第20讲 任意角 -2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第20讲 任意角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角的概念辨析 【题型二】 求终边相同的角 【题型三】 象限角问题 【题型四】 根据图形写出角的范围 【题型五】 确定未知角所在的象限 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1. 了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角； 2. 掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角； 3. 理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同角组成的集合. 【题型一】 角的概念辨析 相关知识点讲解 1 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如下图，一条射线的端点是，从起始位置按逆时针旋转到终止位置，形成角，射线分别是角的始边和终边. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. 2 象限角的概念 (1) 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. 注 终边落在坐标轴上，不能称为象限角. 3 角度的加减 角度的加减与实数的加减差不多. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 变式练习 1（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 2（22-23高一·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一·全国·课后作业）如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】 求终边相同的角 相关知识点讲解 与角终边相同的角的集合为 注 表达式中的不能漏！ 【典题1】（2026高三·全国·专题练习）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·河南·阶段练习）下列与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3（24-25高一下·江西景德镇·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一下·河南·阶段练习）表示成（）的形式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型三】 象限角问题 【典题1】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．若，则为第一或第二象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．三角形的内角是第一或第二象限角 变式练习 1（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 3（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 【题型四】 根据图形写出角的范围 【典题1】（22-23高一·全国·课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）    变式练习 1（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A．B．C． D． 2（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 3（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 4（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【题型五】 确定未知角所在的象限 【典题1】（22-23高一上·陕西西安·期末）已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 变式练习 1（24-25高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 2（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 3（24-25高一上·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【A组---基础题】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若将钟表调慢5min，则分针转动角为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 3（2025高一·全国·专题练习）集合中的最大负角为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一·全国·课后作业）若角与角的终边关于y轴对称，则必有（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·新疆·期中）设集合，，则 A． B． C． D． 6（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 7（24-25高一下·江西·期中）下列说法正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角终边可以相同 C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角是零角 8（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【B组---提高题】 1（24-25高一·全国·课后作业）设集合，集合，则（    ） A． B．  C．  D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 任意角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角的概念辨析 【题型二】 求终边相同的角 【题型三】 象限角问题 【题型四】 根据图形写出角的范围 【题型五】 确定未知角所在的象限 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1. 了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角； 2. 掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角； 3. 理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同角组成的集合. 【题型一】 角的概念辨析 相关知识点讲解 1 角的定义与分类 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 如下图，一条射线的端点是，从起始位置按逆时针旋转到终止位置，形成角，射线分别是角的始边和终边. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角. 2 象限角的概念 (1) 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角. 注 终边落在坐标轴上，不能称为象限角. 3 角度的加减 角度的加减与实数的加减差不多. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【分析】由题意可得，，从而可求出，进而可得答案. 【详解】由题意可得，设，则 ， 解得， 所以射线绕端点顺时针旋转， 故选：B 变式练习 1（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 2（22-23高一·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算分针走过的角度大小的同时考虑他的方向即可求解. 【详解】分针是顺时针走的，形成的角度是负角， 又分针走过了10分钟， 走过的角度大小为， 综上，分针走过的角度是． 故选：D． 3（24-25高一·全国·课后作业）如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解. 【详解】因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈， 所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为， 设之后从起始位置转过的角为， 故选：D． 4（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项. 【详解】因为是第一象限角，所以是第四象限角， 则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误； 是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误. 故选：C. 【题型二】 求终边相同的角 相关知识点讲解 与角终边相同的角的集合为 注 表达式中的不能漏！ 【典题1】（2026高三·全国·专题练习）若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】因为，所以与角终边相同的最小正角为． 故选：C． 变式练习 1（24-25高一下·河南·阶段练习）下列与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用终边相同的角的定义计算可得结果. 【详解】对于A，因为，不是的整数倍，故A错误； 对于B，因为，此时与相差的整数倍，故B错误； 对于C，因为，不是的整数倍，故C错误； 对于D，因为，不是的整数倍，故D错误. 故选：B. 2（24-25高一下·辽宁大连·阶段练习）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 3（24-25高一下·江西景德镇·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可. 