第05讲 一次函数与二元一次方程（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（沪科版2024）

第05讲 一次函数与二元一次方程（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用图象法解一元一次方程 典型例题二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 典型例题三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 典型例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 典型例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集 典型例题六 图象法解二元一次方程组 典型例题七 两直线的交点与二元一次方程组的解 典型例题八 求直线围成的图形面积 典型例题九 一次函数与几何综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西新余·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）如果一次函数的图像与轴交于点，那么时，的取值范围是 ． 【典型例题一 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·福建·期中）若关于x的方程解为，则直线图象一定经过点（2， ）． 【例4】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 1．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 3．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，画出函数的图象，并根据图象，直接写出方程的解． 4．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在矩形中，，是的中点，点沿着折线（从点开始运动到点结束）运动，当点的运动路程为时，记． (1)直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在直角坐标系内画出的图象，并写出此函数的一条性质； (3)当时，结合函数图象直接写出的取值． 【典型例题二 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是，④，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【例3】（24-25八年级上·湖北·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程的解为 ． 【例4】（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是________； (2)求关于x的不等式的解集； (3)求的面积． 【典型例题三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）由于任何一元一次方程都可转化为 (k，b为常数，k≠0)的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的值为 时，求相应的 的值． （2）一元一次方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与 轴交点的 坐标值． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【典型例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【例2】（2025·广东肇庆·模拟预测）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【例4】 （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知点是一次函数的图象一点，若是该直线上另一点，且，则关于的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知一次函数的两个变量x与y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 0 … 则关于x的不等式的解集是 ． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）（1）解不等式组； （2）请从“形”和“数”两个角度解释一次函数与一元一次不等式之间的关系． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）【活动回顾】 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，一次函数（）的图象经过点，则不等式的解集是___________． （2）如图2，两条直线的交点坐标是，则不等式的解集是___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求的面积； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是___________． 【典型例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（2025·山东德州·模拟预测）已知一次函数与（m，n为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例3】（北京市延庆区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象得的解集为 ． 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点，则关于x的不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A． (1)若点A的横坐标为2，求k的值； (2)若关于x的不等式有且只有2个正整数解，求k的取值范围． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【典型例题六 图象法解二元一次方程组】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A． x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    4．（24-25八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【典型例题七 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，两直线，的交点坐标可以看作方程组（   ）的解． A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知一次函数与（是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解为 ． 【例4】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是 ． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）直线交x轴于点，与直线交于点． (1)求的解集； (2)求的值； (3)当x为何整数值时，分式的值是整数？ 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为． (2)在线段上确定一点，使，请画出点并直接写出点的坐标 ． 【典型例题八 求直线围成的图形面积】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知直线与直线，且．若两直线与轴围成的三角形面积为9，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 【例3】（24-25八年级上·山东·期末）一次函数的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为 ． 【例4】（24-25八年级上·北京·期中）如图在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线分别与y轴交于点，则的面积是 ． 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和，轴，轴．则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．与m有关 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知直线（为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为，则 ． 3．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)点的坐标是_____________，点的坐标是_____________； (2)求的面积； (3)直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的取值范围． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出：关于x的不等式组的解集是___________； (3)若点C坐标为， ①关于x的不等式的解集是___________； ②请求出的面积． 