预习课第13讲 弧长和扇形面积 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

第13讲 弧长和扇形面积 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 弧长问题 【题型二】 扇形面积 角度1 求扇形面积 角度2 求弓形面积 角度3 求不规则图形面积 【题型三】 圆锥问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握弧长和扇形面积公式，并会求； 2.了解圆锥及其侧面展开图，会求圆锥的侧面积. 1 弧长 半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 2 扇形面积 半径为的圆中，圆心角为的扇形面积. 3 圆锥与侧面展开图 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。 (2). 【题型一】 弧长问题 相关知识点讲解 半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 证明 在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长为圆周长， 所以的圆心角所对的弧长是，即. 所以半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 【典题1】（2025·山东日照·三模）如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 2（2025·江苏南通·二模）如图①，在扇形中，，动点P从点O出发，沿匀速运动，的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为（   ） A．12 B． C．18 D． 3（2025·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，，则劣的长为（    ） A． B． C． D． 4（2025·安徽芜湖·三模）如图，的斜边切于点C，交于点D，交于点E，的延长线与的延长线交于点．已知，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【题型二】 扇形面积 相关知识点讲解 半径为的圆中，圆心角为的扇形面积. 证明 在半径为的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积， 所以的圆心角所对的扇形面积是. 所以半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 又，所以. 角度1 求扇形面积 【典题1】（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·重庆巴南·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则阴影部分的面积是 A． B． C． D． 2（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 角度2 求弓形面积 【典题1】（2025·广东广州·一模）如图，已知正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2（2025·宁夏吴忠·一模）如图，扇形中，，，为弧上的一点，连接，，如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 角度3 求不规则图形面积 【典题1】（2025·辽宁铁岭·三模）如图，等边的边长为6，其内切圆与三边分别相切于点D，E，F，以点B为圆心，长为半径画，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求涂色部分的面积． 【题型三】 圆锥问题 相关知识点讲解 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。 (2). 证明 ； . 【典题1】 （24-25九年级上·四川广安·期中）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，，，若把直角三角形绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为(    ) A．π B．π C．12π D．24π 3（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4（2025·安徽芜湖·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分围成圆锥，则圆锥的底面圆半径为（   ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·陕西西安·期末）圆心角是，半径为的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 2（2025·四川宜宾·二模）圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3（2025·四川绵阳·二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 4（2025·河南平顶山·二模）如图，在中，，以为直径的交于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 5（2025·山西吕梁·二模）如图，是边长为2的等边三角形，以的边为直径画，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6（2025·云南昭通·一模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积与重叠部分（阴影部分）围成圆锥的高分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7（四川省绵阳市2024-2025学年下学期九年级第三次模拟考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在轴的正半轴上．以点为圆心，长为半径画弧．则阴影部分的面积为 ． 8（2025年湖北省黄冈市部分学校中考适应性（一）考试模拟预测数学试题）如图，四边形内接于，为直径，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长．（结果保留） 9（2025·江苏扬州·二模）如图，点P是的直径延长线上一点，，绕点P按逆时针方向旋转，点O旋转到点C，连接交于点D，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【B组---提高题】 1（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 弧长和扇形面积 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 弧长问题 【题型二】 扇形面积 角度1 求扇形面积 角度2 求弓形面积 角度3 求不规则图形面积 【题型三】 圆锥问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握弧长和扇形面积公式，并会求； 2.了解圆锥及其侧面展开图，会求圆锥的侧面积. 1 弧长 半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 2 扇形面积 半径为的圆中，圆心角为的扇形面积. 3 圆锥与侧面展开图 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。 (2). 【题型一】 弧长问题 相关知识点讲解 半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 证明 在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长为圆周长， 所以的圆心角所对的弧长是，即. 所以半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 【典题1】（2025·山东日照·三模）如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、同弧所对圆周角相等、同弧所对圆心角是圆周角的倍 ）、等腰三角形三线合一的性质以及弧长公式．解题的关键在于通过圆周角定理和等腰三角形性质求出圆心角的度数，再代入弧长公式计算弧长．本题需要先利用圆周角定理求出圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质得到相关角度关系，最后运用弧长公式计算弧长． 