预习第11讲 直线方程 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019）

第11讲 直线方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 直线的点斜式与斜截式 【题型二】 直线的两点式方程 【题型三】 直线的截距式方程 【题型四】 直线的一般式 【题型五】 直线与坐标轴围成的图形面积问题 【题型六】 对称性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，并了解各式方程的使用范围； 2.掌握用各式方程求解直线方程； 3.掌握对称性问题. 【题型一】 直线的点斜式与斜截式 相关知识点讲解 1 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 2 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 【典题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1 （24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·吉林·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3（2021高二·全国·专题练习）直线：，直线过点，且它的倾斜角是的倾斜角的倍，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型二】 直线的两点式方程 相关知识点讲解 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 【典题1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高二上·全国·课后作业）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型三】 直线的截距式方程 相关知识点讲解 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 【典题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 变式练习 1（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 2（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若直线的斜率为2，，直线过点，则直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B． C． D． 3（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 4（24-25高二上·全国·课后作业）过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型四】 直线的一般式 相关知识点讲解 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 【典题1】 （24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 变式练习 1（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 2（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型五】 直线与坐标轴围成的图形面积问题 【典题1】（21-22高一下·山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 变式练习 1（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 2（19-20高二上·湖北黄石·阶段练习）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 3（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型六】 对称性问题 相关知识点讲解 点关于点的对称 点关于的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则有可求出，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) 【典题1】（24-25高二上·山东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 变式练习 1（22-23高二上·重庆北碚·期末）若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江西·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 3（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·天津河东·期中）关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线经过点 D．直线的斜率为 5（22-23高二上·北京·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6（20-21高二上·山东德州·阶段练习）已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7（多选）（21-22高二上·山东聊城·期中）已知直线，以下结论正确的是（    ） A．不论a为何值，与都不可能互相垂直 B．当a变化时，与分别经过定点和 C．不论a为何值，与都关于直线对称 D．如果与交于点M，则的最大值是 8（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点，. (1)求直线的一般式方程； (2)若点，求点C关于直线的对称点的坐标. 9（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【B组---提高题】 1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 2（24-25高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 直线的点斜式与斜截式 【题型二】 直线的两点式方程 【题型三】 直线的截距式方程 【题型四】 直线的一般式 【题型五】 直线与坐标轴围成的图形面积问题 【题型六】 对称性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，并了解各式方程的使用范围； 2.掌握用各式方程求解直线方程； 3.掌握对称性问题. 【题型一】 直线的点斜式与斜截式 相关知识点讲解 1 直线的点斜式方程 若直线的斜率为，且过定点，则直线方程为，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 2 直线的斜截式方程 我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，其中为直线斜率，为直线在轴上的截距. 【典题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行的斜率关系，再由点斜式方程即可得出结果. 【详解】由题意，直线与直线平行，故直线的斜率为2； 又直线过点，则直线的方程为， 即． 故选：D 变式练习 1 （24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D 2（24-25高二上·吉林·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直斜率之积为可得所求直线斜率，利用点斜式可得结果. 【详解】∵直线的斜率为， ∴所求直线斜率为， ∴直线方程为. 故选：A. 3（2021高二·全国·专题练习）直线：，直线过点，且它的倾斜角是的倾斜角的倍，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，则，由正切的二倍角公式计算的值即为直线的斜率，由点斜式可得直线的方程. 【详解】由直线：，可得， 设直线的倾斜角为，则， 因为直线的倾斜角是的倾斜角的倍， 所以直线的斜率为， 因为直线过点， 所以直线的方程为：， 故选：D． 【题型二】 直线的两点式方程 相关知识点讲解 经过两点(其中)的直线的方程是，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 【典题1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于x轴的对称点，由对称性知反射光线过此点，由两点式直线方程求解即可. 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 变式练习 1（23-24高二上·全国·课后作业）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的两点式方程运算求解. 【详解】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为. 故选：D. 2（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 【题型三】 直线的截距式方程 相关知识点讲解 我们把(其中，分别是直线在轴、轴上的截距且)叫做直线的截距式方程，简称截距式. 【典题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 变式练习 1（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 2（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若直线的斜率为2，，直线过点，则直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用两条直线平行得出的斜率为2，再由点斜式得出直线的方程，再令即可得出截距. 