【典型例题九 一次函数与几何综合】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）如图，用一根长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝隙忽略不计），设，，则y与x之间的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线分别交轴、轴于、两点，在轴的负半轴上有一点，若将沿直线折叠得到，点在轴上，则点的坐标为 ． 【例3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第四象限，且横坐标是1，则下列判断正确的是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且的符号不能确定 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且，求点的坐标． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，已知点在正比例函数的图像上，过点A作轴交于点B． (1)求m的值； (2)判断______在函数图像上（填“是”或“否”）； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（河南省三门峡市2024-2025学年八年级上学期期末数学试题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知一次函数（a，b是常数且）中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为：，与关于原点对称，坐标系中有一点，当P点在两直线与之间时（不包含两直线），a的取值范围是（   ） A．所有实数 B． C． D． 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 ． 7．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝ ． 8．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 9．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线交直线于点，若的面积是，则的值为 ．    10．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点．当时，求的取值范围． 13．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 14．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 15．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与x轴和y轴分别相交于点C和点D． (1)求一次函数的解析式： (2)若点E在y轴上，满足，求点E的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一次函数与二元一次方程（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用图象法解一元一次方程 典型例题二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 典型例题三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 典型例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 典型例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集 典型例题六 图象法解二元一次方程组 典型例题七 两直线的交点与二元一次方程组的解 典型例题八 求直线围成的图形面积 典型例题九 一次函数与几何综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由一次函数的交点求二元一次方程组的解，由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点， ∴方程组的解为， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，掌握交点的含义是解题的关键． 根据题意，把代入得到交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：图象交点的横坐标为， ∴， ∴交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为： ． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西新余·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可知，当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知：点为函数和的交点， 根据函数图象可知，当时，， 故选：A 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）如果一次函数的图像与轴交于点，那么时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图像性质．先得到一次函数的增减性，再由的图像可确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图像与轴交于点，那么时， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【典型例题一 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程之间的关系，解题的关键是正确理解直线上的点与方程解的对应关系． 根据直线上的点与方程解的对应关系即可求解． 【详解】∵直线经过点， ∴时，， ∴方程的解为， 故选：． 【例2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 【例3】（23-24八年级上·福建·期中）若关于x的方程解为，则直线图象一定经过点（2， ）． 【答案】5 【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的关系，根据题意得到当时，，进而求解即可． 【详解】∵关于x的方程解为， ∴当时，， ∴直线图象一定经过点． 故答案为：5． 【例4】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ． 【答案】x＝-2 【分析】可变形为，一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：将变形为， 的解为一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标， 观察图象可知，的解为x＝-2， 即的解为x＝-2， 故答案为：x＝-2． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键． 3．（24-25八年级上·甘肃定西·阶段练习）已知函数，画出函数的图象，并根据图象，直接写出方程的解． 【答案】见解析， 【分析】本题考查画一次函数的图象，一次函数与一元一次方程，列表，描点，连线，画出一次函数的图象，利用图象法直接写出一元一次方程的解即可． 【详解】解：列表如下： 0 1 1 5 描点，连线如图： 由图可知：的解为：． 4．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在矩形中，，是的中点，点沿着折线（从点开始运动到点结束）运动，当点的运动路程为时，记． (1)直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在直角坐标系内画出的图象，并写出此函数的一条性质； (3)当时，结合函数图象直接写出的取值． 【答案】(1) (2)画图见解析，性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； (3)或 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，再分情况分别画出图形解答即可求解； （）根据（）所得函数解析式求出线段端点的坐标，进而由两点法画出函数图象即可； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，画一次函数图象，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， ∵是的中点， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上，； （2）解：在中，当时，；当时，； 在中，当时，； 画函数图象如下： 由图象可得，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）解：由函数图象可得，当时，或． 【典型例题二 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由直线过点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴关于的方程的解是， 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是，④，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数的图象与性质．