专题07 带电粒子在磁场中的运动（湖南专用）-【好题汇编】2025年高考物理二模试题分类汇编

专题07 带电粒子在磁场中的运动 一、单选题 1．（2025·湖南岳阳·二模）如图所示，空间中充满磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场，两根通电长直导线垂直纸面分别放置在直角三角形的两顶点处，。处导线中的电流方向垂直纸面向外，处导线中的电流方向垂直纸面向里，两导线中的电流大小可以变化。已知通电长直导线周围某点的磁感应强度，即磁感应强度与导线中电流成正比、与该点到导线的距离成反比。现让两导线以点为圆心，分别以为半径，保持不变，从图示位置顺时针缓慢旋转的过程中，点的磁感应强度始终为零。在旋转过程中下列说法正确的是（　　） A．两处导线中的电流均增大 B．两处导线中的电流均减小 C．处导线中电流一直减小，处导线中的电流一直增大 D．处导线中电流一直增大，处导线中的电流一直减小 2．（2025·湖南岳阳·二模）如图所示，在的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子（不计重力）从坐标原点处沿图示方向射入磁场中，已知。粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是（　　） A．带正电， B．带正电， C．带负电， D．带负电， 3．（2025·湖南·二模）威尔逊云室是最早的带电粒子探测器。其原理是在云室内充入过饱和酒精蒸汽，当带电粒子经过云室时，带电粒子成为过饱和蒸汽的凝结核心，围绕带电粒子将生成微小的液滴，于是在带电粒子经过的路径上就会出现一条白色的雾迹，从而显示带电粒子的运行路径。在云室中带电粒子受到云室内饱和蒸汽对其的阻力，阻力大小与带电粒子运动的速度大小成正比。在不加磁场的情况下，一速度大小为v0，质量为m，电荷量为q的带电粒子在云室中沿直线通过s的路程后停止运动。现加入一个与粒子速度方向垂直、大小为B的匀强磁场，则带电粒子入射位置到停止运动时的位置之间的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）如图为两个平行的条状磁场，从上到下的边界均水平，依次记作a、b、c、d，垂直纸面向里的匀强磁场填充在ab和cd区域内，其它区域无磁场。ab和cd的宽度均为d，bc的宽度为L，一带负电的粒子以速度垂直边界d射入磁场，一段时间后恰好未从边界a射出。粒子带电量为q，不计重力，则（　　） A．磁场的磁感应强度为 B．粒子自射入磁场到到达边界a用时 C．若bc的宽度减小，粒子会从边界a射出 D．若ab宽度变为0.5d，cd宽度变为1.5d，则粒子无法到达边界a 5．（2025·湖南常德·二模）三角形是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为，以点为坐标原点，沿斜面向下为轴正方向，如图1所示，沿斜面加一静电场，其电场强度随变化的关系如图2所示，设轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为，电荷量大小为的带电小滑块（视为质点）从点静止释放，且小滑块释放后沿斜面向下运动，已知，运动过程中小滑块的电荷量保持不变。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块一定带正电 B．小滑块沿斜面向下运动过程中机械能先减小后增大 C．小滑块沿斜面向下运动过程中的最大速度为 D．小滑块沿斜面向下运动的最远距离为 6．（2025·湖南怀化·二模）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从处的C点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子进入磁场的初速度为 B．矩形匀强电场区域的最小面积为 C．粒子从 A 点运动到 C 点的最短时间为 D．粒子从 A 点运动到 C 点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为 7．（2025·湖南常德·二模）电磁血流量计是运用于心血管手术和有创外科手术的精密监控仪器，可以测量血管内血液的流速。如图所示，某段监测的血管可视为内径为的圆柱体，其前后两个侧面、固定两块竖直正对的金属电极板（未画出，电阻不计），血液中的正负离子随血液一起从左至右水平流动，当加竖直向下的匀强磁场时电极间存在电势差。