专题02相似三角形的判定与性质（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题02 相似三角形的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据两角相等判定相似 1 题型二、根据三边对应成比例判定相似 2 题型三、根据两边对应成比例且夹角相等判定相似 3 题型四、选择或补充条件使两个三角形相似问题 3 题型五、利用相似三角形的性质求解（常考点） 4 题型六、利用相似三角形的性质与判定进行证明 5 题型七、利用相似三角形的判定与性质解决实际问题（难点） 6 题型八、相似三角形中的动点问题（难点） 8 题型九、相似三角形的综合问题（重点） 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据两角相等判定相似 1．在中，，，平分 ，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 4．如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 5．如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 题型二、根据三边对应成比例判定相似 6．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 7．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 题型三、根据两边对应成比例且夹角相等判定相似 9．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 10．如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：． 11．如图，在和中，已知，．求证：． 题型四、选择或补充条件使两个三角形相似问题 12．如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，下列选项中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 15．如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件： ．（只填写一个） 题型五、利用相似三角形的性质求解（常考点） 16．若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（    ） A． B． C． D． 17．两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（   ） A． B． C． D． 18．如图，若，且，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 19．如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 20．如图，已知，若，则的长为 ． 21．如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 22．如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 23．如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 题型六、利用相似三角形的性质与判定进行证明 24．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 25．如图，在中，，于点，设，，，. 求证：（1）. （2）. （3）以，，为边的三角形是直角三角形. 26．已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线． (1)求证：； (2)求的值． 题型七、利用相似三角形的判定与性质解决实际问题（难点） 27．如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 28．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 29．学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． (1)求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 30．近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 题型八、相似三角形中的动点问题（难点） 31．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长．    32．在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：． ②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2） 如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 33．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 题型九、相似三角形的综合问题（重点） 34．如图，已知点、分别在的边、上． （1）如果，且，求的周长； （2）如果，过点作，交于点且，，． 求的值． 35．如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    36．（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 1．已知，顶点A、B、C分别与、、对应，，，的平分线的长为6，求的平分线的长．    3．已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D， CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE． （1）求证：△EOD∽△BOC； （2）若S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值． 4．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 5．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知点在直线上，此直线与x轴交于点B，直线轴，垂足为点D，作垂直于，垂足为点C，直线与相交于点P． (1)求点B坐标． (2)求点P坐标． (3)联结，得，若直线上存在点M，使与相似，求点M坐标． 7．如图所示，梯形中，∥，，，，，点是边上的动点，点是射线上一点，射线和射线交于点，且． （1）求线段的长； （2）如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）如果点在边上（不与点、重合），设,,，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 8．（2025·上海·模拟预测）在中，，，，点是斜边上一点，点是边上一点，过点的直线与斜边平行，交边于点，连接． (1)如图1，连接、． ①若平分，求证：； ②若，设，用含的代数式表示四边形的面积； (2) 如图2，连接，若，且，求的值． 9．如图，在中，．，．点E为射线上一动点（不与点C重合），联结，交边于点F，的平分线交于点G．    (1)当时，求的值； (2)设，，当时，求y与x之间的函数关系式； (3)当时，联结，若为直角三角形，求的长． 10．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 11．（2025·上海宝山·二模）【问题】如图，在中，，，，D是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由平行x轴，可得， ，，， 同理可得，，于是点D坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，连接，点M、N分别在线段、上，，连接，求的长．   1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据两角相等判定相似 1 题型二、根据三边对应成比例判定相似 4 题型三、根据两边对应成比例且夹角相等判定相似 6 题型四、选择或补充条件使两个三角形相似问题 7 题型五、利用相似三角形的性质求解（常考点） 9 题型六、利用相似三角形的性质与判定进行证明 13 题型七、利用相似三角形的判定与性质解决实际问题（难点） 15 题型八、相似三角形中的动点问题（难点） 19 题型九、相似三角形的综合问题（重点） 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据两角相等判定相似 1．在中，，，平分 ，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 2．如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 3．如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 4．如图，在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】解：如图所示：点即为所求． 5．如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型二、根据三边对应成比例判定相似 6．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【解析】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 7．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【解析】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【解析】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 题型三、根据两边对应成比例且夹角相等判定相似 9．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：，， ， ， ， ． 10．