专题05 有理数的10种规律探究问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题05 有理数的10种规律探究问题 目录 1 类型一、数字类规律探究 1 类型二、四则运算中的规律探究 4 类型三、乘方中的规律探究 8 类型四、数轴中的规律探究 13 类型五、周期中的规律探究 17 类型六、个位数字规律探究 21 类型七、递进中规律探究 23 类型八、表格中的规律探究 28 类型九、图形中的规律探究 32 类型十、新定义中的规律探究 39 44 类型一、数字类规律探究 1．（22-23七年级下·湖北荆州·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，…，则第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可． 【详解】解：，，，，，…，可写出： ，，，，，…， ∴第10个数为， 故选：C． 【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）数学老师根据圆圈中的三个数字按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（   ） A．355155 B．323550 C．357315 D．351550 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与数字之间的关系是解题的关键．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1，2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第个数字为下面的两个数的积； 第个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ， 所以密码是351550， 故选：D． 3．（23-24七年级上·安徽池州·期末）观察下图的运算过程并找出规律： ，则的值为（    ） A．8 B． C． D．26 【答案】B 【分析】本题考查数字规律问题．根据题意找出规律即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意可知： ∵，，， ∴列式为：， 故选：B． 4．（22-23七年级上·安徽六安·期末）观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为，记第二个数为，…，记第n个数为.通过计算，，，…发现它们有一定的规律，由此规律推算的值应为（    ） A．5152 B．5051 C．4951 D．4852 【答案】D 【分析】利用差值分别求出数值，得出，再根据所有式子相加即可得出答案． 【详解】根据题意，得 （1） （2） （3） （4） （5） …… （99） （1）+（2）+…+（99）= 即 故选：D 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解题的关键． 5．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）将正整数按下表排成 5 列，根据下面排列规律， 2004应在（   ） 第 一 列 第 二 列 第  三 列 第  四 列 第  五 列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 … … … 28 26 A．第 250行，第 2 列 B．第 251行，第 1 列 C．第 250行，第 3 列 D．第 251行，第 3 列 【答案】D 【分析】根据题意得到每一行是4个偶数，奇数行从小到大排列，从第二列开始到第五列结束，有四个数；偶数行从大到小排列，从第一列开始到第四列结束，有四个数；从而可以得到偶数2004应在第几列． 【详解】解：由已知， 奇数行从小到大排列，从第二列开始到第五列结束，有四个数， 偶数行从大到小排列，从第一列开始到第四列结束，有四个数； ∵，， ∴2004是第1002个偶数，在第251行， ∴2004在第251行第3列， 故选：D． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现表格中数字的变化特点，求出偶数2004应在第几列． 类型二、四则运算中的规律探究 6．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）[新定义题]符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，… （2），，，… 利用以上规律计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求代数式的值，有理数的运算，根据已知条件推出和的值，即可求解．解题的关键在于理解新定义． 【详解】解：∵，，，…， ，，，… ∴， ∴， ∴等于． 故选：A． 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）用你发现的规律解答下列问题：，，，探究（   ），用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，将，，，…，按照题目规律展开，最后中间全部抵消，剩首尾两项，计算可得； 【详解】解：原式 故选：B． 8．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）观察下列式子： ；； ； …… 根据上述规律， ． 【答案】/ 【分析】本题考查数字类规律探究，根据前几个等式的左右两边的式子的变化规律求解即可． 【详解】解：； ； ； …… 根据上述规律，， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，按此规律，依次下去． （1）请用含的式子表示第5个式子： ； （2）记，当时，的值为 ． 【答案】 /； 10000． 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的变化规律、求代数式的值，理解题意，得出规律是解此题的关键． （1）根据题目所给的式子以及规律进行计算即可得出答案； （2）由（1）可得：，表示出，代入，进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）由（1）可得：， ， 当时，， 故答案为：10000． 类型三、乘方中的规律探究 11．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，数字类的规律探究，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．从特殊出发，归纳得到一般规律：n个小时后细胞存活的个数是，再进一步解答即可完成． 【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，； …… n个小时后细胞存活的个数是， 当时，存活个数是． 故选：C． 12．（20-21七年级上·安徽亳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式； 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．901 B．900 C．961 D．625 【答案】B 【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可． 【详解】观察以下算式： 发现规律：， ∵2n-1=59 解得n=30， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律． 13．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 【答案】(1)等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给的3个算式，可得：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数； （2）根据所给的3个算式，可得：每个等式的左边是从1开始的连续几个正整数的立方和，右边等于这几个连续的正整数的和的平方，据此计算解答； （3）根据（2）的规律计算即可 【详解】（1）解：，右边幂的底数：， ，右边幂的底数： ，右边幂的底数： … ，右边幂的底数：， 等式左边各项幂的底数和右边幂的底数的关系为：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 （2）解：； （3）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是找规律，本题的规律为：左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． 