【详解】由题意直线的斜率为2，，则的斜率为2， 得直线的方程为，即为. 令，得，即直线在x轴上的截距为. 故选：C. 3（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【详解】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 4（24-25高二上·全国·课后作业）过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设直线的方程为，将点代入直线的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线的方程为， 将点代入，可得， 即， 由于， 所以方程有两个根， 故满足题意的直线的条数为2． 故选：B. 【题型四】 直线的一般式 相关知识点讲解 关于的二元一次方程(其中不同时为)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 【典题1】 （24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 变式练习 1（2025·江苏苏州·模拟预测）已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的斜率，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 2（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 3（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 【题型五】 直线与坐标轴围成的图形面积问题 【典题1】（21-22高一下·山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解. 【详解】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直， 当时，，当时，， 所以直线与轴和轴的交点分别为和， 因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3， 所以有，解得：或. 故选：D 变式练习 1（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 2（19-20高二上·湖北黄石·阶段练习）已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于的方程，判断出方程根的个数，即可得解. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，直线交轴于点，交轴于点. 由题意可得，即. ①当时，可得，即，； ②当时，可得，即，. 综上所述，符合条件的直线有条. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 3（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 【题型六】 对称性问题 相关知识点讲解 点关于点的对称 点关于的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则有可求出，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) 【典题1】（24-25高二上·山东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求. 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 变式练习 1（22-23高二上·重庆北碚·期末）若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点，并求出其关于点对称点即可. 【详解】直线恒过定点， 又关于点对称点为 所以直线恒过的定点为 故选：D. 2（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解. 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 3（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程，联立方程组，求得外心的坐标，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为， 可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得，即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 4（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    【A组---基础题】 1（24-25高二上·江西·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点斜式直接写出直线方程. 【详解】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，即． 故选：A． 2（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用斜率公式求直线斜率，再结合直线点斜式方程的求法求解即可. 【详解】由题意，所求直线的斜率为， 则根据点斜式可得直线方程为，即， 将以上各点代入可知在直线上. 故选：D. 3（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【详解】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 4（23-24高二上·天津河东·期中）关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线经过点 D．直线的斜率为 【答案】B 【分析】根据给定的直线方程，求出斜率判断ABD；代入验证判断C. 【详解】直线的斜率，D错误； 直线的倾斜角，由，得，A错误； 直线的一个方向向量为，显然与向量共线， 即向量是直线的一个方向向量，B正确； 当时，，即直线经过点，C错误. 故选：B 5（22-23高二上·北京·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点关于直线对称的点为，由对称关系可知，两点连线与直线垂直，所以，又由两点连线段的中点在直线上，得，解出点坐标. 【详解】设点关于直线对称的点为，直线的斜率为-1，由对称关系，两点连线与直线垂直，所以，又因为两点连线段的中点在直线上，代入得，解方程，解得，，所以对称点为. 故选：A. 6（20-21高二上·山东德州·阶段练习）已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】求得的中点坐标为，设直线的方程为，且与轴交于点，结合三角形的面积公式，列出方程，求得或，进而求得直线的方程. 【详解】由直线，可得与轴，轴分别交于， 则的中点为，即中点坐标为， 设直线的方程为，即，且与轴交于点， 因为直线，及轴围成的三角形面积为6， 可得，即，解得或， 当时，即点，此时直线的方程为，即； 当时，即点，此时，直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7（多选）（21-22高二上·山东聊城·期中）已知直线，以下结论正确的是（    ） A．不论a为何值，与都不可能互相垂直 B．当a变化时，与分别经过定点和 C．不论a为何值，与都关于直线对称 D．如果与交于点M，则的最大值是 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系、直线的定点、对称、直线的交点、基本不等式等知识确定正确答案. 【详解】A选项，当时，直线，直线，，所以A选项错误. B选项，，所以直线过定点； ，当时，，所以直线过定点，所以B选项正确. C选项，当时，， 画出图象如下图所示，由图可知不关于直线对称，所以C选项错误. D选项，由于满足， 所以，若与交于点，则点的轨迹是以为直径的圆， 的中点坐标为，， 所以以为直径的圆的标准方程为， 由于，所以在圆上， 则的最大值是直径，即最大值是，所以D选项正确. 故选：BD 8（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点，. (1)求直线的一般式方程； (2)若点，求点C关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线l的斜率，从而利用点斜式求出直线l的方程，化为一般式； （2）设出对称点，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出，得到对称点. 【详解】（1）直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即； （2）设点C关于直线的对称点坐标为, 显然的中点坐标满足， 即， 又直线与直线l垂直，故， 联立与，解得， 所以点C关于直线的对称点的坐标为. 9（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【B组---提高题】 1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【答案】D 【分析】先判断的图象关于直线对称，可得，设根据求出，从而可得答案. 【详解】因为 所以的图象关于直线对称，故. 因为在都单调递增，在都单调递减 在单调递增； 在单调递减. 所以直线与的图象只有两个交点和点， 设则， 设直线与交点为， 所以， 则，即， 因为直线经过点，， 所以. 故选：D 2（24-25高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直， 又是两条直线的交点， 则有， ． 故当且仅当时取等 故选：C. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$