案二:购买篮球31个,购买足球19个;方案三: 购买篮球32个,购买足球18个;方案四:购买篮球33个, 购买足球17个. 构建不等式(组)模型设计方案的方法 构建不等式(组)模型设计可行性方案及最优方案 的通常方法是先列不等式(组)求出未知数的取值范 围,再利用未知数必须是整数的实际限制条件确定未 知数的有限个整数解,进而设计出可行性方案.在可行 性方案的基础上设计最优方案,若方案情况较少,则可 分类讨论得到最优方案. 第三章　图形的平移与旋转 一、 1. D 2. C 3. B 4. D 巧用平移解题 通过图形的平移,可化不规则图形为规则图形,或 将多个图形化为一个图形,从而将分散的条件集中,进 而巧妙解决问题.如将不在同一条直线上,但相互平行 的线段平移,可化为在同一条直线上的线段;将不规则 但宽度处处相等的小路平移,可化为规则的长方形等, 从而巧求周长或面积等. 5. C 6. D 7. C 8. C 解析:如图,连接AA'.∵ ∠ACB=90°,∠BAC= 30°,BC=2,∴ 易得AC=23,∠B=60°.∵ 将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到△A'B'C,∴ CA=CA', CB=CB',∠ACA'=∠BCB'.∵ CB=CB',∠B=60°, ∴ △CBB' 为 等 边 三 角 形.∴ ∠BCB' = 60°. ∴ ∠ACA'=60°.∴ △CAA'为等边三角形.过点A 作 AD⊥A'C 于点D.∴ 易得CD=12AC=3.∴ 由勾股定 理,易得AD=3.∴ 点A 到直线A'C 的距离为3. 第8题 二、 9. 答案不唯一,如60 10. B 180° 是 11. (1,3) 12. 8 13. 50° 14. 2 解析:由点A 平移前、后的横坐标分别为2和3, 可知点A 向右平移1个单位长度;由点B 平移前、后的纵 坐标分别为1和2,可知点B 向上平移1个单位长度. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