【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以. 故选：D. 4（24-25高一下·河南·阶段练习）表示成（）的形式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，故可得出的最小值. 【详解】因为，所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查终边相同的角的相关知识，熟练掌握终边相同角的变形是解题的关键，属于常考题. 【题型三】 象限角问题 【典题1】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．若，则为第一或第二象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．三角形的内角是第一或第二象限角 【答案】C 【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可. 【详解】对A选项，如，故A错误. 对B选项，为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误. 对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确. 对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误. 故选: C. 变式练习 1（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 2（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角定义，结合集合描述判断各集合的关系即可. 【详解】如是第二象限角且大于，但不是钝角，A错； 由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错； 如是第二象限角，但小于，C错； 故选：B 3（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．第二象限角都是钝角 B．第二象限角大于第一象限角 C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合 D．若角α与角β的终边在一条直线上，则 【答案】D 【分析】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D. 【详解】A错，是第二象限角，但不是钝角； B错，是第二象限角，是第一象限角，但； C错，，则，但二者终边重合； D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍， 故. 故选：D. 【题型四】 根据图形写出角的范围 【典题1】（22-23高一·全国·课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）    【答案】图1；图2 【分析】（1）根据图形数形结合写出角的范围即可； （2）根据图形数形结合写出角的范围即可； 【详解】（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边， 所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为． （2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 ． 变式练习 1（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果. 【详解】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上， 当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示． 故选：B． 2（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分为偶数和奇数两种情况讨论即可. 【详解】当，时，，.此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域； 当，时，，.此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域. 故选：C 3（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 4（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【答案】 【分析】根据图中阴影直接写出再合并即可. 【详解】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成． ①． ②． 角的集合应当是集合①与②的并集： ． 【题型五】 确定未知角所在的象限 【典题1】（22-23高一上·陕西西安·期末）已知是第二象限角，那么是（    ） A．第一象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第二象限角 【答案】B 【分析】先根据所在的象限确定的范围，从而确定的范围，讨论为偶数和为奇数时所在的象限即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以，， 则，， 当为偶数时，为第一象限角， 当为奇数时，为第三象限角. 故选：B. 变式练习 1（24-25高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【答案】C 【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置. 【详解】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 【点睛】本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题. 2（24-25高一上·河南许昌·阶段练习）若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】B 【分析】根据角的终边落在第三或第四象限，可得或，，进而得到的取值范围，进而求解. 【详解】因为角的终边落在第三或第四象限， 所以或，， 所以或，， 当，时，的终边落在第四象限， 当，时，的终边落在第二象限， 综上所述，的终边落在第二或第四象限. 故选：B. 3（24-25高一上·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断. 【详解】∵α为第三象限角，∴， ∴， 令，，时，，， 可得的终边在第一象限； 令，时，，， 可得的终边在第三象限， 令，时，，， ∴可得的终边在第四象限， 故选:B． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·全国·课后作业）若将钟表调慢5min，则分针转动角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分针转一圈60min共求解即可. 【详解】分针转一圈60min共，将钟表的分针调慢5min，为逆时针， 则分针逆时针转过． 故选：B． 2（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知角和选项中的角的度数的差是否为的整倍数即可判断. 【详解】对于A项，因不是的整倍数，故A项错误； 对于B项，因不是的整倍数，故B项错误； 对于C项，因，故C项正确； 对于D项，因不是的整倍数，故D项错误. 故选：C. 3（2025高一·全国·专题练习）集合中的最大负角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】给整数赋值，算出的最大负值即可得解. 【详解】因为， 所以集合中的最大负角为. 故选：C. 4（24-25高一·全国·课后作业）若角与角的终边关于y轴对称，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解. 【详解】角与角的终边关于y轴对称， 所以， ， 即， 故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解. 5（24-25高一上·新疆·期中）设集合，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取，得到内的值，与取交集得答案． 【详解】∵， 当时，时，时，时， 又， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题． 6（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据阴影部分的边界，写出角的集合. 【详解】阴影部分表示的集合是. 故选：C 7（24-25高一下·江西·期中）下列说法正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角终边可以相同 C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角是零角 【答案】B 【解析】根据角的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误； B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确； C选项，若是第二象限角，则， ∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误； D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误. 故选：. 【点睛】本题考查了角的定义和性质，属于简单题. 8（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 【B组---提高题】 1（24-25高一·全国·课后作业）设集合，集合，则（    ） A． B．  C．  D． 【答案】D 【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角，   四条射线分别是射线 ，   它们构成直线、直线，故. 故选：D. 【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$