第16讲 对数函数及其性质 -2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第16讲 对数函数及其性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对数函数的概念 【题型二】 对数型函数的定义域 【题型三】 对数型函数的图象辨识 【题型四】 对数函数的图象与性质 【题型五】对数函数的应用 角度1 比较大小 角度2对数型复合函数 角度3 最值问题 角度4 对数型函数综合问题 【题型六】反函数 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域； 2.初步掌握对数函数的图象与性质； 3.能够利用对数函数单调性比较大小，能够解简单的对数型不等式； 4.了解反函数的概念及其它们的图像特点. 【题型一】 对数函数的概念 相关知识点讲解 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 2（2021高一·上海·专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 3（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型二】 对数型函数的定义域 相关知识点讲解 对数函数定义域是. 【典题1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知集合 ，，则（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·浙江温州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型三】 对数型函数的图象辨识 相关知识点讲解 图像 定义域 值域 过定点 【典题1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．  B．  C．   D．   【典题2】（22-23高一上·上海·阶段练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 2（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 4（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型四】 对数函数的图象与性质 相关知识点讲解 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【典题1】（24-25高一上·四川达州·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高二下·湖南长沙·期中）在区间为增函数的是（     ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·北京·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型五】对数函数的应用 角度1 比较大小 【典题1】 （2025·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（天津市十二区重点学校2025届高三毕业班联考（二）数学试题）若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·广西贵港·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 角度2 对数型复合函数的单调性 【典题1】 （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2 （24-25高三下·江苏镇江·开学考试）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（24-25高一下·湖北·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 角度3 最值问题 【典题1】 （24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（22-23高一上·全国·单元测试）若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三下·重庆荣昌·开学考试）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度4 对数型函数综合问题 【典题1】 （24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 变式练习 1（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 2（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一下·山西·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)研究函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 4（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 5（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【题型六】反函数 相关知识点讲解 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 比如 与互为反函数. 【典题1】 （24-25高一上·北京·阶段练习）函数的反函数的图象是（   ） A．B．C． D． 变式练习 1（23-24高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·广东·期中）若函数是函数（且）的反函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·北京·阶段练习）若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 【A组---基础题】 1（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的定义域为D，，，，则可以是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4（24-25高一上·河北张家口·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.如图是函数且的大致图象，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5（22-23高三上·北京昌平·期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 6（2025·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8（22-23高一上·全国·单元测试）已知函数， (1)若，求的取值范围; (2)求在上的最值. 9（24-25高一下·四川自贡·开学考试）已知函数，其中且． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)求使的取值范围． 【B组---提高题】 1（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·辽宁·期末）在数学上，常用表示不大于的最大整数，已知函数，则下列正确的是（    ） A．函数在定义域上是增函数 B．函数的零点有无数个 C．函数在定义域上的值域是 D．不等式解集是； 3（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 对数函数及其性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对数函数的概念 【题型二】 对数型函数的定义域 【题型三】 对数型函数的图象辨识 【题型四】 对数函数的图象与性质 【题型五】对数函数的应用 角度1 比较大小 角度2对数型复合函数 角度3 最值问题 角度4 对数型函数综合问题 【题型六】反函数 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域； 2.初步掌握对数函数的图象与性质； 3.能够利用对数函数单调性比较大小，能够解简单的对数型不等式； 4.了解反函数的概念及其它们的图像特点. 【题型一】 对数函数的概念 相关知识点讲解 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 变式练习 1（23-24高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 2（2021高一·上海·专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解. 【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 3（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据对数的运算性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，可知， 对于选项AD：例如，则，， 即，且，故AD错误； 对于选项C：例如，则，， 即，故C错误； 对于选项B：因为，故B正确； 故选：B. 