当血液的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）一定时，下列说法正确的是（　　） A．电极的电势高于电极的电势 B．稳定时、电极间的电势差变大，说明血管内径变小 C．稳定时、电极间的电势差大小与血液流速成正比 D．当血液中正负离子浓度增大，稳定时电极间的电势差会增大 二、多选题 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是以点为圆心、半径为的一段圆弧，圆弧与轴交于、两点，磁场下边界是以坐标原点为圆心，半径为的一段圆弧。如图，在虚线区域内有一束均匀分布带负电的粒子沿轴负方向以速度射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为，带电粒子质量为，电荷量大小为，不计粒子重力，，。下列说法中正确的是（　　） A．粒子在磁场中的运动半径为 B．正对点入射的粒子离开磁场后不一定会过点 C．粒子在磁场区域运动的最长时间为 D．粒子经过点进入第四象限的比例为 三、解答题 9．（2025·湖南娄底·二模）如图，在坐标系内，有几个电磁场区域，在的上方有一个垂直平面向里的匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度，在到轴之间，有一个沿轴正向的匀强电场区域（图中未画出）。区域下边界与区域上边界相切在第三、四象限有一个垂直平面向外的匀强磁场区域，磁感应强度未知。为一个与等高的处于磁场区域边沿的粒子源，可以源源不断地向右侧区域各个方向发射质量为，带电量为的粒子，粒子速度大小相同都为。所有粒子均沿轴负向垂直进入区域，最右侧的粒子恰好经过原点进入区域。忽略各种场的边缘效应求： (1)点的坐标： (2)电场强度与的比值，及粒子进入区域时的速度大小； (3)若粒子从区域再次穿过轴时，区域的电场方向变为等大反向，最终所有粒子从区域与等高的点离开磁场，求区域的磁感应强度大小。 10．（2025·湖南邵阳·二模）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的水平匀强磁场，探测板平行于竖直放置，能沿水平方向左右缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距均为的离子束，离子均以相同速度持续从边界竖直向上射入磁场，束中的离子在磁场中沿半径为的四分之一圆弧运动后从右边界水平射出，并打在探测板的上边缘点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为，探测板的长度为，离子质量均为、电荷量均为，不计重力及离子间的相互作用，。 (1)求离子速度的大小； (2)a、c两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差； (3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量与板到距离的关系。 11．（2025·湖南常德·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，第二象限有一过坐标原点的曲线，该曲线及其上方有竖直向下的匀强电场。曲线上每个位置可连续发射质量为、电荷量为的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点，曲线上A点离轴的距离为，电场强度大小为。第四象限内（含边界）存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，为平行于轴且足够大的荧光屏，荧光屏可以上下移动，不计粒子重力及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上即被吸收。 (1)求图中曲线方程； (2)若粒子运动中不会与荧光屏相碰，求从A点发射的粒子在磁场中运动时间； (3)若将荧光屏缓慢上下移动，求从A点至点发射的粒子打在荧光屏上的发光点间的最大距离。 12．（2025·湖南·二模）如图所示，在x轴原点О位置有一粒子源，可以释放出初速度为零的带正电的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q。释放后的粒子受到半圆形区域I中电场的作用，区域内各点的电场方向始终沿径向指向半圆形区域I边缘﹐电场强度的大小恒定为，半圆形区域Ⅰ的半径为r。随后带电粒子进入垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅱ﹐磁场区域Ⅱ是一个以O'为圆心，半径为2r的圆形区域，与半圆形区域Ⅰ重叠部分没有磁场，O'点在О点正上方，O'O=，磁感应强度的大小为。