根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确； 根据题意得：，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 由可得，故不等式的解集是，故③不正确； 当时，，则，故④正确； 故正确的有①④； 故选C． 【例3】（24-25八年级上·湖北·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点求方程的解，理解图示中两直线交点的含义是关键，根据图形中两直线的交点为，由得到，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴， ∵变形得，即， ∴方程的解为 故答案为： ． 【例4】（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线与轴交于点即可得出答案． 【详解】解：直线与轴交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：2024． 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即一次函数的图象轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点． (1)填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____． (2)对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有． (3)若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标； （2）根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明y随x的增大而增大； （3）联列函数和它的迭代函数，即可求出点P，故若点P的坐标为时，则有． 本题考查了一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得函数的迭代函数为， 即， 联列可得， 解得， ∴函数迭代点的坐标为； 故答案为：，； （2）证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，）， 即， ∵， ∴， ∴在函数中，y随x的增大而增大， ∵、是其迭代函数图象上两个不重合的点， ∴当时，总有； （3）解：．证明如下： 由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点P， 联列可得：， 解得：， 即点P坐标为， ∴若点P的坐标为时，则m，n的数量关系为． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是________； (2)求关于x的不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的的范围． （3）利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象，与轴交于点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：； （2）解：∵点的坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集是． （3）解：， ， ． 【典型例题三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）． 【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0， ∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可． 【详解】解：方程的解是， 函数与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键． 【例4】（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）由于任何一元一次方程都可转化为 (k，b为常数，k≠0)的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的值为 时，求相应的 的值． （2）一元一次方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与 轴交点的 坐标值． 【答案】 kx+b=0 0 自变量 x 横 【分析】（1）根据一次函数与x轴交点横坐标与一元一次方程的关系解答； （2）根据一次函数与x轴交点横坐标与一元一次方程的关系解答； 【详解】解：（1）由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0 (k，b为常数，k≠0)的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数y=kx+b(k≠0)的值为0时，求相应的自变量的值． 故答案为：kx+b=0，0，自变量； （2）一元一次方程kx+b=0的解，是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标值． 故答案为：x，横． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：, ∴一次函数为， 当时，，解得， ∴点， （2）依题意得：的解析式为， ∵点， ∴点，点， ∴， ， 若，，解得：， （3）当时； ，， 当，即，解得， 当时； ，， 当，即，解得， 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点，且与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答． （1）先直线的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线的解析式； （2）根据直线的解析式求得点B的坐标，根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标即可求得的面积． 【详解】（1）∵直线与y轴交于点A， 当时，， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过，， ∴， 解得 ∴直线的解析式为； （2）∵直线与x轴交于点B， 当时，， ∴， ∵直线与x交于点D， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 【典型例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（24-25八年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间，由此即可得出答案． 【详解】解：由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间， 即的解集为； 故选：D． 【例2】（2025·广东肇庆·模拟预测）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．由不等式的解是可得直线与x轴交点为且y随x增大而减小，进而求解． 【详解】解：∵不等式的解是， ∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 【例4】 （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 【详解】解：直线与直线分别交x轴于点、， ∵， ∴一个正数和一个负数的积为负数， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知点是一次函数的图象一点，若是该直线上另一点，且，则关于的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，在数轴上表示不等式的解集，先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出函数值为2时自变量的值即可得到的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：∵点是一次函数的图象一点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知一次函数的两个变量x与y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 0 … 则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的性质，能根据所给表格发现时及y随x的增大而减小是解题的关键． 根据所给表格得出当时，及y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由所给表格可知， 当时，及y随x的增大而减小， 所以的解集为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）（1）解不等式组； （2）请从“形”和“数”两个角度解释一次函数与一元一次不等式之间的关系． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，一次函数与不等式之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）根据一元一次不等式和一次函数之间的关系求解即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得 原不等式组的解集为． （2）从“形”的角度来说，一元一次不等式的解集是一次函数在轴上方的图象所对应的自变量的值； 从“数”的角度来说，一元一次不等式的解集是一次函数中，当函数值大于0时所对应的自变量的值． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）【活动回顾】 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，一次函数（）的图象经过点，则不等式的解集是___________． （2）如图2，两条直线的交点坐标是，则不等式的解集是___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求的面积； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是___________． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数和一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①首先求出，然后联立求出，当时求出，进而求解即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：两条直线的交点坐标是， 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是； （3）解：①将代入得， 解得 ∴ 联立方程组， 解得， ∴， 当时， 解得 ∴ ∴ ∴的面积； ②由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为． 【典型例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】（2025·山东德州·模拟预测）已知一次函数与（m，n为常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【详解】解：根据函数图象可知， 当时，， 即不等式的解集为， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查利用一次函数交点确定不等式的解集，结合图象求解是解题关键． 根据函数图象直接得出结果即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴当时，， 故选C． 【例3】（北京市延庆区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：∵中， ∴随的增大而增大， 在中， ∴随的增大而减小， ∵函数与的图象交于点 ∴关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，根据图象得的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，根据一次函数图象与x轴的交点，确定该函数图象位于x轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴根据函数图象可知：当时，，即， 故答案为： 1．（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点，则关于x的不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数、一元一次不等式和图象的关系，看懂题意、图形是解答的关键．可结合图形与函数的关系，从图中直接得出答案即可． 【详解】解：由图可得， 的解集为：， 的解集为：， 不等式组的解集为：； 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点A． (1)若点A的横坐标为2，求k的值； (2)若关于x的不等式有且只有2个正整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数图象的交点问题，数形结合是关键． （1）把点A的横坐标为2代入中，得A点坐标，把A点坐标代入中，即可求得k的值； （2）由（1）知，当时，求得；当时，可求得；结合图形，当k的值位于这两者之间时，保证关于x 的不等式有且只有2个正整数解． 【详解】（1）解：当时，， 则； 把A的坐标代入中，得，即； （2）解：由（1）知，当时，； 则； 把A的坐标代入中，得，即； 当时，，设此时交点为点 把点坐标代入中，得，即； 由图知，当时，关于x的不等式有且只有2个正整数解． 故k的取值范围为． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)x为任意实数 (2)1， (3)见解析 (4)①；②2；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数； （2）把分别代入解析式可得m，n的值； （3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可； （4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． 【典型例题六 图象法解二元一次方程组】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 【例2】（2025·广东广州·模拟预测）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象． 【详解】∵2x-3y=6， ∴y=x-2， ∴当x=0，y=-2；当y=0，x=3， ∴一次函数y=x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（3，0）， 即可得出选项D符合要求， 故选D． 【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可． 【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A， ∴点A坐标（－1，2）， ∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点， ∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）． ∴， 解得 故答案为或． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【详解】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象：    ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 4．（24-25八年级上·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． （2）找到直线在直线的上方时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； （2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 【点睛】本题考查利用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式．熟练掌握两条直线的交点坐标，即为二元一次方程组的解，是解题的关键． 【典型例题七 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，两直线，的交点坐标可以看作方程组（   ）的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、方程组的解为：，故错误，不符合题意； B、方程组的解为：，故错误，不符合题意； C、方程组的解为：，故错误，不符合题意； D、方程组的解为：，故正确，符合题意， 故选：D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（ 组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组． 【详解】解：设过点和的直线解析式为， 则， 解得， ∴过点和的直线解析式为； 设过点和的直线解析式为， 则， 解得， ∴过点和的直线解析式为， ∴所解的二元一次方程组为． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知一次函数与（是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点的横纵坐标即为两直线解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与（是常数）的图象的交点坐标是， ∴方程组，即方程组的解为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 利用正比例函数求得点坐标，然后确定方程的解． 【详解】解：设点坐标为， 将代入中， ∴， ∴， 即点坐标为， ∴由图象可得关于的方程的解是， 故答案为：． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，直线交轴、轴于两点，直线交轴、轴于两点，点是内部（不包括边界）的一点，则整数可能是（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，由于P的纵坐标为1，故点P在直线y=1上，要求符合题意的m值，则P点为直线与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得． 【详解】解：∵点是内部（包括边上）的一点， 故点P在直线上，如图所示， 当P为直线与直线的交点时，m取最大值， 当P为直线与直线的交点时，m取最小值， 由解得，即m的最大值为2； 由解得，即m的最小值为． ∴只有0符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次函数的交点与二元一次方程组的解，把代入可得出，进而即可得出关于x，y的方程组的解． 