预习第10讲 两条直线平行与垂直的判定 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019）

第10讲 两条直线平行与垂直的判定 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】直线的方向向量 【题型二】 两条直线位置关系的判断 【题型三】 已知直线位置关系求参数 【题型四】 两直线平行与垂直的综合应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握两直线平行的判定方法； 2.掌握两直线垂直的判定方法； 3.会利用两直线的平行和垂直的关系处理平面几何问题. 【题型一】直线的方向向量 【典题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 变式练习 1（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2（2025高三·全国·专题练习）若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 3（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【题型二】两条直线位置关系的判断 相关知识点讲解 1两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 【典题1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【典题2】 （多选）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 变式练习 1 （24-25高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 3（22-23高二上·广东广州·阶段练习）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 4（24-25高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【题型二】 已知直线位置关系求参数 【典题1】 （多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 变式练习 1（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 2（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 3（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4（2022高三·全国·专题练习）已知直线和，则（　　） A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对 5（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 6（2023·四川南充·三模）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B．2 C． D． 【题型三】 两直线平行与垂直的综合应用 【典题1】(多选)（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【典题2】 （23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    变式练习 1（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2（2024高三·全国·专题练习）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 3（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 6（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【A组---基础题】 1（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 3（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 4（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 5“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 7（2023高一上·全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（　　） A． B．－ C． D．－ 8（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 9（24-25高二上·广东深圳·期末）直线的一个单位方向向量为 ． 10（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 11（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【B组---提高题】 1（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 3 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 两条直线平行与垂直的判定 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】直线的方向向量 【题型二】 两条直线位置关系的判断 【题型三】 已知直线位置关系求参数 【题型四】 两直线平行与垂直的综合应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握两直线平行的判定方法； 2.掌握两直线垂直的判定方法； 3.会利用两直线的平行和垂直的关系处理平面几何问题. 【题型一】直线的方向向量 【典题1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义列式求解. 【详解】由点，，得，由直线的方向向量为， 得，因此，所以. 故选：A 变式练习 1（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 2（2025高三·全国·专题练习）若经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A．－5 B．5 C．3 D．－17 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式及方向向量的意义求解. 【详解】依题意，直线的斜率，解得． 故选：A 3（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，再利用正切二倍角求出. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则. 故选：D 【题型二】两条直线位置关系的判断 相关知识点讲解 1两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 【典题1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 【典题2】 （多选）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.     故选：AD. 变式练习 1 （24-25高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 3（22-23高二上·广东广州·阶段练习）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可. 【详解】因为直线经过点，， 所以直线的斜率为：， 又因为， 所以两直线垂直， 故选：B 4（24-25高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 【题型二】 已知直线位置关系求参数 【典题1】 （多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【详解】已知直线， 若 ，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 变式练习 1（24-25高二下·江西·阶段练习）若直线与直线平行，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 2（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论直线的斜率，再利用即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 3（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】假设成立，去推导是否成立，假设去推导是否成立即可得. 【详解】若，由，可得，若，即， 则需，即，即可得时，，故不是的充分条件； 若，则，，此时，故， 综上，直线是的必要不充分条件. 故选：B. 4（2022高三·全国·专题练习）已知直线和，则（　　） A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对 【答案】C 【分析】求出直线与直线的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合；由斜率之积可以为﹣1，得出两直线可能垂直；由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线以交点为中心旋转后与重合. 【详解】直线，斜率为； 直线，斜率为； ，所以和不可能重合，A错误； 时，，和可能垂直，所以B错误； 由知和不平行，设和相交于点， 则直线以为中心旋转后与重合，所以C正确，D错误. 故选：C. 5（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 6（2023·四川南充·三模）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，由条件得出，求出的值，再根据诱导公式即可得出答案． 【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线得出斜率， 因为直线与直线垂直， 所以，即，解得，即， 所以， 故选：B． 【题型三】 两直线平行与垂直的综合应用 【典题1】(多选)（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 【典题2】 （23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 变式练习 1（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 2（2024高三·全国·专题练习）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【分析】分别求出四边形四条边所在直线的斜率，利用对边和邻边斜率之间的关系从而确定直线的位置的关系，最后确定四边形的形状即可. 【详解】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D. 3（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 4（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得. 【详解】设对称点坐标，由题意知直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为-1， 所以，化简得，① 再由的中点在直线上，，化简得，② 联立①②，可得，所以对称点的坐标为. 故选：A. 5（24-25高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 【答案】(3,4) 【分析】设D为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求D的坐标. 【详解】设顶点D的坐标为(x,y)， ∵ABDC，ADBC， ∴，解得， ∴点D的坐标为(3,4). 故答案为：(3,4). 6（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量求斜率，再求倾斜角. 【详解】根据题意：向量所在的直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为． 故选：D 2（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 【答案】C 【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可. 【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误； 对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误； 对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确； 对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误； 故选：C 3（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 4（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用两条直线相互垂直列式计算得解. 【详解】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C 5“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 6（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 7（2023高一上·全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（　　） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【分析】根据直线的垂直关系，可求得垂直直线的斜率；由斜率与倾斜角关系，结合同角三角函数关系式中齐次式化简方法可求得式子的值． 【详解】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率， ， ∴， 把代入得， 原式. 故选：C． 8（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 【答案】AC 【分析】利用截距概念可判断A；根据直线方程可判断B；利用两直线垂直时，斜率之积为可判断C；举反例可判断D. 【详解】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确； 对于B即令 可得即直线恒过点故B错误； 对于C，当时，即故故C正确； 对于D，当时，令此时直线 与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选：AC. 9（24-25高二上·广东深圳·期末）直线的一个单位方向向量为 ． 【答案】（或填） 【分析】根据直线方向向量即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是， 所以直线的单位方向向量为或. 故答案为：（或填） 10（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 11（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【B组---提高题】 1（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 2（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段. 【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 3 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ① AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为， 即x-2y+3=0．联立 解得 ∴△ABC的外心为（-1，1）． 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4． 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$