在x=3r的位置有一块竖直放置的屏幕，带电粒子运动至屏幕后被屏幕吸收。 (1)求带电粒子由电场中进入磁场时的速度大小以及带电粒子在磁场区域中做圆周运动的半径； (2)一带电粒子离开电场时的速度方向与x轴负方向的夹角为60°，求该带电粒子离开磁场区域时的速度方向以及与x轴之间的竖直距离； (3)求第（2）问中的带电粒子运动的总时间。 13．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第一象限空间存在垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、为已知量）；第二象限空间存在沿方向、场强大小为的匀强电场，和磁感应强度大小为、垂直平面向里的匀强磁场；第三象限存在方向和大小未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为、电荷量为的带电粒子，从轴上的点沿纸面以与方向夹角的初速度射入第三象限的匀强电场，并从原点射入第一象限，过点的速度方向与方向夹角为。不计粒子重力，求： (1)第三象限电场强度的大小和方向； (2)粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积S； (3)若，粒子在第二象限运动过程中的最大速度（结果用含的式子表示）。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 带电粒子在磁场中的运动 一、单选题 1．（2025·湖南岳阳·二模）如图所示，空间中充满磁感应强度大小为、方向竖直向下的匀强磁场，两根通电长直导线垂直纸面分别放置在直角三角形的两顶点处，。处导线中的电流方向垂直纸面向外，处导线中的电流方向垂直纸面向里，两导线中的电流大小可以变化。已知通电长直导线周围某点的磁感应强度，即磁感应强度与导线中电流成正比、与该点到导线的距离成反比。现让两导线以点为圆心，分别以为半径，保持不变，从图示位置顺时针缓慢旋转的过程中，点的磁感应强度始终为零。在旋转过程中下列说法正确的是（　　） A．两处导线中的电流均增大 B．两处导线中的电流均减小 C．处导线中电流一直减小，处导线中的电流一直增大 D．处导线中电流一直增大，处导线中的电流一直减小 【答案】D 【详解】由右手螺旋定则确定M、N两导线在O处产生的磁场方向（如图所示） 从图示位置顺时针缓慢旋转60°的过程中，两导线的产生的磁场方向也沿顺时针旋转60°角，因O点的磁感应强度始终为零。则BM与BN的矢量和与B等大反向，由画图法知，BM逐渐增大，BN逐渐减小。通电长直导线周围某点的磁感应强度，可推知M处导线中电流一直增大，N处导线中的电流一直减小。 故选D。 2．（2025·湖南岳阳·二模）如图所示，在的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向里。质量为、电荷量为的带电粒子（不计重力）从坐标原点处沿图示方向射入磁场中，已知。粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是（　　） A．带正电， B．带正电， C．带负电， D．带负电， 【答案】B 【详解】由题知，粒子穿过轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场，说明粒子进入磁场后向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电，作出其运动轨迹，如图所示 根据几何关系可知 设带电粒子在磁场中运动的半径为，根据几何关系可得 解得 带电粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 故选B。 3．（2025·湖南·二模）威尔逊云室是最早的带电粒子探测器。其原理是在云室内充入过饱和酒精蒸汽，当带电粒子经过云室时，带电粒子成为过饱和蒸汽的凝结核心，围绕带电粒子将生成微小的液滴，于是在带电粒子经过的路径上就会出现一条白色的雾迹，从而显示带电粒子的运行路径。在云室中带电粒子受到云室内饱和蒸汽对其的阻力，阻力大小与带电粒子运动的速度大小成正比。在不加磁场的情况下，一速度大小为v0，质量为m，电荷量为q的带电粒子在云室中沿直线通过s的路程后停止运动。