24.1.2 垂直于弦的直径 课件--2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题情境 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 活动一 · O C D 1. 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 探究一 圆的对称性 2. 把一个圆形纸片沿着它的圆心顺时针或逆时针任意旋转，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ · O C D 1. 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 探究一 (1) 圆是轴对称图形. (2) 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴,园有无数条对称轴. 圆的对称性 ●O (1)圆也是中心对称图形. (2)它的对称中心就是圆心. 2. 把一个圆形纸片沿着它的圆心顺时针或逆时针任意旋转，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论：圆既是轴对称图形，也是中心对称 图形. 下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． N O A B M C D 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ 一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论. 注意 两 三 例 如图，1400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）． 解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R≈27.3 因此，赵州桥的主桥拱 半径约为27.3m. 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 定理辨析 × √ × √ √ √ 思考 利用前面的证明： 能否说明当CD平分任何一条弦AB时， 都存在CD⊥AB ，说出你的理由 A C B D M . O 一个圆的任意两条 直径总是互相平分但 它们不一定互相垂直. 因此这里的弦如果是直 径，结论不一定成立． 注意 为什么强调这里的弦不是直径？ A B C D M N 新知应用 解得　　　. 即 因此，⊙O的半径为5cm. 在Rt△OEA中，由勾股定理，得 2 在直角三角形OEA中根据勾股定理列方程，OA方=OE方+AE方，即r方=（r-2）的平方+4的平方，解得r为5.在这道题目中，我们充分运用了方程思想解决问题. 16 例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD. 思路1：连接OA，OB，OC，OD． 证明△OAC≌△OBD （证明△OAD≌△OBC）． 新知应用 分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？ 大家都有想到全等，所以我们需要构造这两条线段所在的三角形，同圆半径都相等，所以连接OA，OB,OC,OD,从而根据ASA或AAS证明△OAC≌△OBD即可证明AC=BD.或证明△OAD≌△OBC也可. 此外，还有其他的证明方法吗？ 17 例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD. 思路2：连接OA，OB，OC，OD． 过点O作OE⊥AB于点E， 根据等腰三角形的性质． 还有更简单的证明方法吗？ 新知应用 分析：在我们刚才连接半径后会发现△OAB和△OCD都是等腰三角形，我们会想到等腰三角形三线合一的性质，所以过点O作OE⊥AB于点E,就能得到AE=BE,CE=DE,再根据等式性质就能得到了. 此外，还有更简单的证明方法吗？ 18 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． · O A B E 练习 解： 答：⊙O的半径为5cm. 19 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 20 3.如图，CD为圆O的直径，弦 　　AB交CD于E， ∠ CEB=30°， 　　DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。 4.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，OC=8cm，则AB= ； O A B C 30° 8 5 4 D ┌ F 21 $$