14．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，且n为自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成n个连续奇数的和，如图： 即如下规律：，，，…… (1)按上述分裂要求，________； (2)按上述分裂要求，可以分裂成________个奇数的和，其中最大的奇数是________． (3)用上面的分列规律求：． 【答案】(1) (2)2023， (3) 【分析】本题考查整式的数字规律类探索问题， （1）找到平方数的初步分裂规律即可得到答案； （2）进一步分析平方数的分裂规律可以得到答案； （3）利用（2）得到的规律计算出，再把 中与相同的项减掉即可得到正确答案． 通过对几个特例的观察和归纳得出数字变化的一般规律是解题关键． 【详解】（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数， ∴； （2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1， ∴可分裂的最大奇数为， ∴可以分裂成2023个奇数的和，其中最大的奇数是； （3）由（2）得： =， ， ∴ ． 15．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，有理数乘方的应用； （1）观察可得，后一个数是前一个数字的倍解答即可； （2）观察可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，即可求解； （3）根据各行的第个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）第①行数的第个数是：， 故答案为； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是， 故答案为：，； （3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于， 令， ∴ 解得，， 即取每行的第个数，这三个数的和能等于． 类型四、数轴中的规律探究 16．（21-22七年级上·安徽滁州·阶段练习）一只青蛙从数轴上的原点开始做如下运动，第一次从原点向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到.第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．若按以上规律跳了2020次时，它落在数轴上的点所表示的数是（   ） A． B．1010 C． D．1009 【答案】B 【分析】由题意可得表示的数是，表示的数是1，表示的数是，表示的数是2，则可得表示的数是3，表示的数为4，即可求解． 【详解】解：由题意可得表示的数是，表示的数是1，表示的数是，表示的数是2， 则可得表示的数是3，表示的数为4， ∴点所表示的数是n, ∴跳了2020次时，它落在数轴上的点所表示的数是1010． 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，数轴的认识，找出其中的变化规律是解题的关键． 17．（22-23七年级上·安徽六安·期中）一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是 ，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是 （用含的代数式表示）． 【答案】 3 / 【分析】由题意可得表示的数，表示的数是1，表示的数，表示的数2，则可得表示的数3，点所表示的数是，即可求解． 【详解】解：由题意可得表示的数， 表示的数是， 表示的数， 表示的数， 表示的数 则可得表示的数， 点所表示的数是， 故点所表示的数是． 故答案为：3，． 【点睛】此题考查数字的变化规律，数轴的认识，找出其中的变化规律是解题的关键． 18．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）若机器人在数轴上某点第一步从向左跳1个单位到，第二步从向右跳2个单位到，第三步从向左跳3个单位到，第四步从向右跳4个单位到，按以上规律跳2018步，机器人落在数轴上的点，且所表示的数恰好是2019，则机器人的初始位置所表示的数是 ． 【答案】1010 【分析】由题意知每跳两次完毕向右进1个单位，按此规律跳了2018步后距出发地的距离是1009个单位，且在的右侧，根据所表示的数恰是2019，即可求得初始位置点所表示的数． 【详解】解：设机器人在数轴上表示a的点开始运动，A0表示a，A1表示a-1，第二步从向右跳2个单位到，A2表示a-1+2= a+1，第三步从向左跳3个单位到，A3表示a+1-3，第四步从向右跳4个单位到，A4表示a+1-3+4= a+2，由题意知每跳两次完毕向右进1个单位，而， 所以电子跳蚤跳2018步后A2018表示的数为a+1009， 又因为表示2019， ∴a+1009=2019， ∴a=1010， 所以表示1010． 故答案为：1010． 【点睛】本题考查了数轴、列代数式，简单一元一次方程，图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数+1的规律是解题的关键． 19．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）在数轴上，，两点对应的数分别为，，有一动点从点出发第一次向左运动个单位；然后在新位置做第二次运动，向右运动个单位；在此位置做第三次运动，向左运动个单位，……按照如此规律不断左右运动． （1）当作第次运动后，点对应的数为 ； （2）如果点在某次运动后到达某一位置，使点到点的距离是点到点的距离的倍，此时点的运动次数为 ． 【答案】 -1014 7次 【分析】（1）根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可； （2）设点P对应的有理数的值为x，分情况进行解答：点P在点A的左侧，点P在点A、B之间、点P在点B的右侧三种情况． 【详解】解：（1）由题意可得： -4-1+2-3+4-5+6-7+…+2020-2021， =-4+1010-2021， =-1014． 答：点P所对应的有理数的值为-1014； （2）点P会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的4倍， 设点P表示的为x， 当点P在点A的左边时，8-x=4（-4-x），得x=-8， 当点P在点A和点B之间时，8-x=4[x-（-4）]，解得，x=-（舍去）， 当点P在点B的右边时，x-8=4[x-（-4）]，解得，x=-8（舍去）， 故此时点P表示的有理数为-8． 所以点的运动次数为7次． 【点睛】本题考查数轴和解一元一次方程，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 20．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【答案】(1) (2)①5次后落点所对应的数轴上的数为2，第3次跳动后落在原点处；②108 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 类型五、周期中的规律探究 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有一个正六面体的骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动2025次后，骰子朝下一面的数字是（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了规律问题的探索，找到数字朝上一面数字的规律是解题的关键；由题意知，3与4相对，2与5相对，由图知，第4次滚动后骰子朝上一面的数字是3，因此每4次一个循环，而，即可求得骰子朝上一面的数字，从而得到骰子朝下一面的数字． 【详解】解：由题意知，3与4相对，2与5相对； 第1次滚动后骰子朝上一面的数字是5，第2次滚动后骰子朝上一面的数字是4，第3次滚动后骰子朝上一面的数字是2，第4次滚动后骰子朝上一面的数字是3，第5次滚动后骰子朝上一面的数字是5，……，因此每4次一个循环，骰子朝上一面的数字按5，4，2，3的顺序循环，而，则第205次滚动后，骰子朝上一面的数字为5，所以骰子朝下一面的数字是2； 故选：A． 22．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点A和D对应的数分别是1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动滚动，则数轴上A、B、C、D四个点中与数2023对应的点是 ． 【答案】C 【分析】由图可知正方形边长为1，顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转则点A落在1，点B落在2，点C落在3，点D落在4，可知其四次一循环，由此可确定出2023所对应的点． 