现加入一个与粒子速度方向垂直、大小为B的匀强磁场，则带电粒子入射位置到停止运动时的位置之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】无磁场时，带电粒子做直线运动，受到的阻力假设为 根据动量定理可知 由此可得 当有磁场时，以粒子初速度方向为轴、入射点位置为坐标原点建立坐标系，设带电粒子为正电荷，磁场方向垂直坐标平面向内，则沿轴方向由动量定理可知 沿方向由动量定理可知 由此两方程可以求解得到带电粒子停止运动时的位置坐标为， 最终可以得到粒子入射位置到停止运动时位置的距离大小为 故选A。 4．（2025·湖南·模拟预测）如图为两个平行的条状磁场，从上到下的边界均水平，依次记作a、b、c、d，垂直纸面向里的匀强磁场填充在ab和cd区域内，其它区域无磁场。ab和cd的宽度均为d，bc的宽度为L，一带负电的粒子以速度垂直边界d射入磁场，一段时间后恰好未从边界a射出。粒子带电量为q，不计重力，则（　　） A．磁场的磁感应强度为 B．粒子自射入磁场到到达边界a用时 C．若bc的宽度减小，粒子会从边界a射出 D．若ab宽度变为0.5d，cd宽度变为1.5d，则粒子无法到达边界a 【答案】B 【详解】A．作出粒子的运动轨迹如图所示 由于粒子的速度大小相同，两个区域的磁感应强度大小相同，故粒子在两个区域内的半径相同，根据几何关系可知 则有 解得 根据牛顿第二定律有 解得 故A错误； B．根据， 解得 可得 根据几何关系，可知粒子在cd磁场偏转的圆心角为 则对应的运动时间为 又 则 粒子从c边界到b边界做匀速直线运动，根据几何关系可得位移大小为 则对应的时间为 根据几何关系，可知粒子在ab磁场偏转的圆心角为 则对应的运动时间为 又 则 故粒子自射入磁场到到达边界a用时 故B正确； C．因速度大小、磁感应强度不变，则粒子在磁场中运动的半径不变，仍为，若bc的宽度减小，只是减小了中间做匀速直线运动的时间，对粒子在两个区域的磁场中运动的情况没有影响，故粒子依然恰好未从边界a射出，不会从边界a射出，故C错误； D．速度大小、磁感应强度不变，则粒子在磁场中运动的半径不变，仍为，若将cd宽度变为1.5d，可知半径大于cd的宽度，则粒子仍会从c边界出射，再进入到ab之间的磁场中，由于ab宽度变为0.5d，小于粒子的运动半径，故粒子可以到达边界a，故D错误。 故选B。 5．（2025·湖南常德·二模）三角形是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为，以点为坐标原点，沿斜面向下为轴正方向，如图1所示，沿斜面加一静电场，其电场强度随变化的关系如图2所示，设轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为，电荷量大小为的带电小滑块（视为质点）从点静止释放，且小滑块释放后沿斜面向下运动，已知，运动过程中小滑块的电荷量保持不变。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块一定带正电 B．小滑块沿斜面向下运动过程中机械能先减小后增大 C．小滑块沿斜面向下运动过程中的最大速度为 D．小滑块沿斜面向下运动的最远距离为 【答案】C 【详解】A．由题知，取沿斜面向下为x轴正方向，故最开始的电场强度方向沿斜面向上，若小滑块带正电，则最开始所受电场力沿斜面向上，有 即电场力大于重力沿斜面向下的分力，小滑块刚开始不可能沿斜面向下运动，所以小滑块带负电，故A错误； B．小滑块带负电，沿斜面向下运动过程中电场力先做正功，后做负功，所以机械能先增大后减小，故B错误； C．小滑块沿斜面向下运动过程中，当有最大速度时加速度为零，则有 解得 由图2可知，设此时电场强度对应的横坐标为x，则有 解得 从最开始到最大速度，根据动能定理有 解得 故C正确； D．当小滑块的速度为零时，沿斜面向下运动到最大位移，设为xm，对应的电场强度为Em，由图2可知 从最开始运动到最大位移，根据动能定理有 联立，解得 故D错误。 故选C。 6．（2025·湖南怀化·二模）如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场区域，场强大小为E。在处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从处的C点第二次飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子进入磁场的初速度为 B．矩形匀强电场区域的最小面积为 C．粒子从 A 点运动到 C 点的最短时间为 D．粒子从 A 点运动到 C 点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为 【答案】C 【详解】A．