第21讲 弧度制 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第21讲 弧度制 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角度制与弧度制的概念辨析 【题型二】 角度制与弧度制的互化 【题型三】 扇形弧长与面积的计算 【题型四】 扇形中最值问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性； 2.能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制； 3.掌握弧度中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题. 【题型一】 角度制与弧度制的概念辨析 相关知识点讲解 弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作. 即:半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么. 解析 (1) 如下图，设，，圆弧的长为，，圆弧的长为. 由初中所学的弧长公式，可得. 同理，则，即圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关. (2) ，其中的正负由角的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负. 【典题1】（22-23高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．1弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度来表示的角都是正角 变式练习 1 （24-25高一下·全国·课后作业）关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2（24-25高一下·甘肃兰州·期中）考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【题型二】 角度制与弧度制的互化 相关知识点讲解 (1) ，. (2) 特殊角的角度与弧度对应表 角度 弧度 注 在弧度制下，角的集合与实数集之间建立一一对应关系；以后弧度制单位可省略不写. 【典题1】（24-25高一·全国·课后作业）下列结论错误的是（    ） A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600° C．化成弧度是 D．化成度是15° 【典题2】（22-23高一下·湖北·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·陕西·期中）将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）若，则它是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3（22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 4（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【题型三】 扇形弧长与面积的计算 相关知识点讲解 1 弧长，其中是圆的半径，为圆心角. 证明 由公式可得. 2 扇形面积， 其中是圆的半径，为圆心角. 证明 由公式可得， 由于初中所学可知，， 所以. 【典题1】（24-25高一下·江西上饶·期中）一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C．3 D． 【典题2】（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·河南·期中）已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为（    ） A．7 B．18 C．22 D．29 2（24-25高一下·辽宁辽阳·阶段练习）某企业计划做一个企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）.已知，该扇形环面的周长为22，则该扇形环面的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；         ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4（24-25高一上·湖南湘潭·期末）如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 5（23-24高一上·黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（    ） A． B． C． D． 【题型四】 扇形中最值问题 【典题1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 变式练习 1（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 2（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（    ） A．1 B．2 C．60° D．120° 3（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 2（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 3（24-25高一上·山东济南·阶段练习）下列转化结果错误的是（    ） A．60化成弧度是 B．150化成弧度是 C． 化成度是600 D．化成度是15 4（24-25高一·全国·课后作业）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高一上·四川凉山·期末）已知扇形的周长为15，圆心角为3弧度，则扇形的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 8如图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是 ． 9（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【B组---提高题】 1（24-25高一上·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（    ）    A． B． C． D． 2（22-23高一上·广东深圳·期末）若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 弧度制 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角度制与弧度制的概念辨析 【题型二】 角度制与弧度制的互化 【题型三】 扇形弧长与面积的计算 【题型四】 扇形中最值问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性； 2.能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制； 3.掌握弧度中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题. 【题型一】 角度制与弧度制的概念辨析 相关知识点讲解 弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作. 即:半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么. 解析 (1) 如下图，设，，圆弧的长为，，圆弧的长为. 由初中所学的弧长公式，可得. 同理，则，即圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关. (2) ，其中的正负由角的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负. 【典题1】（22-23高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．1弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度来表示的角都是正角 【答案】A 【分析】根据弧度的定义和任意角的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】A：由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故A正确； B：大圆中1弧度角与小圆中1弧度角的大小相等，故B错误； C：圆心角为1弧度的扇形的弧长为， 与半径有关，半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误； D：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，故D错误. 故选：A. 变式练习 1 （24-25高一下·全国·课后作业）关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据弧度制的知识确定正确答案. 【详解】1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角， 与圆的半径无关，据此可知③正确，①②错误． 故选：B 2（24-25高一下·甘肃兰州·期中）考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为. 故选：B. 3（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的的角是周角的 C．的角比的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【答案】D 【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位， 的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正确； 1rad的角是，故C正确； 无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D错误. 故选：D 【题型二】 角度制与弧度制的互化 相关知识点讲解 (1) ，. (2) 特殊角的角度与弧度对应表 角度 弧度 注 在弧度制下，角的集合与实数集之间建立一一对应关系；以后弧度制单位可省略不写. 【典题1】（24-25高一·全国·课后作业）下列结论错误的是（    ） A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600° C．化成弧度是 D．化成度是15° 【答案】A 【分析】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：A 【典题2】（22-23高一下·湖北·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选取不同的值，求出交集. 【详解】当时，，当时，或， 当取其他整数时，均不在内， 故. 