【详解】解∶ 当正方形在转动第一周的过程中，点A落在1，点B落在2，点C落在3，点D落在4， ∴每翻转四次一循环， ∵， ∴2023所对应的点是C， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，图形类的规律探索，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 23．（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 【答案】D 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用24分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2024年为第24年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2024年的天干从0开始数，第4个是甲，2024年的地支与2000年的地支一样，都是数字是8 2024年对应的天干为甲，地支为辰， 故2024年为甲辰年， 故选：D． 24．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 25．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点A、C分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，．    ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点C表示的数是 ． 【答案】 三 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意． ①分别求出每次滚动后点A离原点的距离，然后再进行判断即可； ②根据滚动情况求出三角形结束滚动时，点C表示的数即可． 【详解】解：①第一次滚动后，点A表示的数为：， 第二次滚动后，点A表示的数为：， 第三次滚动后，点A表示的数为：， 第四次滚动后，点A表示的数为：， 第五次滚动后，点A表示的数为：， ∴第三次滚动后，点A离原点最远； 故答案为：三； ②第一次滚动后，点C表示的数为：， 第二次滚动后，点A表示的数为：， 第三次滚动后，点A表示的数为：， 第四次滚动后，点A表示的数为：， 第五次滚动后，点A表示的数为：． 故答案为：． 类型六、个位数字规律探究 26．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…利用你所发现的规律，得的末位数字（个位上的数字）是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据已知数据可得，末尾数字是依次循环，用除以，确定余数，即可求解． 【详解】解：根据已知数据可得，末尾数字是，且依次循环， ， 则的末位数字为4， 故选：B 【点睛】此题考查了数字类规律的探索，解题的关键是根据已知数据，正确的求得数字变化规律． 27．（2023·河南南阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 28．（20-21七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知一列数a1，a2，a3…an中，a1＝0，a2＝2a1+1，a3＝2a2+1，…，an+1＝2an+1，则a2021﹣a2020的个位数字是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，进行一定数量的计算，从中寻找数字的循环规律，确定计算结果． 【详解】解：由题意可得， …， ∴ …， 由上可得，从第二式子开始，个位数字依次以2，4，8，6循环出现， ∵（2021﹣2）÷4＝2019÷4＝504…3， ∴的个位数字是8， 故选：A． 【点睛】本题考查了数列中的数字规律，根据已知，先进行适当的计算，从中寻找规律是解题的关键． 29．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，个位数字以为周期按照的顺序进行循环， ， 故猜测的个位数字是． 故答案为：． 30．（22-23七年级上·安徽六安·期中）已知（2为结果的末位数字），（6为结果的末位数字），（2为结果的末位数字）…，则的值为（    ） A．6 B． C．4042 D． 【答案】D 【分析】先计算部分数的乘积，观察运算结果，发现规律，每运算5次后结果重复出现，求出的和，再求次运算重复的次数，即，说明重复次和的结果，求解即可． 【详解】 ， ∴每5次运算一循环， ， ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查新定义运算，读懂题目的含义与要求，掌握运算的方法，观察部分运算结果，从中找出规律，用规律解决问题是解题关键． 类型七、递进中规律探究 31．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在《综合与实践：平面图形的镶嵌》课堂上，老师让学生观察如图“蜂窝图”，第1个图案有4个正六边形，第2个图案有7个正六边形，第3个图案有10个正六边形，第4个图案有13个正六边形，……，按此规律第2025个图案中的“”的个数是（    ） A．6074个 B．6075个 C．6076个 D．6077个 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有个正方形是解题的关键．再把代入计算即可． 【详解】解：第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形，…， ∴第n个图案中有个正方形， ∴第2025个图案中正方形的个数为：， 故选：C． 32．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．故按照此规律第2024个图记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意结合所给图形，发现第1个，2个，3个，…，图形所记着的数，发现规律解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个图记为； 第2个图记为； 第3个图记为； 第4个图记为； …， 所以第个图记为（n为正整数）． 当，即时， 所以， 第2024个图记为． 故选：C． 33．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 34．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）观察下列图形规律，第10个图形中的“○”的个数和“·”个数差为（    ） A．33 B．25 C．85 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．首先根据时，“·•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“·•”的个数是；然后根据，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后计算出第10个图形中的“○”的个数和“·”个数，相减即可． 【详解】解：∵时，“·•”的个数是； 时，“·•”的个数是； 时，“·•”的个数是； 时，“·•”的个数是； ……； ∴第n个图形中“·•”的个数是； 又∵时，“○”的个数是； 时，“○”的个数是； 时，“○”的个数是； 时，“○•”的个数是； ……； ∴第n个图形中“○”的个数是； 第10个图形中的“○”的个数是， 第10个图形中的和“·”个数是， ， 第10个图形中的“○”的个数和“·”个数差为25， 故选：B． 35．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有5颗棋子，第2个图形中有8颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有14颗棋子，…，按照这种方式摆下去． (1)第5个图形中有______颗棋子，第6个图形中有______颗棋子； (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量； (3)第几个图形有6077颗棋子？请说明理由． 【答案】(1)17；20 (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为 (3)第2025个图形中有6077颗棋子 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值以及一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第5个图形中有颗棋子，第6个图形中有颗棋子，计算求解即可； （2）由题意知，第n个图形中棋子的数量为，计算求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图形中有颗棋子， 第3个图形中有颗棋子， 第4个图形中有颗棋子，…， 第5个图形中有颗棋子， 第6个图形中有颗棋子， 故答案为：17；20； （2）解：由（1）可知，第个图形中棋子的数量为， 用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为； （3）解：， 解得， 第2025个图形中有6077颗棋子． 类型八、表格中的规律探究 36．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，将，，，，，0，1，2，3，这九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，若，，分别表示其中一个数，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律探索，代数式求值，一元一次方程的应用．先根据所有数字之和确定每行、每列、每条对角线上的三个数之和，利用方程求出a，b，c的值，进而即可解答． 【详解】解：∵， 且每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于， ∴， ， ， ∴，，， ∴． 故选：D 37．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（    ） A．135 B．170 C．209 D．252 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律．观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给表格可知， ， ， ， ， 所以． 又因为左下方的数比左上方的数大1， 则 又因为， ， ， ， 所以． 故选：C． 38．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了日历中的数字规律，代数式求值，根据题意找到规律是解题关键． 【详解】解：月历横排相邻的两个数字相差1，竖排两个数字相差7， ， 整理得：， 当，时，，故A不符合题意； 当，时，，故B不符合题意； 当，时，，故C不符合题意； 当，时，，故D符合题意； 故选：D． 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应，数5与对应，数14与对应，根据这一规律探究． （1）有序数对对应的数为 ； （2）数2024对应的有序数对为 ． 【答案】 28 【分析】本题考查规律探究，找出规律是解决此题的关键． 根据题意得出第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依次增大，第一行偶数列的数字为列数的平方，即可求解． 【详解】解：根据数字排列可得：第一列奇数行的数字为行数的平方，且偶数行从左到右依次增大，第一行偶数列的数字为列数的平方． （1）根据规律可得：第五行第一个数字为，故第六行第一个数字为， 第六行第三个数字为， 有序数对对应的数为28， 故答案为：28； （2）， ∴45行第一个数字为2025， ∴所在的位置是第 45 行，此行从左到右依次减小， ∴2024在第 45 行第2列， 故数2024对应的有序数对为， 故答案为：． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【详解】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 类型九、图形中的规律探究 41．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，通过观察，小明同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：如第1个图中共有1个黑色小正方形，第2个图中共有个黑白小正方形，第3个图中共有个黑白小正方形．第4个图中共有个黑白小正方形，回答问题： (1)根据规律，第5个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (2)根据规律，第个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (3)根据（2）的等式，计算：． 【答案】(1) (2) (3)7500 【分析】本题考查了图形的变化规律、有理数混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律即可求出结论； （2）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律“第n个图形中有小正方形的个数即可求解； （3）利用（2）的规律即可求解． 【详解】（1）解：第1个图中，计算黑白小正方形的等式是：； 第2个图中，计算黑白小正方形的等式是：； 第3个图中，计算黑白小正方形的等式是：；     第4个图中，计算黑白小正方形的等式是：； 第5个图中，计算黑白小正方形的等式是： 故答案为： （2）解：由（1）得：； 故答案为： （3）解： 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙，⋯，按此规律排列． (1)第5个图形中一共有_______个⊙； (2)第100个图形中一共有_______个⊙； (3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示） 【答案】(1)16 (2)301 (3) 【分析】本题主要考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的从而得出数字规律． （1）观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多3个⊙，据此规律求解即可． （2）根根据（1）的规律求解即可； （3）根根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形中一共有个⊙， 第2个图形中一共有个⊙， 第3个图形中一共有个⊙， 第4个图形中一共有个⊙， 以此类推，第n个图形中一共有个⊙， ∴第5个图形中一共有个⊙， 故答案为：； （2）解：由（2）可得第100个图形中一共有个⊙， 故答案为：； （3）解：由（1）得第n个图形中一共有个⊙． 43．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察如图所示的图形，回答下列问题： (1)图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有______个点； (2)如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？ (3)某一层有77个点，你知道这是第几层吗？ (4)第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和是多少？ 【答案】(1)7 (2)第五层有9个点 (3)是第三十九层 (4)第一层与第二层之和是4，前三层之和是9，前四层之和是16，前十二层之和是144 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）由图形即可得出答案； （2）由题意得出规律：第层有个点，由此计算即可得解； （3）由（2）可得，第层有个点，令，计算即可得解； （4）分别计算出第一层与第二层的和，前三层的和、前四层的和，得出规律前层的和是，即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：第四层有个点； （2）解：∵第一层有个点， 第二层有个点， 第三层有个点， 第四层有个点， …， ∴第层有个点， ∴第五层有个点； （3）解：由（2）可得，第层有个点， 令， 解得：， ∴某一层有77个点，这是第层； （4）解：第一层与第二层的和是：， 前三层的和是：； 前四层的和是：； …， 故前层的和是：， ∴前十二层的和是：． 44．（2021·安徽合肥·一模）观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： ；；；； (1)规律观察：　　； (2)推算概括：用含n的式子表示出的值； (3)拓展应用：求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)5050 【分析】（1）根据所给的式子进行分析即可得出结果； （2）结合（1）进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ； 故答案为：15； （2）由（1）得： ； （3） ． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律，并灵活运用． 45．（22-23七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 【答案】（1）；（2）①，②；（3），图和过程见解析 【分析】（1）根据给定的计算方法，进行计算即可； （2）①根据已有点阵图，得到第个点阵图中点的个数为，再进行计算即可；②根据规律进行计算即可； （3）将一个面积为1的正方形分割为和两部分，再将正方形的分割为和两部分，，依次进行分割，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）由点阵图可知：个数时和为， 个数时和为， 个数时和为， ， 个数时和为． ∵中有个数， ∴． ∵中有个数， ∴． 故答案为：；； （3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为， 第次将正方形分割为和两部分， 第次将正方形的分割为和两部分， •••，以此类推， 第次分割后，剩余的面积为， 那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：， ∴． 【点睛】本题考查图形的规律探究，有理数的混合运算，数形结合思想．解题的关键是将代数问题转化为几何图形，利用数形结合的思想，进行简便运算． 类型十、新定义中的规律探究 46．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据差倒数的概念，分别求出、、，发现每三个数按、、循环，据此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察可知，每三个数按、、循环， ， ， 故选：C． 47．（21-22七年级上·安徽芜湖·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，取n＝24，则 若n＝13，则第2021次“F”运算的结果是（　　） A．1 B．4 C．2021 D．42021 【答案】B 【分析】根据新定义的运算方法多计算几次找规律即可． 【详解】解：当n＝13时， 则第1次“F”运算的结果是：3×13+1＝40， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：3×5+1＝16， 第4次“F”运算的结果是：＝1， 第5次“F”运算的结果是：3×4+1＝4， 第6次“F”运算的结果是：＝1， 第7次“F”运算的结果是：6×1+1＝4， ...， 观察以上结果，从第4次开始结果就只有1和4两个数循环出现，且当次数为奇数时结果为4，次数为偶数时结果为1， 而当2021次时是奇数次， ∴结果为4， 故选：B． 【点睛】本题是新定义运算的题型，考查规律型：数字的变化类，根据新定义运算找出数字的排列规律是解题的关键． 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下： ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 49．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)39 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． （1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 50．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可求出的值． （2）先根据题意可得和，的数均相同，代入数值到中，然后求和即可． （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ， ， ，…… (1)请写出第4个式子______． (2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第4个式子即可； （2）根据题意可得规律从1到n的连续的正整数的立方和等于n的平方乘以的平方的四分之一，据此可得答案； （3）根据（2）的规律结合所求式子等于，进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得，第4个式子为； （2）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， ……， 以此类推，第n个式子为， ∴ （3）解： ． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 【答案】（1）没有，（2）丁丑，（3）壬辰年 【分析】本题考查考查了规律型：数字的变化类，一元一次方程的应用，读懂题目介绍的干支纪年法是解题的关键． （1）根据干支纪年表即可得到答案； （2）由干支纪年表中的信息即可得到答案； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程，解方程，再根据干支纪年表中的信息，即可得到答案． 【详解】解：（1）如干支纪年表所示， 干支纪年中没有甲丑年，干支纪年的一个周期为年， 故答案为：没有，； （2）如干支纪年表所示，中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是丁丑年，在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第年， 故答案为：丁丑，； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程得， 解得：， 如干支纪年表所示年之前为壬辰年， 小红是壬辰年出生的． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，含乘方的有理数混合运算等知识点，根据题中所给算式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，进而可得出答案； （2）根据题中所给算式发现并总结出一般规律，即可得出答案； （3）先对每一项进行通分，然后对每一项的分子运用所得规律，再将每一项拆分成两项之积的形式，最后约分即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ； （3）解：根据已知算式： ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，，5，，9，，13，， 第二行：0，，4，，8，  ，12，， 第三行：2，，10，，18，，26，， (1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________； (2)取每行中第10个数，求三个数之和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)17，16，34 (2) (3)存在，13，见解析 【分析】（1）第一行的规律是，，，于是得到第n个数为，第二行的规律是，，，于是得到第n个数为；根据题意，得，，，于是得到第n个数为，解答即可． （2）根据题意，得第n个数是，，，，，于是得到第n个数为，解答即可． （3）根据前面的规律，列式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，有理数的加减混合，熟练掌握有理数的乘方的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为， 第二行的规律是，，，于是得到第n个数为； 根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为， 当时，，，， 故答案为：17，16，34． （2）解：当时，，，， 故． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 即， 当n为偶数时，， 解得，不符合题意； 当n为奇数时，， 解得，符合题意； 故存在，且n为13． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)5000 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）将，写成，再根据（2）得出的一般规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面． 按照这种规律： (1)第4个图形中需要黑色瓷砖______块； (2)第n个图形中需要黑色瓷砖______块（用含n的代数式表示）； (3)若第n个图形中有6076块黑色瓷砖，求n的值． 【答案】(1)13 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查的是图形几何变化规律．解答本题的关键是：能利用数形结合思想，根据图形找到其中变化的部分和不变的部分找出规律．观察题目中图形的的特点，找出黑砖数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． （1）根据前三个图形中黑色瓷砖的变化，找出第④个图形中需要黑色瓷砖的数量； （2）根据各图形中黑色瓷砖数量的变化，可找出变化规律； （3）由（2）的结论结合第n个图形中有6067块黑色瓷砖，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图形可知，第1个图形中需要黑色瓷砖4块， 第2个图形中需要黑色瓷砖块， 第3个图形中需要黑色瓷砖块， ∴第4个图形中需要黑色瓷砖块； （2）解：由（1）可知，第n个图形中需要黑色瓷砖为块； （3）解：根据题意得， 解得． 7．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知：一列数，，，，，则 可以用图表示，可以用图2表示，可以用图表示，，依此规律． 那么： (1)_____，_____； (2)_____， _____（用含有的式子表示）； (3)由（）的结论求，及的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（）根据规律即可求解； （）根据规律即可求解； （）根据（）得，，然后得，然后代入求值即可； 本题考查了图形和数字规律，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由，，， 则，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得：，， 故答案为：，； （3）解：由（）得，， 得：， ∴， 当时，， ∴． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】 教材第82页《数学拓展》栏目“归纳推理”内容大致如下： 用一些相同的小正方形，排成如下的一些大正方形图案，如图． （1）把每个图中一边上的小正方形个数和有阴影的小正方形的个数填入表中： 图号（n） 1 2 3 4 … k … 一边上小正方形个数（n） 1 2 3 ① … ② … 阴影小正方形个数（） 1 3 5 ③ … ④ … （2）第1个图中小正方形只有1个，且有阴影，记作． 把第1个图并入第2个图，这时第2个图中阴影小正方形数就是前面两个图中阴影小正方形数的和：．我们把这个和记作， 即． 把第1，2两个图中的阴影部分一起并入第3个图，这时第3个图中的阴影小正方形数就是前面三个图中阴影小正方形数的和，记作， 即． 如此操作，请仔细观察图后，归纳并猜想结果，并填空： ⑤______， …… ⑥______． 【类比研究】 （3）这种根据某类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，运用归纳推理我们可以得到： （ⅰ）平面内25条直线最多有⑦______个交点； （ⅱ）n条直线最多有⑧______个交点． 【迁移应用】 运用上面方法解答下面问题： （4）由1，3，5，7，9，11，13，……组成的三角形数阵如图所示，从第1到第20行第20个数的和是多少？ 【答案】（1）①4，②，③7，④；（2）；；（3）300，；（4） 【分析】本题考查了规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． （1）根据题意填写即可； （2）找出规律即可解答； （3）（ⅰ）根据分析找出规律即可解答； （ⅱ）根据（ⅰ）得出平面内n条直线最多有几个个交点的规律即可解答； （4）根据题意找出第n行有n个数，前n行的和为，求解即可； 【详解】解：（1）填写表格如图： 图号（n） 1 2 3 4 … k … 一边上小正方形个数（n） 1 2 3 ①4 … ② … 阴影小正方形个数（） 1 3 5 ③7 … ④ … 故答案为：①4，②，③7，④； （2）∵， ， ， ， ⑤， ， ⑥． 故答案为：⑤；⑥； （3）∵平面内2条直线最多有1个交点， 平面内3条直线最多有个交点， 平面内4条直线最多有个交点， 平面内5条直线最多有个交点， ， ∴平面内25条直线最多有⑦个交点； （ⅱ）根据（ⅰ）中规律可得平面内n条直线最多有⑧个交点． 故答案为：⑦300；⑧． （4）根据图象可得：第一行有1个数，和为； 第二行有2个数，前两行的和为； 第三行有3个数，前三行的和为； 第四行有4个数，前四行的和为； ， ∴第n行有n个数，前n行的和为； 故第20行有20个数， 故从第1到第20行的和是． 9．（24-25七年级上·安徽·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． (2)结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． (3)通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类和图形类，解答此类问题的关键是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据题中所给出的规律求解即可； （2）根据题中所给出的规律求解即可； （3）根据（1）（2）中所给出的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题中所给出的规律可知：， 故答案为：； （2）解：由图示可知点的总数是，所以， 故答案为：； （3）解：由（1）（2）可知， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）观察如图，解答下列问题 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈，如果要你继续画下去，那么第八层有_______个小圆圈，第层有_______个小圆圈； (2)某一层上有65个圆圈，这是第________层； (3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或， 由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 根据上述请你写出前层的圆圈个数和的表达式； (4)计算：的和； (5)计算：的和． 【答案】(1)15， (2)33 (3) (4)1000000 (5)22121 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）由求解即可； （3）根据前几个等式的变化规律可得结论； （4）由（3）中规律，先求出n值，进而可求解； （5）由（4）中求法，利用已知数据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第一层有个小圆圈， 第二层有个圆圈， 第三层有个圆圈， …， 第六层有个圆圈， 依此类推， 第八层有个圆圈， 第n层有个圆圈， 故答案为：15，； （2）解：由得， 故第33层有65个圆圈， 故答案为：33； （3）解：前两层的圆圈个数和为或，即； 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 依此类推， 前层的圆圈个数和的表达式为； （4）解：由得， ∴ ； （5）解：由得， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的10种规律探究问题 目录 1 类型一、数字类规律探究 1 类型二、四则运算中的规律探究 2 类型三、乘方中的规律探究 4 类型四、数轴中的规律探究 5 类型五、周期中的规律探究 6 类型六、个位数字规律探究 8 类型七、递进中规律探究 8 类型八、表格中的规律探究 10 类型九、图形中的规律探究 11 类型十、新定义中的规律探究 13 15 类型一、数字类规律探究 1．（22-23七年级下·湖北荆州·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，…，则第10个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）数学老师根据圆圈中的三个数字按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（   ） A．355155 B．323550 C．357315 D．351550 3．（23-24七年级上·安徽池州·期末）观察下图的运算过程并找出规律： ，则的值为（    ） A．8 B． C． D．26 4．（22-23七年级上·安徽六安·期末）观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为，记第二个数为，…，记第n个数为.通过计算，，，…发现它们有一定的规律，由此规律推算的值应为（    ） A．5152 B．5051 C．4951 D．4852 5．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）将正整数按下表排成 5 列，根据下面排列规律， 2004应在（   ） 第 一 列 第 二 列 第  三 列 第  四 列 第  五 列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 … … … 28 26 A．第 250行，第 2 列 B．第 251行，第 1 列 C．第 250行，第 3 列 D．第 251行，第 3 列 类型二、四则运算中的规律探究 6．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）[新定义题]符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，… （2），，，… 利用以上规律计算：等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）用你发现的规律解答下列问题：，，，探究（   ），用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）观察下列式子： ；； ； …… 根据上述规律， ． 10．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知，按此规律，依次下去． （1）请用含的式子表示第5个式子： ； （2）记，当时，的值为 ． 类型三、乘方中的规律探究 11．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 12．（20-21七年级上·安徽亳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式； 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．901 B．900 C．961 D．625 13．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： ， ， ，… 问题：(1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 14．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知，且n为自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成n个连续奇数的和，如图： 即如下规律：，，，…… (1)按上述分裂要求，________； (2)按上述分裂要求，可以分裂成________个奇数的和，其中最大的奇数是________． (3)用上面的分列规律求：． 15．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 类型四、数轴中的规律探究 16．（21-22七年级上·安徽滁州·阶段练习）一只青蛙从数轴上的原点开始做如下运动，第一次从原点向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到.第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．若按以上规律跳了2020次时，它落在数轴上的点所表示的数是（   ） A． B．1010 C． D．1009 17．（22-23七年级上·安徽六安·期中）一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是 ，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是 （用含的代数式表示）． 18．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）若机器人在数轴上某点第一步从向左跳1个单位到，第二步从向右跳2个单位到，第三步从向左跳3个单位到，第四步从向右跳4个单位到，按以上规律跳2018步，机器人落在数轴上的点，且所表示的数恰好是2019，则机器人的初始位置所表示的数是 ． 19．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）在数轴上，，两点对应的数分别为，，有一动点从点出发第一次向左运动个单位；然后在新位置做第二次运动，向右运动个单位；在此位置做第三次运动，向左运动个单位，……按照如此规律不断左右运动． （1）当作第次运动后，点对应的数为 ； （2）如果点在某次运动后到达某一位置，使点到点的距离是点到点的距离的倍，此时点的运动次数为 ． 20．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 类型五、周期中的规律探究 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有一个正六面体的骰子放在桌面上，将骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动2025次后，骰子朝下一面的数字是（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 22．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点A和D对应的数分别是1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动滚动，则数轴上A、B、C、D四个点中与数2023对应的点是 ． 23．（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 24．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点A、C分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，．    ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点C表示的数是 ． 类型六、个位数字规律探究 26．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）观察下列算式：，，，，，，，，…利用你所发现的规律，得的末位数字（个位上的数字）是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（2023·河南南阳·一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 28．（20-21七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知一列数a1，a2，a3…an中，a1＝0，a2＝2a1+1，a3＝2a2+1，…，an+1＝2an+1，则a2021﹣a2020的个位数字是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 29．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 30．（22-23七年级上·安徽六安·期中）已知（2为结果的末位数字），（6为结果的末位数字），（2为结果的末位数字）…，则的值为（    ） A．6 B． C．4042 D． 类型七、递进中规律探究 31．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在《综合与实践：平面图形的镶嵌》课堂上，老师让学生观察如图“蜂窝图”，第1个图案有4个正六边形，第2个图案有7个正六边形，第3个图案有10个正六边形，第4个图案有13个正六边形，……，按此规律第2025个图案中的“”的个数是（    ） A．6074个 B．6075个 C．6076个 D．6077个 32．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．故按照此规律第2024个图记为（　　） A． B． C． D． 33．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 34．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）观察下列图形规律，第10个图形中的“○”的个数和“·”个数差为（    ） A．33 B．25 C．85 D．18 35．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有5颗棋子，第2个图形中有8颗棋子，第3个图形中有11颗棋子，第4个图形中有14颗棋子，…，按照这种方式摆下去． (1)第5个图形中有______颗棋子，第6个图形中有______颗棋子； (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量； (3)第几个图形有6077颗棋子？请说明理由． 类型八、表格中的规律探究 36．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，将，，，，，0，1，2，3，这九个数分别填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，若，，分别表示其中一个数，则的值为（   ） A． B． C． D．4 37．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（    ） A．135 B．170 C．209 D．252 38．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 39．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）将自然数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 … 第三行 9 8 7 14 … 第四行 10 11 12 13 … 第五行 … 表中数2在第二行第一列，与有序数对对应，数5与对应，数14与对应，根据这一规律探究． （1）有序数对对应的数为 ； （2）数2024对应的有序数对为 ． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 类型九、图形中的规律探究 41．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，通过观察，小明同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：如第1个图中共有1个黑色小正方形，第2个图中共有个黑白小正方形，第3个图中共有个黑白小正方形．第4个图中共有个黑白小正方形，回答问题： (1)根据规律，第5个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (2)根据规律，第个图中计算黑白小正方形的等式是： ； (3)根据（2）的等式，计算：． 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙，⋯，按此规律排列． (1)第5个图形中一共有_______个⊙； (2)第100个图形中一共有_______个⊙； (3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示） 43．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察如图所示的图形，回答下列问题： (1)图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有______个点； (2)如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？ (3)某一层有77个点，你知道这是第几层吗？ (4)第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和是多少？ 44．（2021·安徽合肥·一模）观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： ；；；； (1)规律观察：　　； (2)推算概括：用含n的式子表示出的值； (3)拓展应用：求的值． 45．（22-23七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 类型十、新定义中的规律探究 46．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 47．（21-22七年级上·安徽芜湖·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，取n＝24，则 若n＝13，则第2021次“F”运算的结果是（　　） A．1 B．4 C．2021 D．42021 48．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下： ，则 ． 49．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 50．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ， ， ，…… (1)请写出第4个式子______． (2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察算式： ；；；，…． (1)请根据你发现的规律填空：( )； (2)用含n的等式表示上面的规律；（n为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算： 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，，5，，9，，13，， 第二行：0，，4，，8，  ，12，， 第三行：2，，10，，18，，26，， (1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________； (2)取每行中第10个数，求三个数之和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 6．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面． 按照这种规律： (1)第4个图形中需要黑色瓷砖______块； (2)第n个图形中需要黑色瓷砖______块（用含n的代数式表示）； (3)若第n个图形中有6076块黑色瓷砖，求n的值． 7．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知：一列数，，，，，则 可以用图表示，可以用图2表示，可以用图表示，，依此规律． 那么： (1)_____，_____； (2)_____， _____（用含有的式子表示）； (3)由（）的结论求，及的值． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读理解】 教材第82页《数学拓展》栏目“归纳推理”内容大致如下： 用一些相同的小正方形，排成如下的一些大正方形图案，如图． （1）把每个图中一边上的小正方形个数和有阴影的小正方形的个数填入表中： 图号（n） 1 2 3 4 … k … 一边上小正方形个数（n） 1 2 3 ① … ② … 阴影小正方形个数（） 1 3 5 ③ … ④ … （2）第1个图中小正方形只有1个，且有阴影，记作． 把第1个图并入第2个图，这时第2个图中阴影小正方形数就是前面两个图中阴影小正方形数的和：．我们把这个和记作， 即． 把第1，2两个图中的阴影部分一起并入第3个图，这时第3个图中的阴影小正方形数就是前面三个图中阴影小正方形数的和，记作， 即． 如此操作，请仔细观察图后，归纳并猜想结果，并填空： ⑤______， …… ⑥______． 【类比研究】 （3）这种根据某类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，运用归纳推理我们可以得到： （ⅰ）平面内25条直线最多有⑦______个交点； （ⅱ）n条直线最多有⑧______个交点． 【迁移应用】 运用上面方法解答下面问题： （4）由1，3，5，7，9，11，13，……组成的三角形数阵如图所示，从第1到第20行第20个数的和是多少？ 9．（24-25七年级上·安徽·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． (2)结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． (3)通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式______． 10．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）观察如图，解答下列问题 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈，如果要你继续画下去，那么第八层有_______个小圆圈，第层有_______个小圆圈； (2)某一层上有65个圆圈，这是第________层； (3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或， 由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：； 由前四层的圆圈个数和得：； 由前五层的圆圈个数和得：； … 根据上述请你写出前层的圆圈个数和的表达式； (4)计算：的和； (5)计算：的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$