预习课第12讲 正多边形和圆 暑假讲义2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

第12讲 正多边形和圆 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 正多边形中角度问题 【题型二】 正多边形中长度问题 【题型三】 正多边形中面积问题 【题型四】 综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解正多边形的有关概念：中心角、边心距，并会正多边形的中心角和边心距； 2.理解正多边形与其外接圆的关系. 1 正多边形的有关概念 如上图，是中心，边长，是中心角，是边心距. 对于正边形，中心角，边心距. 2 特殊正多边形中各中心角、长度比 正多边形 中心角 【题型一】 正多边形中角度问题 相关知识点讲解 1 正多边形的有关概念 如上图，是中心，边长，是中心角，是边心距. 对于正边形，中心角，边心距. 2 特殊正多边形中各中心角、长度比 正多边形 中心角 【典题1】（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 2（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 4（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【题型二】正多边形中长度问题 【典题1】 （24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【典题2】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 变式练习 1（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（   ） A．18 B．36 C． D． 2（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 3（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，连接FB．若，则FB的长为（   ） A．3 B． C． D． 4（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型三】正多边形中面积问题 【典题1】（24-25九年级上·广东珠海·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，⊙的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙的面积，可得的估计值为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 2（2025·安徽池州·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，边长为的正六边形中，为正六边形的中心，分别为边和边上的点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4（2025·山西朔州·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型四】 综合问题 【典题1】（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 变式练习 1（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 2（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【A组---基础题】 1（2025·安徽六安·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（    ） A． B． C． D． 3（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 4（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为 A．2 B． C． D．4 5（2025·山西长治·模拟预测）如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6（2025·陕西·模拟预测）如图，将两个全等的边长为的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 7（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【B组---提高题】 1（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在边长为4的正方形中，与相交于点，是同平面内的一动点，且，是中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·广东惠州·期末）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 正多边形和圆 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 正多边形中角度问题 【题型二】 正多边形中长度问题 【题型三】 正多边形中面积问题 【题型四】 综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解正多边形的有关概念：中心角、边心距，并会正多边形的中心角和边心距； 2.理解正多边形与其外接圆的关系. 1 正多边形的有关概念 如上图，是中心，边长，是中心角，是边心距. 对于正边形，中心角，边心距. 2 特殊正多边形中各中心角、长度比 正多边形 中心角 【题型一】 正多边形中角度问题 相关知识点讲解 1 正多边形的有关概念 如上图，是中心，边长，是中心角，是边心距. 对于正边形，中心角，边心距. 2 特殊正多边形中各中心角、长度比 正多边形 中心角 【典题1】（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 变式练习 1（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A． 2（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得，，进而可得答案． 【详解】解：∵是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 3（2025·山东济宁·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的北偏东的角度是； 故选：C． 4（2025·江苏镇江·一模）如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 【题型二】正多边形中长度问题 【典题1】 （24-25九年级上·山东济宁·期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接，，交于，求出中心角，得到为等边三角形，根据垂径定理推论得到，，则，那么，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于， 六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ， 故选：C． 【点睛】】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典题2】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接正多边形、菱形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．连接于点，设的半径为，则，先证出四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，连接于点， 设的半径为，则， ∵正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径为， 故选：D． 变式练习 1（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周长的公式可算出直径，由正六边形内接于可知正六边形的半径为6，，又正六边形的中心角为，所以正六边形的边长也为6，即可求出正六边形的边长． 【详解】∵， ∴， 即， ∵正六边形内接于， ∴边长= ， ∴周长=． 故选B． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形的相关性质，解决本题的关键是正六边形的边长和它的半径相等． 2（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的中心角，求出正六边形的中心角的度数，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过作， ， 又∵正六边形中心角， ∴为正三角形， ， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 3（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，连接FB．若，则FB的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、圆与正多边形、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 由题意可得，，进而得到，如图：过A作，根据等腰三角形的性质可得，30度直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求得，进而完成解答． 【详解】解：∵六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴ 如图：过A作， ∴， ∴， ∴． 故选D． 4（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 【题型三】正多边形中面积问题 【典题1】（24-25九年级上·广东珠海·期末）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，⊙的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙的面积，可得的估计值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正六边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心，    过作于， 在正六边形中，， ， ∴是等边三角形，， ， ， 正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 故选：B． 变式练习 1（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解： 的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：A． 2（2025·安徽池州·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．如图，过作于，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 圆的内接正八边形的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正八边形的面积为， 故选：． 3（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，边长为的正六边形中，为正六边形的中心，分别为边和边上的点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由正六边形的性质可得和为等边三角形，进而可得，再证明，得到，即得，据此即可求解，掌握正六边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于， ∵为正六边形，为正六边形的中心， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4（2025·山西朔州·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 故选C． 【题型四】 综合问题 【典题1】（2025·江西·模拟预测）如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 变式练习 1（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）综合与实践 某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．      【探究发现】 当周长为时，计算回答下列问题： （1）正方形的面积为________． （2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程． （3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）    【应用结论】 张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由． 【答案】[探究发现]（1）；（2）或（3）；[应用结论]能，理由见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用； 【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解; （3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解； 【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． （2）解：作于点， 是等边三角形，周长为，则， ， 在中，由勾股定理得：， ；    （3）∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∵正六边形的周长为，则边长为， ∴正六边形的面积为；    ∵、、、， ∴， 【应用结论】解：能，护栏网围成圆时，面积能达到； 根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大， ∵的周长为， ∴半径为， ∴面积为； ∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到． 【A组---基础题】 1（2025·安徽六安·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识，根据多边形的内角和可以求得，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，掌握正六边形的性质是解题关键． 先求出正六边形的边长，再构建直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】解：如图：连接，作 ． ∵圆内接正六边形的周长为24， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴正六边形的边心距是． 故选B． 3（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 4（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确解答此题的关键． 根据正六边形的性质以及勾股定理进行计算即可。 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， , 即它的内切圆半径为， 故答案为：C. 5（2025·山西长治·模拟预测）如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形，连接，在上任意取一点Q，连接，，根据正六边形的性质求出，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，然后求出结果即可，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 ，是解决问题的关键． 【详解】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 6（2025·陕西·模拟预测）如图，将两个全等的边长为的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，设与相交于点，则，，由正六边形的性质得是等边三角形，即得，，利用勾股定理求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点，则，， ∵多边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题； （2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，连接、． 四边形是正方形， ， ； （2）解：如图2中，连接，，，，作于． ∵，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【B组---提高题】 1（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在边长为4的正方形中，与相交于点，是同平面内的一动点，且，是中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至H，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解． 【详解】解：∵是同平面内的一动点，， ∴点为正方形外接圆上一点， 延长至H，使， ∵是中点， ∴为的中位线， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时，最小， 过点O作于M， ∵为正方形，边长为4， ， ， ， ， ∴的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形的外接圆，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键． 2（24-25九年级上·广东惠州·期末）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析 (3)1． 【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解； （2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到； （3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形， ∴， 当点E在优弧AD上时，， 当点E在劣弧AD上时，， 综上，的度数为或； （2），理由如下， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点， ∴， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴，， ∴当边上的高最小时，面积取得最小值， ∴当点与点A重合，此时点E与点D重合， ∴边上的高就是的长， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$