如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 11．如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：， ， 即， ， ， ． 题型四、选择或补充条件使两个三角形相似问题 12．如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，即， 选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证． 选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定． 故选：D． 13．如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在和中， A. 若，则有，又由，由两组对应边成比例，且夹角对应相等的两三角形相似，故不符合题意； B. ∵， ∴， ∵ ∴，故选项符合题意； C. ，，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； D. ，又由，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； 故选：B． 14．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【解析】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 15．如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件： ．（只填写一个） 【答案】（或或） 【解析】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 题型五、利用相似三角形的性质求解（常考点） 16．若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为． 故选：C． 17．两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两三角形周长的比是， 故选：A． 18．如图，若，且，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，且， ∴， 故选：B． 19．如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 【答案】60 【解析】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 20．如图，已知，若，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 21．如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 【答案】2 【解析】解：∵分别为的中点， ∴分别为，的中线， ∵， ∴， 即，解得：， ∴的长为2． 22．如图，，相交于点，． (1)若，，求的度数； (2)若；的周长为，求的周长 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴的周长: 的周长 ∵的周长为， ∴的周长为 23．如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； （2）解：如图：过点D作， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∵， ∴． 题型六、利用相似三角形的性质与判定进行证明 24．已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 25．如图，在中，，于点，设，，，. 求证：（1）. （2）. （3）以，，为边的三角形是直角三角形. 【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】证明：(1)在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则△ACB∽△ADC∽△CDB， ,即， ∵====1， ∴； (2)∵CD⊥AB,∠ACB=90∘， ∴S△ABC=ab=ch， ∴ab=ch， ∵∠ACB=90°， ∴a2+b2=c2， ∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2， ∵a、b、c、h都是正数， ∴(a+b)2<(c+h)2， ∴a+b<c+h； (3)∵(c+h)2=c2+2ch+h2； h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a2+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面积公式推导)， ∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2， ∴(c+h)2=h2+(a+b)2， ∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形． 26．已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：如图，是的角平分线，是的角平分线， 则是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解： ，且， ， ， ． 题型七、利用相似三角形的判定与性质解决实际问题（难点） 27．如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 【答案】小明的身高是米 【解析】解：过点C作交于点M，过点E作交于点N， 设小明的身高为米，米，则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， ， 解得， 则，解得： 经检验，是所列分式方程组的解， 答：小明的身高是米． 28．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【解析】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 29．学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． (1)求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 【答案】(1)（米） (2)0.5米 【解析】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：    则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：过点作于点交于点，如图所示：      设米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 30．近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【解析】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 题型八、相似三角形中的动点问题（难点） 31．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q． （1）如果BP＝3，求CF的长； （2）当△AFQ是等腰三角形时，求BP的长．    【答案】（1）5；（2）或5 【解析】解：（1）证明：∵ ∴ ∵是的外角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵，∠APF＝∠B， ∴可设 ∵AQ//BC ∴ 设 ∵ ∴ ∵△AFQ是等腰三角形，则有 ①若时，则 ∴ ∴内角满足 在中， ∴ ∵点P与点C不重合 ∴此情况不存在，舍去； ②若时，则 ∴ 同理可得， ∴； ③若时，则 ∴是等腰直角三角形， ∴在的垂直平分线上， 过点作于点，过点作于点，    则由三线合一的性质得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上，或5 32．在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：． ②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1) ①证明见解析；②AE的值是1或 2或； (3)存在，D在BC的延长线上，且CD= 2 【解析】解(1) ①∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°。AB=AC, ∴∠B=∠C=45° ∵∠ADE=45°, ∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2, 即45°+∠1=45°+∠2． ∴∠1=∠2． ②解:当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况: 第一种情况: DE=AE, ∵DE=AE, ∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C, ∴∠AED=90°，∠ADC=90° , 即DE⊥．AC． ∴AD= DC． ∴E为AC的中点， ∴ 第二种情况: AD=AE，此时D和B重合，E和C重合, 即AE=AC=2; 第三种情况: AD=DE, 在△ABD和△DCE中． ∴  , ∴BD=CE，AB=DC, 设BD=CE=x, 在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2, ∴BC= ． ∴DC=-x． ∴-x=2, ∴x=-2, ∴AE= 综合上述: AE的值是1或 2或 (3)解:存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ , ∴ ， 故存在点，使是等腰三角形，此时D在BC的延长线上，且CD= 2 33．已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【解析】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 题型九、相似三角形的综合问题（重点） 34．如图，已知点、分别在的边、上． （1）如果，且，求的周长； （2）如果，过点作，交于点且，，． 