故选：C 变式练习 1（24-25高一下·陕西·期中）将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角度与弧度的换算关系可得结果. 【详解】. 故选：C. 2（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）若，则它是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据，数形结合得到答案. 【详解】，故它是第三象限角. 故选：C 3（22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】直接作出其终边所经过的象限图形即可. 【详解】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限， 故经过一三象限， 故选：B. 4（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出两条边界所表示的角，数形结合得到角的取值范围. 【详解】阴影部分的两条边界分别是，角的终边， 所以的取值范围是. 故选：D 【题型三】 扇形弧长与面积的计算 相关知识点讲解 1 弧长，其中是圆的半径，为圆心角. 证明 由公式可得. 2 扇形面积， 其中是圆的半径，为圆心角. 证明 由公式可得， 由于初中所学可知，， 所以. 【典题1】（24-25高一下·江西上饶·期中）一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长和面积公式求解即可. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 由题意，弧长，面积， 由，则，即， 则. 故选：C. 【典题2】（24-25高一上·广东梅州·期末）图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的长，利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为，， 由得： . 所以几何图形的面积为：. 故选：B 变式练习 1（24-25高一下·河南·期中）已知某扇形的圆心角为，半径为11，则该扇形的周长为（    ） A．7 B．18 C．22 D．29 【答案】D 【分析】设该扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和周长公式列式求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l， 则，所以， 所以扇形的周长为. 故选：D. 2（24-25高一下·辽宁辽阳·阶段练习）某企业计划做一个企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）.已知，该扇形环面的周长为22，则该扇形环面的面积是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】设，结合扇形的弧长公式可得，进而结合题设求出，再根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】设，由， 则， 因为扇形环面的周长为22，且， 所以，解得， 则该扇形环面的面积是. 故选：D. 3（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；         ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确； 由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确； 由扇形的弧长公式，可得的长度为， 所以扇形的周长为，所以③正确； 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确. 故选：A. 4（24-25高一上·湖南湘潭·期末）如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】先求得扇形的圆心角，然后求得米，再利用勾股定理和扇形面积公式求得正确答案. 【详解】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米． 因为，所以，所以， 所以是等边三角形，则． 因为米，所以米，米， 则该扇形菜地的面积是平方米． 故选：A. 5（23-24高一上·黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设弧的长为，弧的长为，根据弧长公式结合已知可推得.结合已知条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】 如图，设弧的长为，弧的长为. 因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5， 所以，， 即，. 因为，所以. 又因为， 联立可得， 解得，所以该扇环的内弧长为. 故选：A 【题型四】 扇形中最值问题 【典题1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积，即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 变式练习 1（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案. 【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D 2（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（    ） A．1 B．2 C．60° D．120° 【答案】B 【分析】由扇形的面积公式，结合二次函数最值即可求解； 【详解】设半径，， 所以， 则扇形面积为， 当且仅当时取等号，此时，圆心角（弧度）， 故选：B． 3（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 4（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 【A组---基础题】 1（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 【答案】D 【分析】根据象限角的定义判定A、B，由弧度和弧长得定义及相关公式判断C、D. 【详解】A，第一象限角指终边落在第一象限的角的集合，有正有负， 而锐角仅指大于小于的角，故A错误； B，为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足，故B错误； C，圆心角为1弧度的扇形的弧长为，与半径有关， 半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误； D，由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故D正确. 故选：D 2（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 C．经过5分钟分针转了30° D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 【答案】B 【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误； 对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确； 对于C，经过5分钟分针转了，故C错误； 对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误. 故选：B． 3（24-25高一上·山东济南·阶段练习）下列转化结果错误的是（    ） A．60化成弧度是 B．150化成弧度是 C． 化成度是600 D．化成度是15 【答案】B 【分析】由弧度和角度的互化可判断． 【详解】根据弧度定义，弧度，弧度＝， 所以弧度，弧度，，，错误的是B． 故选：B． 4（24-25高一·全国·课后作业）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 5（23-24高一上·四川凉山·期末）已知扇形的周长为15，圆心角为3弧度，则扇形的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据扇形周长和弧长公式求解即可. 【详解】因为扇形的周长为15，所以， 又因为，，所以， 所以，解得， 故选：B. 6（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知有如下命题： ①把化成角度是； ②若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6cm； ③设是第一象限的角，则所在的象限为第一象限； ④角是第二象限角； 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将弧度制化为角度制，即可判断①，利用扇形面积公式求出，再由弧长公式判断②，根据象限角的定义判断③、④. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，若扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则， 即半径，所以弧长，所以扇形的周长为，故②正确； 对于③，因为是第一象限的角，所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角，故③错误； 对于④，因为，可知的终边与的终边相同， 且为第三象限角，所以角是第三象限角，故④错误. 故选：C 7（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设扇形的圆心角为，弧长为，半径为， 则周长，面积， 所以当时面积取得最大值为， 此时，对应. 故选：A 8如图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据对称性可得到直线上的距离取值范围，再求对应面积的取值范围. 【详解】由题意得在线段中垂线上，所以到直线上的距离取值范围为， 因此圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查扇形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题. 9（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 【B组---提高题】 1（24-25高一上·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作，垂足为，利用锐角三角函数求出，即可求出弧的长，最后根据弧田的面积即可求解. 【详解】过作，垂足为，易知为中点，，    因为，，所以，， 所以弧的长为， 因为，， 所以弧田的面积. 故选：D 2（22-23高一上·广东深圳·期末）若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长， 故，则， 故扇形面积为， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故， 此时， 由对称性可知， 设内切圆的圆心为，因为，故， 过点作⊥于点， 则，在中，，即， 解得. 故选：B 10 学科网（北京）股份有限公司 $$