当粒子在磁场中的圆周运动半径为时，满足题意。故由 且 联立解得 A错误； B．由磁发散知识可知，所有粒子进入电场的方向都是沿 轴正方向，且速度大小相等，故粒子到达电场的最大高度也都相等。设粒子在电场中运动的最大高度为，则有得 则电场的最小面积有 B错误； C．由几何知识可知，所有粒子第一次在磁场中运动的轨迹和第二次在磁场中运动的轨迹总和是半个圆，故磁场中运动的时间总和都是相等的，而在电场中的运动时间也相等，故要使粒子从A点运动到C点的时间最短，就只需要让粒子在磁场和电场之间的中间区域运动时间最短即可。所以，当粒子发射方向沿 轴正方向时，粒子从A点运动到C点的时间最短。在磁场中的运动时间 在电场中的运动时间 故运动的最短时间 C正确； D．粒子从A点运动到C点的整个过程中，取沿 轴负方向为正，由动量定理得，解得 负号表示洛伦兹力的冲量方向沿 轴正方向，D错误。 故选C。 7．（2025·湖南常德·二模）电磁血流量计是运用于心血管手术和有创外科手术的精密监控仪器，可以测量血管内血液的流速。如图所示，某段监测的血管可视为内径为的圆柱体，其前后两个侧面、固定两块竖直正对的金属电极板（未画出，电阻不计），血液中的正负离子随血液一起从左至右水平流动，当加竖直向下的匀强磁场时电极间存在电势差。当血液的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）一定时，下列说法正确的是（　　） A．电极的电势高于电极的电势 B．稳定时、电极间的电势差变大，说明血管内径变小 C．稳定时、电极间的电势差大小与血液流速成正比 D．当血液中正负离子浓度增大，稳定时电极间的电势差会增大 【答案】B 【详解】A．左手定则可知正粒子向a电极偏转，则a点电势高于b点电势，故A错误； BCD．题意知流量不变，且流量 稳定时有 联立解得稳定时、电极间的电势差 可知电势差U变大，说明血管内径变小，且U与流速、浓度无关，故B正确，CD错误； 故选B。 二、多选题 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是以点为圆心、半径为的一段圆弧，圆弧与轴交于、两点，磁场下边界是以坐标原点为圆心，半径为的一段圆弧。如图，在虚线区域内有一束均匀分布带负电的粒子沿轴负方向以速度射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为，带电粒子质量为，电荷量大小为，不计粒子重力，，。下列说法中正确的是（　　） A．粒子在磁场中的运动半径为 B．正对点入射的粒子离开磁场后不一定会过点 C．粒子在磁场区域运动的最长时间为 D．粒子经过点进入第四象限的比例为 【答案】ACD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在磁场中的轨道半径为，故A正确； B．正对的粒子，圆心恰好在轴上，进入磁场后做匀速圆周运动，如图所示 根据勾股定理可知，进入无磁场区域后，速度方向恰好指向点，即正对点入射的粒子离开磁场后一定会过点，B错误； C．根据题意知，所有粒子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，圆心均在入射点的正下方，半径均为，所有圆心所在的轨迹相当于将磁场边界向下平移形状，平移到点位置，即所有粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到点距离均为，如图所示 利用勾股定理可知，进入无磁场区域后，所有粒子速度方向都指向点，因此所有粒子都过点。由上述分析可知，从最上方进入的粒子，在磁场中偏转角度最大，运动的时间最长，如下图所示。 由几何关系可知，该粒子在磁场中旋转了，因此运动的时间为，故C正确； D．如图所示 从水平向左的粒子离开磁场粒子方向沿轴负方向，故射入的粒子过点后射入第四象限，射入的粒子过点后射入第三象限。故进入第四象限的比例为，故D正确。 故选ACD。 三、解答题 9．（2025·湖南娄底·二模）如图，在坐标系内，有几个电磁场区域，在的上方有一个垂直平面向里的匀强磁场区域，圆心为，磁感应强度，在到轴之间，有一个沿轴正向的匀强电场区域（图中未画出）。区域下边界与区域上边界相切在第三、四象限有一个垂直平面向外的匀强磁场区域，磁感应强度未知。为一个与等高的处于磁场区域边沿的粒子源，可以源源不断地向右侧区域各个方向发射质量为，带电量为的粒子，粒子速度大小相同都为。所有粒子均沿轴负向垂直进入区域，最右侧的粒子恰好经过原点进入区域。