【题型二】 对数型函数的定义域 相关知识点讲解 对数函数定义域是. 【典题1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知集合 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】，， ． 故选：C 变式练习 1（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，然后结合集合交集运算即可求解. 【详解】， 则. 故选：C. 2（23-24高二下·浙江温州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的概念可得，解之即可求解. 【详解】由，解得， 即函数的定义域为. 故选：A 【题型三】 对数型函数的图象辨识 相关知识点讲解 图像 定义域 值域 过定点 【典题1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象． 【详解】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 【典题2】（22-23高一上·上海·阶段练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 变式练习 1（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 2（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 3（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 4（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 【题型四】 对数函数的图象与性质 相关知识点讲解 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【典题1】（24-25高一上·四川达州·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可排除A，根据常见函数的单调性可排除C、D. 【详解】对于A，的定义域为， ，则不是偶函数，故A错误； 对于B，的定义域为， 当时，单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为， 当时，单调递增，故C错误； 对于D，的定义域为， 又，所以是偶函数， 当时，单调递减，故D正确. 故选：D. 变式练习 1（24-25高二下·湖南长沙·期中）在区间为增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性，直接得出答案. 【详解】在区间为减函数； 在区间为减函数； 在区间为增函数； 在区间为减函数. 故选：C. 2（24-25高一下·北京·开学考试）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数与单调递增的定义，可得答案. 【详解】对于A，由，则，，即，故A不符合题意； 对于B，，显然函数是非奇非偶函数，故B不符合题意； 对于C，由函数的定义域为，，则函数是奇函数， 由函数在上单调递增，函数在上单调递减，则函数在上单调递增，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，则函数是非奇非偶函数，故D不符合题意. 故选：C. 3（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性进行判断，A选项为奇函数；B选项为偶函数，在上单调递增；D选项为非奇非偶函数；根据排除法可得C正确. 【详解】对于A，的定义域为，又，故为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，单调递增，B错误； 对于C，的定义域为，又，故为偶函数，当时，在上单调递增，所以在上单调递减，C正确； 对于D，的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：C. 【题型五】对数函数的应用 角度1 比较大小 【典题1】 （2025·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过中间值1，和对数函数的单调性即可判断. 【详解】， ， ， 再结合的单调性可知：， 即， 所以， 故选：D 变式练习 1（天津市十二区重点学校2025届高三毕业班联考（二）数学试题）若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性判定，利用对数函数单调性得到，进而得到，然后作出判定. 【详解】∵函数为单调递增函数，∴ ∵函数单调递增，∴ ∴， ∴大小关系为， 故选：C. 2（24-25高一下·广西贵港·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由，， 且， 所以. 故选：D. 3（24-25高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算化简，再根据指数函数与对数函数的单调性函数值大小即可得结论. 【详解】， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 故. 故选：D. 角度2 对数型复合函数的单调性 【典题1】 （24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】由得，解得或， 所以函数的定义域是， 因为当时，单调递增， 而在定义域内单调递增，故函数的单调增区间是. 故选：D 2 （24-25高三下·江苏镇江·开学考试）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由函数在上单调递增求出此时的范围，进一步结合必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】解：由题意易知或， 且开口向上，且对称轴为， 结合复合函数的单调性知在上单调递增， 所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性； 而函数在上单调递增可知， 显然成立，满足必要性.    故选：B. 3（24-25高一下·湖北·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性、二次函数的单调性结合对数函数定义域列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知，二次函数在区间上单调递减， 所以有. 根据对数函数的定义域可知，应有在区间上恒成立， 则只需要，即，所以. 综上所述，. 故选：D. 角度3 最值问题 【典题1】 （24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，然后利用换元法将其化成二次函数，求其值域即可. 【详解】因，，对于函数， 由，解得，即函数的定义域为， ， 设，则由可得， 而在区间上单调递减， 故当时，取得最小值为. 故选：A. 变式练习 1（22-23高一上·全国·单元测试）若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质有求参数a，再由单调性求最小值. 【详解】由题设，，可得， 所以在上递减，故其最小值为. 故选：B 2（24-25高三下·重庆荣昌·开学考试）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出当和当时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增，所以当时，有最小值， 当时，单调递减，所以，无最小值， 因为在存在最小值，所以， 令，因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增，又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D. 3（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，两种情况，分别求出函数值域，结合题意可得答案. 【详解】当时，在上的值域为；在上单调递增， 则在上值域为，则此时值域不可能为R，则不合题意； 当时，在上的值域为；在上单调递减， 则在上值域为，要使值域为R，则. 故选：B 角度4 对数型函数综合问题 【典题1】 （24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】(1)2 (2)（i）；偶函数（ii） 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； （2）（i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 变式练习 1（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 【答案】C 【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案. 【详解】作出函数的图象，如图： 由题意可知，，且由图象可知，， 所以即， 所以，即，， 即， 故选：C 2（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解. 