【详解】解：把代入， ∴， ∴点， ∵一次函数与的图象交于点 ∴关于x，y的方程组的解为：， 故答案为： 3．（24-25八年级上·全国·期中）直线交x轴于点，与直线交于点． (1)求的解集； (2)求的值； (3)当x为何整数值时，分式的值是整数？ 【答案】(1) (2)48 (3)或或或或或 【分析】本题考查了一次函数与不等式和方程组的关系，第（3）题首先要正确化简分式，然后要保证分式的值为整数，则根据分母应是分子的约数，进行分析． （1）将代入求出b值，解不等式即可； （2）将与联立，求出交点，将m，n代入即可求解； （3）先将原式化为，要使它的值为整数，则应是4的约数，据此解答即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， 解不等式得：， 故的解集为； （2）解：解方程组， 解得：， ∴点的坐标为点， ∴ ，， ∴ ． （3）解：由（1）知， 原式 ， 要使它的值为整数，则应是4的约数， ∴或或， ∴或或或或或． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为． (2)在线段上确定一点，使，请画出点并直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作位似图形，相似三角形的性质与判定，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1），根据对应点到位似中心的比等于位似比直接作图即可得到答案； （2）根据，连接点， 交于点，则点即为所求，然后根据两直线解析式求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别是，，，以点O为位似中心，与的相似比为，且在轴左侧， ∴，，， ∴如图所示， （2）解：如图，连接点， 交于点，则点即为所求； 设过的直线解析式为 ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴ 联立 解得： ∴ 故答案为：． 【典型例题八 求直线围成的图形面积】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知直线与直线，且．若两直线与轴围成的三角形面积为9，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】联立两直线解析式可求得两直线交点的横坐标为，再求出两直线与轴的交点坐标，算出两交点间的距离为，以此可得，以此计算即可求解． 【详解】解：联立两直线解析式得：， 解得两直线交点的横坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 两交点的距离为， 两直线与轴围成的三角形面积为9， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、直线与坐标轴围成图形的面积，联立两直线解析式得到两直线交点的横坐标为是解题关键． 【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】先求得直线与轴的交点坐标，再联立解方程组求得点P的坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：令，，； ∴， 解方程组，得， ∴， ∴的面积是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，求得点P的坐标是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·山东·期末）一次函数的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，直线围成的三角形面积等知识；先求出直线与两坐标轴的交点，再设，由得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：对于，令，则；令，得； ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴或； 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级上·北京·期中）如图在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线分别与y轴交于点，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象的交点，一次函数与几何综合，熟练掌握知识点是解题的关键．先分别求出点B、C的坐标，再求出交点坐标，即可求面积． 【详解】解：当时，，则；当时，，则； ∴， 联立，解得， ∴的面积是， 故答案为：3． 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和，轴，轴．则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．与m有关 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质；根据题意求得点、的纵坐标，据此可以求得、的长度，然后由直角三角形的面积公式求得的面积． 【详解】解：∵点，都是直线（为常数）上的点，已知，点的横坐标分别为和， ∴； 又轴，轴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知直线（为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，数字规律探索，解题的关键是找出三角形的面积规律．根据题意先求出，然后再代入求值即可． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)点的坐标是_____________，点的坐标是_____________； (2)求的面积； (3)直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】此题考查了一次函数一次函数图像上点的坐标特征，一次函数和几何综合，两条直线的交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入即可求出；然后联立两条直线即可求出； （2）首先求出，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）首先求出直线与y轴的交点坐标为，然后根据图象结合求解即可． 【详解】（1）∵直线与轴交于点， ∴当时， 解得 ∴； ∵直线与直线相交于点 ∴联立直线和直线得， ，解得 ∴； （2）∵直线与轴交于点， ∴当时， 解得 ∴ 如图所示， ∴， ∴的面积； （3）∵直线 ∴当时， ∴直线与y轴的交点坐标为， ∵直线与直线、直线分别交于点、点， ∴当时，点D在点E左边，且都在y轴左边，在点A右边 ∴的取值范围． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出：关于x的不等式组的解集是___________； (3)若点C坐标为， ①关于x的不等式的解集是___________； ②请求出的面积． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式（组）、三角形面积公式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察图象即可求解； （3）①观察图象即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：观察图象可得，当时，， 关于x的方程的解是； 观察图象可得，当时，， 关于x的不等式的解集是． 故答案为：；． （2）解：观察图象可得，当时，；当时，， 关于x的不等式组的解集为． 故答案为：． （3）解：①观察图象可得，当时，的图象在的图象上方，则有， 关于x的不等式的解集是． 故答案为：； ②， ， 的面积为． 【典型例题九 一次函数与几何综合】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，过线段上一点作轴，交直线于点，连接，若的面积为3，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，从而得到，然后根据的面积为3，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵轴，交直线于点， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵的面积为3， ∴，即， 解得：， ∴点的坐标为． 故选：C 【例2】（2025·福建泉州·模拟预测）如图，用一根长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝隙忽略不计），设，，则y与x之间的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】C 【分析】本题考查一次函数，矩形的周长，二元一次方程，掌握矩形周长的求法是解题的关键． 根据矩形的周长是长宽之和的2倍，即可列出二元一次方程，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， 即，为一次函数． 故选C． 【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线分别交轴、轴于、两点，在轴的负半轴上有一点，若将沿直线折叠得到，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质、勾股定理；先求得点、的坐标，进而求得，由题意得：，故点，设点的坐标为：，根据，即可得到的值． 【详解】解：直线分别交轴、轴于、两点， ，，则 ， 由题意得：， ， 故点， 设点的坐标为：， ， 解得：， 故点． 