忽略各种场的边缘效应求： (1)点的坐标： (2)电场强度与的比值，及粒子进入区域时的速度大小； (3)若粒子从区域再次穿过轴时，区域的电场方向变为等大反向，最终所有粒子从区域与等高的点离开磁场，求区域的磁感应强度大小。 【答案】(1)点坐标为（，） (2)， (3) 【详解】（1）所有粒子均沿轴负向垂直进入区域，所以可知，带电粒子做圆周运动的半径与磁场区域半径相同；由 可得 所以点坐标为（，）。 （2）最右侧的粒子恰好经过原点进入区域，则有 化简可得 所以 设粒子进入区域的速度大小为，则有 可得 （3）所有粒子在区域和区域运动过程中间距始终相等，若最右侧的粒子恰好经过原点进入区域，则最左侧粒子从点正下方的处进入电场，又因为最终所有粒子从区域与等高的点离开磁场，根据运动的对称性可知，最左侧粒子恰好从原点返回区域。其全程运动轨迹如图所示 即所有粒子在区域中运动后向右偏移。 方法一：对粒子沿方向用动量定理有 即 解得 方法二：由类平抛运动规律可知，进入区域时速度与水平夹角为，则有， 所以进去区域时速度大小 由洛伦兹力提供向心力可得 又 解得 10．（2025·湖南邵阳·二模）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的水平匀强磁场，探测板平行于竖直放置，能沿水平方向左右缓慢移动且接地。a、b、c为三束宽度不计、间距均为的离子束，离子均以相同速度持续从边界竖直向上射入磁场，束中的离子在磁场中沿半径为的四分之一圆弧运动后从右边界水平射出，并打在探测板的上边缘点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为，探测板的长度为，离子质量均为、电荷量均为，不计重力及离子间的相互作用，。 (1)求离子速度的大小； (2)a、c两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差； (3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量与板到距离的关系。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）离子在磁场中做圆周运动，由牛顿运动定律得 解得离子的速度大小 （2）离子在磁场的运动的周期为， 作出粒子的运动轨迹如图 由几何关系可知束中的离子从同一点射出，离开磁场的速度分别与水平方向的夹角为，则 束中的离子在磁场中运动的圆心角分别为 则两离子的在磁场中运动时间的差值为 得 由于两离子出磁场的速度与磁场边界所成的夹角相同，则两离子从磁场到EF板的时间相同，即离子运动的时间差 （3）同时探测到三束离子，满足： 解得 同时探测到两束离子同理有： 对离子束由动量定理有： 而或束中每个离子动量的水平分量： 离子束对探测板的平均作用力为：当时， 当时， 当时， 11．（2025·湖南常德·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，第二象限有一过坐标原点的曲线，该曲线及其上方有竖直向下的匀强电场。曲线上每个位置可连续发射质量为、电荷量为的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点，曲线上A点离轴的距离为，电场强度大小为。第四象限内（含边界）存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，为平行于轴且足够大的荧光屏，荧光屏可以上下移动，不计粒子重力及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上即被吸收。 (1)求图中曲线方程； (2)若粒子运动中不会与荧光屏相碰，求从A点发射的粒子在磁场中运动时间； (3)若将荧光屏缓慢上下移动，求从A点至点发射的粒子打在荧光屏上的发光点间的最大距离。 【答案】(1)（） (2) (3) 【详解】（1）设曲线某点坐标为（x，y），粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有 竖直方向有 其中 解得（） （2）对从曲线上A点射入的粒子，作出粒子的运动轨迹如图所示 在电场中，粒子做类平抛运动，在水平方向有 在竖直方向有 设粒子进入磁场时速度与竖直方向的夹角为，则有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有， 解得 则粒子在磁场运动时间 解得 （3）设粒子从点进入磁场的速度，与轴负向的夹角为，运动半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得 由几何知识可知，若无荧光屏粒子出磁场时对应的弦长为 该弦长与v无关，即从任一点发射的粒子都从同一点射出磁场。