【详解】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令， 由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增， 故当时，取得最大值为， 由，解得， 所以. 故选：B. 3（24-25高一下·山西·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)研究函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据对数的真数大于得到不等式，即可得解； （2）根据对数型复合函数的单调性判断即可； （3）根据函数的单调性得到，即可得解. 【详解】（1）对于函数，令，即， 解得或， 所以的定义域为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）因为， 又在上单调递增， 不等式等价于， 即或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 4（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 5（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用对数函数的单调性结合对数不等式列式即可求解； （2）先换元设，再把存在类问题化简得出有解，进而得出参数范围. 【详解】（1）因为，， 所以不等式可化为， 又是增函数， 所以，解得，所以原不等式的解集为； （2）由题意令，因为，所以， 所以不等式在上有解， 即在上有解， 分离参数得，所以在上有解， 所以，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以实数的取值范围为； 【题型六】反函数 相关知识点讲解 指数函数且与对数函数互为反函数. 它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 比如 与互为反函数. 【典题1】 （24-25高一上·北京·阶段练习）函数的反函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得函数的反函数，根据对数函数的图象，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，即， 即函数的反函数， 结合对数函数的图象，结合选项，可得D项符合. 故选：D. 变式练习 1（23-24高二下·天津·期末）下列各对函数中，互为反函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互为反函数的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，的反函数为，所以A正确， 对于B，的反函数为，所以B错误， 对于C，的反函数为，所以C错误， 对于D，的反函数为，所以D错误， 故选：A 2（24-25高一上·广东·期中）若函数是函数（且）的反函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式. 【详解】由于函数是函数（且）的反函数，则， 则，解得，因此，. 故选：B. 3（24-25高一上·北京·阶段练习）若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以，所以. 故选：B. 【A组---基础题】 1（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的定义域为D，，，，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对幂的运算性质判断各项对应函数是否满足题设条件即可. 【详解】A：，，，错； B：，，，错； C：，，，对； D：，，，错. 故选：C 2（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的解析式，即可解得的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 3（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】判断并代入求出分段函数的函数值. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 4（24-25高一上·河北张家口·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.如图是函数且的大致图象，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数型函数图象得到、的取值范围，再根据函数平移及指数函数的性质判断即可. 【详解】由函数且的图象可知，， 所以函数在定义域上单调递增， 而函数的图象是由的图象向下平移个单位得到的，结合选项可知只有C选项符合题意. 故选：C 5（22-23高三上·北京昌平·期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过举反例结合函数的性质逐项判断可确定选项. 【详解】A.设，定义域为， 由得，，故在定义域内不是减函数，选项A错误. B.设，定义域为且，故为奇函数， 由是上的增函数可得是上的减函数，选项B正确. C.设，定义域为， 由得，，故在定义域内不是减函数，选项C错误. D.函数定义域为，定义域不关于原点对称，故该函数不是奇函数，选项D错误. 故选：B. 6（2025·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据指数运算的性质比较的大小，再根据对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出这三个数的大小. 【详解】由题可知，， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 故． 故选：A 7（21-22高一上·贵州毕节·期末）已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围. 【详解】∵函数 ∴当时，的范围是；当时，，， 由题意存在最小值，则， 解得. 故选：D． 8（22-23高一上·全国·单元测试）已知函数， (1)若，求的取值范围; (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）利用对数函数的单调性可求参数的取值范围； （2）利用复合函数单调性的判断方法可判断函数的单调性，故可求相应的最值. 【详解】（1）因为，故为上的单调增函数， 故即为. （2）因为在上为增函数，故， 而在上为增函数，故在上为增函数， 故的最大值为，最小值为. 9（24-25高一下·四川自贡·开学考试）已知函数，其中且． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)求使的取值范围． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)当时，的取值范围是． 当时，的取值范围是． 【分析】（1）根据对数的定义知真数大于0，即可求定义域； （2）利用奇偶性的定义得知函数为奇函数； （3）由可得的范围，即可求解. 【详解】（1） ， ，即， 解得， 故的定义域为． （2）的定义域关于原点对称， ， 故函数是奇函数． （3）当时，由可得，解得， 故求使的的取值范围是． 当时，由可得，即，解得， 故求使的的取值范围是． 综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是． 【B组---提高题】 1（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的定义域，接着由函数恒成立得恒成立，分、、和四种情况分析求解不等式解集，从而得，最后代入所求表达式化简利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由题可得函数的定义域为， 因为函数恒成立，而，故， 则或，解得或， 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为，满足题意， 综上所述， 所以， 因为且，即， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故选：C. 2（24-25高三上·辽宁·期末）在数学上，常用表示不大于的最大整数，已知函数，则下列正确的是（    ） A．函数在定义域上是增函数 B．函数的零点有无数个 C．函数在定义域上的值域是 D．不等式解集是； 【答案】B 【分析】利用给定定义判断B，举反例判断A，C，D即可. 【详解】对于A，当时，， 此时，当时，而， 故，则，此时， 得到函数在定义域上不是增函数，故A错误， 对于B，令，解得，即， 此区间内有无数个，故函数的零点有无数个，故B正确， 对于C，当时，， 此时，即函数在定义域上的值域不是，故C错误， 对于D，当时，， 此时，而不在内， 故不等式解集不是，故D错误. 故选：B 3（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）根据函数的奇偶性求参数即可； （3）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若为偶函数，则， 所以， 即恒成立，所以； 当时，函数定义域为，满足， 故若为偶函数，则； （3）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$