第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 两角和与差的余弦公式 【题型二】 两角和与差的正弦公式 【题型三】 两角和与差的正切公式 【题型四】 综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、 公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算； 2.能运用两角和与差的正弦、余弦、 公式进行简单三角恒等变换. 【题型一】 两角和与差的余弦公式 相关知识点讲解 余弦两角和差公式 推导如下 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以. 根据两点间的距离公式，得 化简得 而 【典题1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）（    ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知点是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·江苏扬州·期中）（ ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·广东江门·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 3（2024·陕西西安·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4（2025·甘肃·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型二】 两角和与差的正弦公式 相关知识点讲解 正弦两角和差公式 推导如下 【典题1】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25高一下·四川成都·期中）已知、为锐角，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·江苏徐州·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·河南周口·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·山西·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型三】两角和与差的正切公式 相关知识点讲解 正切两角和差公式 【典题1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，分别为两个实根，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【典题2】（24-25高二下·浙江·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·河南·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知角的终边上一点P的坐标为，则（    ） A． B． C． D．3 3（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B．3 C．1 D． 4（24-25高一下·北京·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5（2025·河北沧州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型四】 综合问题 【典题1】（2024高三·全国·专题练习）已知角分别是第二、第四象限角，，，则（    ） A． B． C．2 D． 变式练习 1（24-25高一下·全国·课堂例题）的值是（    ） A． B． C．1 D． 2（2023·湖南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【A组---基础题】 1（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 3（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 4（2025·山东·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6（2024·江西新余·模拟预测）已知为锐角，，则（    ）. A． B． C． D． 7（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．3 8（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 9（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 【B组---提高题】 1（23-24高一下·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D．或 2（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 两角和与差的余弦公式 【题型二】 两角和与差的正弦公式 【题型三】 两角和与差的正切公式 【题型四】 综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、 公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算； 2.能运用两角和与差的正弦、余弦、 公式进行简单三角恒等变换. 【题型一】 两角和与差的余弦公式 相关知识点讲解 余弦两角和差公式 推导如下 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以. 根据两点间的距离公式，得 化简得 而 【典题1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 【典题2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知点是角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义，以及两角和的余弦函数，即可求解. 【详解】由题得， 则． 故选：A 变式练习 1（24-25高一下·江苏扬州·期中）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的和差公式即可求解. 【详解】. 故选：. 2（24-25高一下·广东江门·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】. 故选：B 3（2024·陕西西安·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 4（2025·甘肃·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此， . 故选：C. 【题型二】 两角和与差的正弦公式 相关知识点讲解 正弦两角和差公式 推导如下 【典题1】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故选：D. 【典题2】（24-25高一下·四川成都·期中）已知、为锐角，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】凑角法，利用正弦的差角公式进行求解. 【详解】因为、为锐角，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故 故选：A 变式练习 1（24-25高一下·江苏徐州·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：D. 2（24-25高三上·河南周口·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的和角公式与诱导公式即可得到结果. 【详解】因为，故， 故. 故选：D. 3（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出角的正余弦值，再利用差角的正弦公式计算即得. 【详解】由题意，. 则. 故选：D. 4（24-25高一上·山西·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系和两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以， 故选：A 【题型三】两角和与差的正切公式 相关知识点讲解 正切两角和差公式 【典题1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，分别为两个实根，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理结合两角和正切公式计算即可. 【详解】因为，分别为两个实根，则， 则. 故选：C. 【典题2】（24-25高二下·浙江·期中）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合两角差正切公式可得，结合消去可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 由，可得， 所以 所以， 所以， 故选：C. 变式练习 1（23-24高一上·河南·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式与和角的正切公式化简计算即得. 【详解】. 故选：C. 2（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）已知角的终边上一点P的坐标为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意，得， 则. 故选：C. 3（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】由题设可求得的值，再利用和角的正切公式即可得结果. 【详解】由题干条件可知，所以， 由和角的正切公式可得. 故选：B. 4（24-25高一下·北京·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】. 故选：A. 5（2025·河北沧州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题给条件化简，再根据差的正切公式求解即可. 【详解】由，得， 整理得， 则. 故选：B. 【题型四】 综合问题 【典题1】（2024高三·全国·专题练习）已知角分别是第二、第四象限角，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式可得，可得，再利用两角和的正切公式可求得，进而可求值. 【详解】由，得， ，则， ，解得（舍去）或， ． 故选：A． 变式练习 1（24-25高一下·全国·课堂例题）的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由，结合两角差的正弦展开化简即可. 【详解】原式 . 故选：A 2（2023·湖南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 3（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 4（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】因为为锐角，所以， 由， 则， 则， 则， 整理得， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 故选：D. 【A组---基础题】 1（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用和角余弦公式化简求值即可. 【详解】. 故选：A 2（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切的和角公式求解即可. 【详解】解： 故选：D 3（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和与差的公式列出方程组求解即可. 【详解】因为 所以 则 故选：D. 4（2025·山东·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和与差的余弦公式结合同角三角函数的基本关系，可求值. 【详解】因为 ； 又 . 所以，. 所以 . 故选：B 5（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求得，进而利用可求值. 【详解】因为，所以，又因为， 所以， 所以 . 故选：A. 6（2024·江西新余·模拟预测）已知为锐角，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的和差公式展开，整理得，再利用三角函数的基本关系式即可得解. 【详解】因为， 所以， 即， 易知，所以，则， 又为锐角，所以. 故选：C. 7（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由，得， 即，所以. 故选：B 8（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）若为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用差角余弦公式得，再应用齐次式法并化弦为切得，结合求函数值. 【详解】由，则， 所以，又为锐角，则， 所以，可得. 故选：D 9（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由、范围得范围，结合缩小范围，再用平方关系求. 同理可求； （2）考虑到，用两角和的余弦公式求得，用二倍角变形公式求，再结合范围即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以，又因， ，故， 因为，又因， 则，则. （2）因为； 所以 ， 因为， 则得， 因，故. 【B组---提高题】 1（23-24高一下·河南·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，计算，由，利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，得，因为，所以，则， . 故选：A 2（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用平方关系消去，得，再应用诱导公式即可求解. 【详解】由，得，得①， 由，得，得②， ①②得：， 即， . 故选：B 10 学科网（北京）股份有限公司 $$