2.2 基本不等式 课后练习-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

课后训—基本不等式- 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 【题组一 基础类型】 （不等式链） 1．（25云南昭通高一下期末）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B． C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, ，则，故，当且仅当时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C, ，当且仅当，即时取等号，故C错误， 对于D, ，由于不可能成立，故等号取不到，故，D正确， 故选：ABD （标准双勾） 2．（25广西高一下期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. （常数“1”的替换） （乘整体）3．（25天津高二下期末）若函数，过点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将点代入函数，得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为函数，过点，得， 则， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. （整体代入）4．（25辽宁盘锦高三下联考）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】因为正数、满足， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为． 故选：C. 【题组二 配凑法求最值】 （直接配凑常数或系数） 5．已知，的最大值为 ，此时x的值为 ； 【答案】； 【分析】由基本不等式可得； 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 6．（1）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将整理为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： （2）设实数满足，则函数的最大值是 【答案】/ 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. （二次商式） 7．（25浙江高一上期中）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】6， 【分析】将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】  当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 8．（24江苏高一上月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 令，则且，因为在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD． 【题组三 常数“1”的构造变形】 （式子和定无条件） 9．（24陕西咸阳高一上月考）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C （有和有积无常数） 10．（25河北沧州高二下期末）已知正实数m，n满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将等式转化为等式右边为常数的形式，然后根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】可以转化为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为. 故选：A． （复杂分式的构造） 11．（24北京丰台高一上期末）已知正数满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 /0.5 【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， ，故，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：， 12．（24广东惠州高一上月考）（多选）已知，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为3 【答案】AB 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，由于，再结合基本不等式分析判断，对于C，对平方后利用基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B正确； 对于C：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 故选：AB 【题组四 利用基本不等式解决恒成立、有解问题】 13．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】 ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 14．已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【题组五 实际应用】 15．（24重庆万州高一上月考）安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】(1)； (2)千克，最大利润是元． 【分析】（1）利用利润公式直接求解即可； （2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值． 【详解】（1）根据题意知 ， 整理得； （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—基本不等式- 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 【题组一 基础类型】 1．（25云南昭通高一下期末）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B． C．的最小值为 D． 2．（25广西高一下期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25天津高二下期末）若函数，过点，则的最小值为 . 4．（25辽宁盘锦高三下联考）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题组二 配凑法求最值】 5．已知，的最大值为 ，此时x的值为 ； 6．（1）已知函数，则的最小值为 ． （2）设实数满足，则函数的最大值是 7．（25浙江高一上期中）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 8．（24江苏高一上月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【题组三 常数“1”的构造变形】 9．（24陕西咸阳高一上月考）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 10．（25河北沧州高二下期末）已知正实数m，n满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 11．（24北京丰台高一上期末）已知正数满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 12．（24广东惠州高一上月考）（多选）已知，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为3 【题组四 利用基本不等式解决恒成立、有解问题】 13．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 14．已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是 【题组五 实际应用】 15．（24重庆万州高一上月考）某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$