求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）∵， ∴ ∵的周长， ∴； （2）如图示，过点作，交于点 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 35．如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t． （1）线段AN的取值范围是　 　； （2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长； （3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．    【答案】（1）O＜AN＜25；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②． 【解析】解：（1）∵AC＝OC+AO＝10， 点M运动的速度为2单位长度/秒， ∴t＝＝5，∵5×5＝25， ∴0＜AN＜25． 故答案为0＜AN＜25． （2）如图1中，当0＜t＜2时， ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，    ∵NH∥BO， ∴， ∴AH＝3K，OH＝6﹣3k，OM＝4﹣2k，MH＝10﹣5k， ∵PO∥NH， ∴＝＝ ②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°， △MNA∽△BOA， ∴， ∴＝， ∴k＝， ∴CM＝． （3）如图2中，当2＜t＜5时，    ①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k， 则OH＝3k﹣6，OM＝2k﹣4， ∴MH＝5k﹣10， ∵PO∥NH， ∴＝＝． ②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10． ∵PO∥HN， ∴， ∴PO＝， 若BP＝BN，则8﹣＝5k﹣10， ∴k＝， ∴CM＝， 若PB＝PN或BN＝NP， ∵∠PBN＞90°， ∴不成立， ∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为． 36．（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 【答案】（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB， ∴CF=BD， 故答案为：CF=BD，CF⊥BD； （2）BD=CF成立． 理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ， 由（1）得AC=AB，AF=AD， 在△ABD和△ACF中， ∵ ∴△ABD≌△ACF， ∴BD=CF； （3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M． ∵四边形ADEF是正方形， ∴∠MDA=45°， ∵∠MAD=45° ∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°， ∴AM=DM， ∵AD=， 在△MAD中，AM2+DM2=AD2， ∴AM=DM=3， ∴MB=AM-AB=3-2=1， 在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2， ∴ 在Rt△ADF中，AD=， ∴， 由（2）得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN=∠ADN， ∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠ADN=90° ∴∠HFN+∠HNF=90° ∴∠NHF=90°， ∴∠DHF=∠DMB=90°， ∵∠BDM=∠FDH， ∴△BDM∽△FDH， ∴， ∴． 1．已知，顶点A、B、C分别与、、对应，，，的平分线的长为6，求的平分线的长．    【答案】8 【解析】解：，、分别是、的平分线， 即， 即的平分线的长为8． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 3．已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D， CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE． （1）求证：△EOD∽△BOC； （2）若S△EOD＝16，S△BOC＝36，求的值． 【答案】（1）见解析． （2） 【解析】解：（1）证明：在△BOE与△DOC中 ∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD ∴△BOE∽△COD ∴ 即 又∵∠EOD＝∠BOC ∴△EOD∽△BOC (2) ∵△EOD∽△BOC ∴ ∵S△EOD＝16，S△BOC＝36 ∴ 在△ODC与△EAC中 ∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE ∴△ODC∽△AEC ∴ 即 ∴ 4．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 5．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知点在直线上，此直线与x轴交于点B，直线轴，垂足为点D，作垂直于，垂足为点C，直线与相交于点P． (1)求点B坐标． (2)求点P坐标． (3)联结，得，若直线上存在点M，使与相似，求点M坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）解：∵点在直线上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， 即点B坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵垂直于， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点P的坐标为，，点B坐标为，轴， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，此时，如图， ∴， ∴，解得：， ∴， 即点M的坐标为； 当时，此时，如图， ∴， ∴，解得：， ∴， 即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； 7．如图所示，梯形中，∥，，，，，点是边上的动点，点是射线上一点，射线和射线交于点，且． （1）求线段的长； （2）如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）如果点在边上（不与点、重合），设,,，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 【答案】（1）7；（2）15或；（3）（）． 【解析】（1）过点作，垂足为点． 在Rt中，，，， ∴． 又∵， ∴； （2）∵，又， ∴∽． 由是以为腰的等腰三角形，可得是以为腰的等腰三角形． ① 若，∵，∴； ② 若，过点作，垂足为， ∴． 在Rt中，，； 在Rt中，，， ∴； 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为15或； （3）在Rt中，，． ∵∽， ∴， ∴， ∴． ∵∥， ∴，， ∴，x的取值范围为． 8．（2025·上海·模拟预测）在中，，，，点是斜边上一点，点是边上一点，过点的直线与斜边平行，交边于点，连接． (1)如图1，连接、． ①若平分，求证：； ②若，设，用含的代数式表示四边形的面积； (2)如图2，连接，若，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【解析】（1）①证明：如图，设与交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； ②解：， ， ，即， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，作于点，设与交于点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 设，则 由（2）得，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， ， ， ． 9．如图，在中，．，．点E为射线上一动点（不与点C重合），联结，交边于点F，的平分线交于点G．    (1)当时，求的值； (2)设，，当时，求y与x之间的函数关系式； (3)当时，联结，若为直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)BG＝ 【解析】（1）过点C作于H，      ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）延长交射线于点K，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）由题意，得：， ①当时， ∵ ∴， ∵， ∴,即 ∴． ②当时，则， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 过点G作于N，    ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 10．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 11．（2025·上海宝山·二模）【问题】如图，在中，，，，D是边上的点，连接，，求的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由平行x轴，可得， ，，， 同理可得，，于是点D坐标是， ． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图，在中，，，，点D、E分别在边、上，，，连接，点M、N分别在线段、上，，连接，求的长．   【答案】 【解析】解：如图，以C为原点，、所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，过点M作轴，轴于点Q，如图所示： ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴点N坐标是， 同理可得，点M坐标是， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$