【详解】解：连接, ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴也是的平分线，即． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴半径． ∴的长度． 故选：C 变式练习 1（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 2（2025·江苏南通·二模）如图①，在扇形中，，动点P从点O出发，沿匀速运动，的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为（   ） A．12 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查弧长公式，根据图象先得到半径长，然后代入弧长公式计算弧长，即可得到a的值解题． 【详解】解：由图象可得， ∴， ∴， 故选：D． 3（2025·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，，则劣的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧长公式，掌握圆的相关性质是解题关键．连接、，由圆周角定理可得，，则，由勾股定理可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ， ，， ， 在中，，， ， ， 劣的长为， 故选：A． 4（2025·安徽芜湖·三模）如图，的斜边切于点C，交于点D，交于点E，的延长线与的延长线交于点．已知，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直角三角形的性质和切线的性质，由是直角三角形，得，得出，由是的切线，得出，由即可得出，由得，故可得出，得出，故可得出，根据弧长计算公式可得结论． 【详解】解：∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 故选：A． 【题型二】 扇形面积 相关知识点讲解 半径为的圆中，圆心角为的扇形面积. 证明 在半径为的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积， 所以的圆心角所对的扇形面积是. 所以半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为. 又，所以. 角度1 求扇形面积 【典题1】（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，勾股定理，三角形的内切圆的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理可得的长，设与的切点分别为D，E，F，连接，则，设的半径为r，可证明四边形是正方形，可得，然后三角形的内切圆的性质，可得到，，从而得到，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图，设与的切点分别为D，E，F，连接，则， 设的半径为r， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C 变式练习 1（2025·重庆巴南·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积公式、圆周角定理等知识，解题的关键正确的识别图形，根据圆周角定理和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 2（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：B． 角度2 求弓形面积 【典题1】（2025·广东广州·一模）如图，已知正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心，则阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积，正确作辅助线是解题的关键． 连接，作于点，得到，，得出是等边三角形，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作于点， 正六边形的半径为1，且点为正六边形的中心， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 变式练习 1（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 2（2025·宁夏吴忠·一模）如图，扇形中，，，为弧上的一点，连接，，如果四边形为菱形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算， 菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得到，，，再由勾股定理求出，进而得到的长，再由列式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接交于E， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：C． 3（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 角度3 求不规则图形面积 【典题1】（2025·辽宁铁岭·三模）如图，等边的边长为6，其内切圆与三边分别相切于点D，E，F，以点B为圆心，长为半径画，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，扇形的面积公式，切线的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先连接，根据题意可得，进而得出，再根据勾股定理得，然后根据面积相等求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 根据等边三角形和圆的对称性，可得点A，O，F三点共线， ∵是等边的内切圆， ∴，． ∵等边的边长为6， ∴， ∴， 根据勾股定理，得． 则， 解得， ∴ ． 故选：D． 变式练习 1（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得到，点是的中点，从而得出是的中位线，于是，阴影部分的面积转化为扇形的面积，进而求解． 【详解】连接、，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 2（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积公式，由四边形为正方形，得，，，再由题意可得，，然后由和扇形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，，， ∵点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：． 3（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求涂色部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，推出，得到，即可得到结论； （2）根据题意得到，推出，， 则，，，根据勾股定理得到，求出，得到涂色部分的面积为． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：在中，， ． 由（1）可知， ． ． 设， 则，，， 在中，， ， ， ． ∴涂色部分的面积为． 【题型三】 圆锥问题 相关知识点讲解 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长。 (2). 证明 ； . 【典题1】 （24-25九年级上·四川广安·期中）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角度数为， ， ， ， ，即， 又， ， 故选：B． 变式练习 1（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积求解，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面半径，再由圆锥的侧面积公式（为底面圆半径，为母线）求解即可． 【详解】解：∵高与底面垂直， ∴高，母线，半径组成的三角形的是直角三角形， ∴底面半径为：， ∴圆锥的侧面积为， 故选：D． 2（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，，，若把直角三角形绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为(    ) A．π B．π C．12π D．24π 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、圆的周长公式和扇形面积公式． 