令点发射的粒子在磁场中运动轨道半径，结合上述有 令从A点发射的粒子在磁场中运动轨道半径，则有 所以打在荧光屏上的发光点的最大距离为 解得 12．（2025·湖南·二模）如图所示，在x轴原点О位置有一粒子源，可以释放出初速度为零的带正电的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q。释放后的粒子受到半圆形区域I中电场的作用，区域内各点的电场方向始终沿径向指向半圆形区域I边缘﹐电场强度的大小恒定为，半圆形区域Ⅰ的半径为r。随后带电粒子进入垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅱ﹐磁场区域Ⅱ是一个以O'为圆心，半径为2r的圆形区域，与半圆形区域Ⅰ重叠部分没有磁场，O'点在О点正上方，O'O=，磁感应强度的大小为。在x=3r的位置有一块竖直放置的屏幕，带电粒子运动至屏幕后被屏幕吸收。 (1)求带电粒子由电场中进入磁场时的速度大小以及带电粒子在磁场区域中做圆周运动的半径； (2)一带电粒子离开电场时的速度方向与x轴负方向的夹角为60°，求该带电粒子离开磁场区域时的速度方向以及与x轴之间的竖直距离； (3)求第（2）问中的带电粒子运动的总时间。 【答案】(1)， (2)与轴正方向的夹角为， (3) 【详解】（1）带电粒子从位置静止出发经过辐射状电场后沿径向做匀加速直线运动进入磁场区域，因此有 进入磁场区域，洛伦兹力充当向心力，因此有 （2）如图所示为带电粒子的运动轨迹 由题意可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径也为 圆心在位置，，因此可知， 由此可知是一个平行四边形，平行于，由此可知带电粒子出射时的方向是水平的。由于与轴负方向的夹角为，且 因此可知与轴正方向的夹角为，因此带电粒子从磁场出射时的位置到轴的竖直距离为 （3）带电粒子在辐射状电场中做匀加速直线运动，离开电场经过点时的速度大小为，因此带电粒子在辐射状电场中运动的时间为 然后进入磁场区域，带电粒子在磁场中运动的周期为 在磁场区域中转过的圆弧所对圆心角为，由此可知在磁场中运动的时间为 出磁场后，带电粒子做匀速直线运动，速度大小为，水平运动的距离为 由此可知水平运动的时间为 最终带电粒子运动的总时间为 13．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第一象限空间存在垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、为已知量）；第二象限空间存在沿方向、场强大小为的匀强电场，和磁感应强度大小为、垂直平面向里的匀强磁场；第三象限存在方向和大小未知的匀强电场（图中未画出）。一质量为、电荷量为的带电粒子，从轴上的点沿纸面以与方向夹角的初速度射入第三象限的匀强电场，并从原点射入第一象限，过点的速度方向与方向夹角为。不计粒子重力，求： (1)第三象限电场强度的大小和方向； (2)粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积S； (3)若，粒子在第二象限运动过程中的最大速度（结果用含的式子表示）。 【答案】(1)，与轴的夹角为 (2) (3) 【详解】（1）粒子在第三象限匀强电场中做类斜抛运动，粒子在方向的位移为零，方向的平均速度也为零，设末速度为，有 粒子类斜抛的末速度与初速度垂直，画出速度矢量三角形（如图1）。 分析可知，的方向与轴的夹角为，电场力的方向与的方向相同，故的方向与轴的夹角为，与轴的夹角为。且有 设粒子在电场中运动的时间为，在方向做匀速直线运动的位移为，在电场力方向类自由落体运动的位移也为，加速度为，有 则有 根据牛顿第二定律有 解得 （2）由于洛伦兹力不做功，粒子在第一象限做匀速率曲线运动，由磁场特点（相同的各点磁感应强度相同）可知，粒子的轨迹为上下对称的曲线，如图2所示。 对粒子在方向应用动量定理，有 可得 故粒子在第一象限的轨迹与坐标轴围成的面积为 （3）粒子以速度射入第二象限，在叠加场中做曲线运动，轨迹为旋轮线。（配速法）将进入第二象限的初速度分解为和，粒子以做匀速直线运动，以做匀速圆周运动，如图3所示。 有 解得 由于 当两个分运动的速度方向相同时，粒子的合速度最大，为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$