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）把，代入求得k的值，结合图象即可求得． 【详解】解：（1）由题意可知点，代入得，， ； 故答案为：； （2）由题意可知，， 把代入得， ，解得； 把代入得， ，解得； 由图象知与矩形的边有两个公共点， 或． 故答案为：或． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与正比例函数的图象的交点在第四象限，且横坐标是1，则下列判断正确的是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数交点问题． 由两函数交点横坐标为1且在第四象限，可得交点坐标为，且．联立方程可得，结合代数恒等式推导出，从而确定正确选项． 【详解】解：∵两函数交点横坐标是1， ∴一次函数交点纵坐标，正比例函数交点纵坐标 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴． 由交点处函数值相等，得： ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为 ． 【答案】、或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标． 【详解】解：一次函数， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当点在点上方时，此时， 点的坐标为； 当点在点的下方时，此时， 点的坐标为； 当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为； 由上可得，点的坐标为、或， 故答案为：、或． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式； （2）设，根据三角形面积列方程求x的值，从而确定坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 代入点，点得，解得， 直线的解析式为 （2）解：设， ， ， ， 解得：， 当时，， 点的坐标为 当时， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，已知点在正比例函数的图像上，过点A作轴交于点B． (1)求m的值； (2)判断______在函数图像上（填“是”或“否”）； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)是 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，三角形的面积． （1）把点代入正比例函数解析式即可求出m的值； （2）将代入得，再将代入得，即可得出结论； （3）先根据已知求出，再设点，则，，进而得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 将代入得，， ∵， ∴是在函数图像上， 即是在函数图像上， 故答案为：是； （3）解：∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， 假设在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的，设点，则， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或， 即在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的，点P的坐标为或． 1．（河南省三门峡市2024-2025学年八年级上学期期末数学试题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．解求出，得出点的坐标为，然后判断即可． 【详解】解：联立方程组：， 解得： ∴点的坐标为． ∵且， ∴点位于第四象限． 故选D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知一次函数（a，b是常数且）中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：当时，； ∴方程的解是， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．由一次函数的图象经过，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：A． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为：，与关于原点对称，坐标系中有一点，当P点在两直线与之间时（不包含两直线），a的取值范围是（   ） A．所有实数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据对称性，求出的解析式，求出时，两个函数的函数值，根据P点在两直线与之间，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵直线的关系式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点为， ∵与关于原点对称， ∴两条直线平行，且与轴的交点为， ∴直线的解析式为：， 当时，两个函数的函数值为：，； ∵P点在两直线与之间（不包含两直线）， ∴， 解得：； 故选B． 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程(组)与一次函数的关系．一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解． 【详解】解：函数和的图象交于点， 二元一次方程组的解是 故答案为∶． 7．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝ ． 【答案】5 【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解． 【详解】解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2， 解得x＝5， ∴P点的横坐标为5， ∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P， ∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了根据一次函数图像解二元一次方程组，数形结合是解题的关键． 8．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据表格可知，随着的增大而减小，且时，，进而得到当时，，即可． 【详解】解：根据表格可知，随着的增大而减小，且时，， ∴当时，， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线交直线于点，若的面积是，则的值为 ．    【答案】 【分析】首先根据题意求出A点坐标，然后利用的面积列方程求出点B的纵坐标，然后代入求出点B的横坐标，然后将代入求解即可． 【详解】∵直线与轴交于点， 当时，，解得， ∴ ∴ ∵的面积是， ∴，即 解得 ∴将代入得， 解得 ∴ ∴将代入得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程，会解方程是解题关键． 10．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上，顺次取点，，，，，，构成的形如“”的图形的阴影部分面积分别为，，；则 ．（用含的式子表示，要化简）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据、、、的表达式的规律，相加后进行化简计算即可，根据点的坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵； ； ； ； ； ∴ ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：如图所示：   两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：   两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了利用函数图象求不等式的解集，画出函数图象，根据图象的位置即可得到答案． 【详解】解：直线与直线交于点．如图所示， ∴当时，x的取值范围为． 13．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点和，过两点作直线，根据图象，求出直线位于轴下面的部分的的取值范围． 【详解】（1）解：把点和代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式是：； （2）解：函数图象如图所示： 根据图象可得：当时，． 14．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 15．（24-25八年级上·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，与x轴和y轴分别相交于点C和点D． (1)求一次函数的解析式： (2)若点E在y轴上，满足，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）将代入计算即可； （2）先求出，设，根据列方程计算即可． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点 ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由（1）得当时，；当时， ． 点在轴上， ∴设，则， ， ，即，解得或， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $$