第2章 圆 单元测试 2024—2025学年湘教版数学九年级下册

湘教版九年级下册 第2章 圆 单元测试 一、选择题 1.如图．内接于，，，为的直径，．那么的值为（    ） A.2 B.3 C. D. 2.已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A. B. C. D. 3.如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 4.如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（    ） A. B. C. D. 5.如图，已知△ABC，∠ABC=2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F，分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点，则下列说法不正确的是(   ) A.∠ADB=∠ABC B.AB=BD C.AC=AD+BD D.∠ABD=∠BCD 6.如图，中，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为（　　）（结果保留π） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 7.下列关于圆的切线的说法正确的是（　　） A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 8.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A.6 B. C. D. 9.如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A. B. C. D. 10.一个圆形钢板与一个正方形钢板，它们的边缘周长均为50分米，则它们的面积相比较（    ） A.圆形钢板面积大 B.正方形钢板面积大 C.两个钢板的面积一样大 D.无法比较 11.如图，是半圆O直径，C，D是圆上的两点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12.如图，内接于半径为的半圆中，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，为的中点，可得（    ） ①；②；③；④. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题 13.大圆的半径是4厘米，小圆的直径是4厘米，大圆的面积是小圆面积的    倍 14.已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN=          ． 15.如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点 ，，，均落在格点 上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是     ． 16.已知直线l:y=x−4，点A(0，2)，点B(2，0)，设点P为直线l上一动点，当P的坐标为          时，过P，A，B三点不能作出一个圆. 17.如图，在边长为6 cm的菱形ABCD中，，半径为1 cm的⊙P沿着射线AC以1 cm/s的速度运动，运动的时间为t，．则动点P运动时间     （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点． 三、解答题 18.已知：及外一点．求作：的一条切线，使这条切线经过点．（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法） 19.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 20.如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：． 21.阅读以下材料，并按要求完成相应地任务： 莱昂哈德·欧拉(LEONHard EulEr)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则. 如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN. ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， ∴△MDI∽△ANI， ∴， ∴①， 如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF， ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°， ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°， ∴∠DBE=∠IFA， ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)， ∴△AIF∽△EDB， ∴，∴②， 任务：（1）观察发现：，            (用含R，d的代数式表示)； （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由； （3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； （4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，求△ABC的外心与内心之间的距离. 22.如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中△ABC为格点三角形，⊙O经过A，B两个格点，交BC于点D． ①画弦BE，使BE⊥BC； ②画出圆心O． （2）在图2中，A，B为⊙O上两点，其中A，O为格点，B点为⊙O与网格线交点． ①将弦AB绕点O逆时针方向旋转90°到EF（A与E对应，B与F对应），画线段EF； ②连接EB，画弦EG，使EB平分∠AEG． 湘教版九年级下册 第2章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图．内接于，，，为的直径，．那么的值为（    ） A.2 B.3 C. D. 【答案】C 【解析】连接，如图所示， ∵四边形是圆的内接四边形，， ∴， ∵为直径，， ∴， ∵. 故选：C． 2.已知的直径为，若直线l与只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由直线与圆的位置关系，可知直线l与相切， ∴圆心O到这条直线的距离为. 故选：B． 3.如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】弦为，共有3条. 故选：B． 4.如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：C． 5.如图，已知△ABC，∠ABC=2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F，分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点，则下列说法不正确的是(   ) A.∠ADB=∠ABC B.AB=BD C.AC=AD+BD D.∠ABD=∠BCD 【答案】B 【解析】由题意可得BD平分∠ABC， A. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC， ∵∠ABC=2∠C，∠ADB=∠C+∠DBC， ∴∠ADB=2∠C， ∴∠ADB=∠ABC，故A不合题意； B. ∵∠A≠∠ADB， ∴AB≠BD，故此选项符合题意； C. ∵∠DBC=∠ABC，∠ABC=2∠C， ∴∠DBC=∠C， ∴DC=BD， ∵AC=AD+DC， ∴AC=AD+BD，故此选项不合题意； D. ∵∠ABD=∠ABC，∠ABC=2∠C， ∴∠ABD=∠C，故此选项不合题意. 故选：B. 6.如图，中，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为（　　）（结果保留π） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】A 【解析】如图，连接，，，，，， 设， 由勾股定理得， ， ， 解得， 的面积为． 故选：A． 7.下列关于圆的切线的说法正确的是（　　） A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 【答案】D 【解析】A、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误； C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，原命题正确． 故选：D． 8.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A.6 B. C. D. 【答案】C 【解析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故选：C. 9.如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，连接BD，延长AO交圆于点 E，连接ED， ∵为四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴的角平分线经过圆心， ∴， ∵AE是直径， ∴（直径所对圆周角是），是直角三角形； ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 10.一个圆形钢板与一个正方形钢板，它们的边缘周长均为50分米，则它们的面积相比较（    ） A.圆形钢板面积大 B.正方形钢板面积大 C.两个钢板的面积一样大 D.无法比较 【答案】A 【解析】∵圆与正方形的周长均为50分米， ∴正方形的边长为：，圆的半径为：， ∴正方形的面积为：； 圆的面积为：； ∴圆形钢板的面积大. 故选：A． 11.如图，是半圆O直径，C，D是圆上的两点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵是半圆O的直径， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， . 故选：B． 12.如图，内接于半径为的半圆中，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，为的中点，可得（    ） ①；②；③；④. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【解析】连接， ∵为直径， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， 在中，， 令， 则， 解得或（舍去）， 即， ∴，故③不正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即， 令， 则， 整理得：， 解得或（舍去）， 即， ∴，故②正确； ， 故，故④正确； 综上，①②④正确. 故选：B． 二、填空题 13.大圆的半径是4厘米，小圆的直径是4厘米，大圆的面积是小圆面积的    倍 【答案】4 【解析】由题意得： 大圆的面积为； 小圆的面积为； 则有，即大圆的面积是小圆面积的4倍. 故答案为：4． 14.已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN=          ． 【答案】60° 【解析】由作图可知：CM=CD=DN， ∴∠COM=COD=∠DON=20°， ∴∠MON=60°， 又∵OM=ON， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠OMN=60°. 故答案为：60°． 15.如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点 ，，，均落在格点 上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是     ． 【答案】 【解析】如图所示：点 O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是. 故答案为：. 16.已知直线l:y=x−4，点A(0，2)，点B(2，0)，设点P为直线l上一动点，当P的坐标为          时，过P，A，B三点不能作出一个圆. 【答案】(3，−1) 【解析】设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵A(0，2)，点B(2，0)， ∴， 解得， ∴y=−x+2， 解方程组，得， ∴当P的坐标为(3，−1)时，过P，A，B三点不能作出一个圆. 故答案为：(3，−1). 17.如图，在边长为6 cm的菱形ABCD中，，半径为1 cm的⊙P沿着射线AC以1 cm/s的速度运动，运动的时间为t，．则动点P运动时间     （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点． 【答案】或 【解析】如图所示，⊙P运动过程中恰好与与菱形有交点时有三个位置：P1，P2，P3， 连接BD，与AC交于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°， ∴BD⊥AC，AH=HC，∠DAC=30°， 在Rt△ADH中，AD=6 cm， ∴ cm， ∴AC=2AH= cm， ①当P运动到P1时，圆与AD相切与点E，连接P1E， ∴P1E⊥AD， 在Rt△AP1E中，P1E=PA=1 cm，∠P1AE=30°， ∴P1A=2 P1E=2 cm， ∴P1P= P1A+PA=3 cm ∴P运动到P1位置时，时间t1=； ②当P运动到P2时，圆与CD相切与点F，连接P2F， ∴P2F⊥CD， 同①可得P2C=2 cm， 此时P2A=AC-P2C= cm，P2P=P2A+PA= cm， ∴P运动到P2位置时，时间t2=； ③当P运动到P3时，点C在圆上且圆心在点C的右侧， 此时P3P=P3C+AC+PA=1++1= cm， ∴P运动到P3位置时，时间t3=； 由图可知，当圆P运动到P1P2之间（不含P1、P2），或者运动到P3右侧时，与菱形的边无交点， ∴动点P运动时间或. 故答案为：或． 三、解答题 18.已知：及外一点．求作：的一条切线，使这条切线经过点．（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：①连接，作的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆，交于点； ③作直线，则直线即为的切线． 如图，直线即为所求． 【解析】 19.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 【答案】解：连接， ∵分别与小圆相切于点D、E， ∴，，， ∵是大圆的弦， ∴，， ∴． 【解析】 20.如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：． 【答案】解：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 【解析】 21.阅读以下材料，并按要求完成相应地任务： 莱昂哈德·欧拉(LEONHard EulEr)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则. 如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN. ∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， ∴△MDI∽△ANI， ∴， ∴①， 如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF， ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°， ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°， ∴∠DBE=∠IFA， ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)， ∴△AIF∽△EDB， ∴，∴②， 任务：（1）观察发现：，            (用含R，d的代数式表示)； （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由； （3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； （4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，求△ABC的外心与内心之间的距离. 【答案】解：（1）∵O、I、N三点共线， ∴OI+IN＝ON， ∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d. 故答案为：R﹣d. （2）BD=ID，理由如下： ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI， ∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI， ∴∠BID=∠DBI， ∴BD=ID. （3）由（2）知：BD=ID， 又，， ∴DE·IF=IM·IN， ∴， ∴ ∴. （4）由（3）知：， 把R=5，r=2代入得：， ∵d>0， ∴. 【解析】 22.如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中△ABC为格点三角形，⊙O经过A，B两个格点，交BC于点D． ①画弦BE，使BE⊥BC； ②画出圆心O． （2）在图2中，A，B为⊙O上两点，其中A，O为格点，B点为⊙O与网格线交点． ①将弦AB绕点O逆时针方向旋转90°到EF（A与E对应，B与F对应），画线段EF； ②连接EB，画弦EG，使EB平分∠AEG． 【答案】解：（1）①如图1所示，取格点F，连接BF交⊙O于点E，点E即为所求， 由网格的特点可知BF⊥BC，则BE⊥BC. ②如图1所示，连接DE交格线于点O，点O即为所求， 由90度角所对的弦是直径可得DE是⊙O的直径，由点O在线段AB的垂直平分线上可知点O即为所求. （2）①如图2所示，取格点E以及⊙O与格线的交点F，连接EF，则EF即为所求， 由网格的特点可知OA⊥OE，则点E即为所求， 由网格的特点可得OP=OQ，∠OPF=∠OQB=90°， 再由OF=OB可证明Rt△OPF≌Rt△OQB（HL），则∠PFO=∠QBO， ∴∠QBO=∠PFO=∠FOQ， ∴∠FOQ+∠BOQ=90°，即OF⊥OB，则点F即为所求. ②如图3所示，取格点W以及⊙O与格线的交点M，连接MW并延长交⊙O于G，连接EG，则EG即为所求， 由作图可知△BMA≌△BMW， ∴∠BAM=∠BWM，BA=BW， 由圆内接四边形对角互补可得∠BGM+∠BAM=180°， 由平角的定义可得∠BWM+∠BWG=180°， ∴∠BWG=∠BGW， ∴AB=BW=BG， ∴弧AB=弧BG， ∴∠AEB=∠BEG，即BE平分∠AEG． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$