易得此几何体为两个圆锥的组合体，那么表面积为两个圆锥的侧面积，应先利用勾股定理求得长，进而求得圆锥的底面半径．利用圆锥的侧面积=底面周长母线长求解即可． 【详解】解：，，由勾股定理得，， 斜边上的高， 由几何体是由两个圆锥组成， ∴几何体的表面积， 故选：A． 3（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为 ，进而得到 ，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为 ， 四边形为正方形， 则 ，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得 ， 故选：C． 4（2025·安徽芜湖·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分围成圆锥，则圆锥的底面圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质， 根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于其底面圆周长即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O， ∴， ， ， 设圆锥底面圆半径为r，则， ∴, 故选：C． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·陕西西安·期末）圆心角是，半径为的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长公式（是扇形的圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解． 【详解】解：， ∴弧长， 故选：B ． 2（2025·四川宜宾·二模）圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积公式直接计算即可求解，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 3（2025·四川绵阳·二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底面圆的直径为6cm，高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（    ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， ∴这个圆锥的母线长， 则这个圆锥的侧面积． 故选：C． 4（2025·河南平顶山·二模）如图，在中，，以为直径的交于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，根据平行四边形的性质，求出的度数，的长，进而求出半径的长，圆周角定理求出，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ． ∵为的直径， ∴． ∵， ∴的长为 故选D． 5（2025·山西吕梁·二模）如图，是边长为2的等边三角形，以的边为直径画，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形基本性质，扇形的面积，求不规则图形的面积，能够正确做出辅助线是解题关键； 如图，连接，过点作于点，先算出扇形，的面积，再用的面积减去即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵是边长为2的等边三角形，以的边为直径画， ∴，，，, ， ∴都是边长为1的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6（2025·云南昭通·一模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积与重叠部分（阴影部分）围成圆锥的高分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形，扇形面积的计算，圆锥的侧面展开图，勾股定理，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，根据扇形面积公式计算即可；阴影部分为圆锥的侧面展开图，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，先求底面圆的半径，利用勾股定理即可求解圆锥的高． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ． 如图， 阴影部分围成圆锥， 圆锥的底面周长即扇形的弧长， 弧长， 圆锥的底面半径， 圆锥的母线长为， 圆锥的高． 故选：D． 7（四川省绵阳市2024-2025学年下学期九年级第三次模拟考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好落在轴的正半轴上．以点为圆心，长为半径画弧．则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题先从点A的坐标入手得出等腰直角三角形，由旋转的性质可得旋转角，再由勾股定理求出线段的长度，最后根据面积公式求解即可．本题考查了直角坐标系中点的坐标，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积以及扇形的面积等，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∵， ∴，，， ∴， 由旋转性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： ． 8（2025年湖北省黄冈市部分学校中考适应性（一）考试模拟预测数学试题）如图，四边形内接于，为直径，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长．（结果保留） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由是的直径，得到，进而推出，即可得证结论； （2）连接．求出，根据圆周角定理得到，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ，， ． ， ， ， 是的切线； （2）解：连接． ， ， ， 的长为． 9（2025·江苏扬州·二模）如图，点P是的直径延长线上一点，，绕点P按逆时针方向旋转，点O旋转到点C，连接交于点D，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算． （1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 如图，连接， 根据题意得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 【B组---提高题】 1（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，边上有一动点D，作点B关于直线的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长 到点 ，使 ，连接 ，由 垂直平分 ，得 ，则   ，所以 ，由点 与点 关于直线 对称，得 ，当点 与点 重合时，则点 与点 重合，所以点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2 的圆上的一段弧，即 ，根据弧长公式求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长 到点 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 与点 关于直线 对称， ∴直线 垂直平分 ， ， ∴点 在以点 为圆心，半径为2的圆上运动， ∵当点 与点 重合时，则点 与点 重合， ∴点 的运动路径为以点 为圆心，半径为2的圆上的一段弧，即 ， ， ∴点 的运动路径长为 ， 故选：C．  ． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，弧长公式，轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 2（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减及扇形面积的计算．过点作，交、于点、，连接，可知、，从而可得，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，交、于点、，连接， 四边形为正方形， ，，， ，， 设，则， ，， ． 故选：A ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$