预习课第11讲 点与圆、直线与圆的位置关系 暑假讲义2025-2026学年九年级数学上册（人教版2024）

第11讲 点与圆、直线与圆的位置关系 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 点与圆的位置关系 【题型二】 直线与圆的位置关系 【题型三】 切线性质定理 【题型四】 切线判定定理 【题型五】 切线长定理 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握点、直线与圆的位置关系； 2.掌握切线的性质和判定； 3.掌握切线长定理. 1 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆的半径为， ① 点在圆内；② 点在圆上；③ 点在圆外. 2 直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为，圆的半径为， 位置关系 相离 相切 相交 图形 交点 个 个 个 数量关系 3 切线的性质 ① 切线与圆只有一个公共点； ② 切线到圆心的距离等于圆的半径； ③ 切线垂直于经过切点的半径. 4 切线的判定 ① 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)； ② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 5 切线长定理 (1)定义 从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长； (2)切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，圆心到这一点的连线平分两条切线的夹角. 【题型一】 点与圆的位置关系 相关知识点讲解 设点到圆心的距离为，圆的半径为， ① 点在圆内；② 点在圆上；③ 点在圆外. 【典题1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是(   ) A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 变式练习 1（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 2（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【题型二】 直线与圆的位置关系 相关知识点讲解 设圆心到直线的距离为，圆的半径为， 位置关系 相离 相切 相交 图形 交点 个 个 个 数量关系 【典题1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 变式练习 1（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 2（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 3（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 4（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B．或 C． D． 【题型三】 切线性质定理 相关知识点讲解 ① 切线与圆只有一个公共点； ② 切线到圆心的距离等于圆的半径； ③ 切线垂直于经过切点的半径. 【典题1】（2025·重庆·二模）如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【典题2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·山西朔州·三模）如图，为的弦，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2（2025·河南周口·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，过点C作的切线，过点B作交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3（四川省绵阳市2024-2025学年下学期九年级第三次模拟考试数学试卷）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A．4或 B．4或 C．6或 D．6或 4（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知点，P为边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆，过点P作的切线，交线段于点F，将沿翻折得到．当点恰好落在上时，点P的横坐标为（   ） A．3 B． C．4 D． 【题型四】 切线判定定理 相关知识点讲解 ① 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)； ② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【典题1】（2025·山东潍坊·一模）如图，是的外接圆，是的直径，且，过点作的垂线，交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 变式练习 1（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，连接、，平分，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 2（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆交于点． (1)求证：与相切 (2)若 ，，求的长． 【题型五】 切线长定理 相关知识点讲解 (1)定义 从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长； (2)切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，圆心到这一点的连线平分两条切线的夹角. 如上图，，是圆的切线，则，. 也易得是线段的中垂线. 【典题1】（2025·浙江台州·二模）如图，已知的半径长是分别切于点，连结并延长交于点，连结．若四边形是菱形，则的长是（　　） A．5 B． C．6 D． 变式练习 1（2025·四川眉山·一模）如图，、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 3（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【A组---基础题】 1（2025九年级下·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 2（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 3（2025·宁夏银川·一模）如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连结，若，则等于（  ） A． B． C． D． 4（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该切线的直线相交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5（2025·四川南充·模拟预测）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 6（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 7（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 8（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 【B组---提高题】 1（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，，，与、均相切，点P是线段与抛物线的交点，则a的值为（    ） A．4 B． C． D．5 2（2025·四川绵阳·二模）如图，矩形中，，，为边上点，以为圆心，为半径作的一部分，其中点在边上，且与相切，延长至平分，平分，则长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 点与圆、直线与圆的位置关系 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 点与圆的位置关系 【题型二】 直线与圆的位置关系 【题型三】 切线性质定理 【题型四】 切线判定定理 【题型五】 切线长定理 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握点、直线与圆的位置关系； 2.掌握切线的性质和判定； 3.掌握切线长定理. 1 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆的半径为， ① 点在圆内；② 点在圆上；③ 点在圆外. 2 直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为，圆的半径为， 位置关系 相离 相切 相交 图形 交点 个 个 个 数量关系 3 切线的性质 ① 切线与圆只有一个公共点； ② 切线到圆心的距离等于圆的半径； ③ 切线垂直于经过切点的半径. 4 切线的判定 ① 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)； ② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 5 切线长定理 (1)定义 从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长； (2)切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，圆心到这一点的连线平分两条切线的夹角. 【题型一】 点与圆的位置关系 相关知识点讲解 设点到圆心的距离为，圆的半径为， ① 点在圆内；② 点在圆上；③ 点在圆外. 【典题1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是(   ) A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据垂径定理可得，由含角的直角三角形的性质，可得，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，进而求出圆的半径，即可求解． 【详解】解： 于点，， ， 又 ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：（负值已舍去）， 半径为， ，且， 点在外， 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． 变式练习 1（24-25九年级上·河南郑州·期末）的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（  ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．点在上或外 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵的半径为，圆心的坐标为， ∴点与的位置关系是点在上， 故选：B ． 2（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 【题型二】 直线与圆的位置关系 相关知识点讲解 设圆心到直线的距离为，圆的半径为， 位置关系 相离 相切 相交 图形 交点 个 个 个 数量关系 【典题1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，过A点作于H，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 【详解】解：过A点作于H，如图， ， ， 在中， ， ， ∴B点在外，所以A选项不符合题意； ， ∴C点在外，所以C选项不符合题意； ， ∴直线与相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：D． 变式练习 1（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交， ∴直线与有2个交点， 故选：B． 2（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系． 根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【详解】解：∵的半径为，线段，线段 ∴点在以为圆心长为半径的圆上，点在以O圆心长为半径的上 当时，如左图所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如右图所示，过点作于点，则所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 3（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系的判定．作于点，根据等腰三角形的性质得出,进而根据勾股定理求得，即可得到圆与直线的位置关系． 【详解】解：如图所示，作于点， ∵， ∴ 在中， ∵的半径是， 与相交， 故选：A． 4（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由可得以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有公共点，即可得出的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作于，如图： ， 的面积 即圆心到的距离 ∴以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有公共点，则的取值范围是：， 故选：D． 【题型三】 切线性质定理 相关知识点讲解 ① 切线与圆只有一个公共点； ② 切线到圆心的距离等于圆的半径； ③ 切线垂直于经过切点的半径. 【典题1】（2025·重庆·二模）如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角．利用切线的性质求得，求得，利用等边对等角求得，利用三角形内角和定理求得，利用圆周角定理求得，再利用等边对等角和圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【典题2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时， ， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 变式练习 1（2025·山西朔州·三模）如图，为的弦，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆的切线可得，由圆周角定理可得，即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， 故选：D． 2（2025·河南周口·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，过点C作的切线，过点B作交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先根据圆周角定理以及平行得到，则根据互余求得，再由等边对等角即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3（四川省绵阳市2024-2025学年下学期九年级第三次模拟考试数学试卷）如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A．4或 B．4或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图形上点的坐标特征、切线的性质、垂径定理、勾股定理，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，由切线的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；掌握垂径定理，切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形由勾股定理进行求解是解题关键． 【详解】解：如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接， ， 与x轴相切， 轴， ， 的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上， 设， ， ， 在中， ， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 半径是6或； 故选：C． 4（2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，已知点，P为边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆，过点P作的切线，交线段于点F，将沿翻折得到．当点恰好落在上时，点P的横坐标为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作于点M，则，证明，求出，，即点P的横坐标为4，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， 是的切线， ． 连接，如解图，则． 过点A作于点M，则． ∵，， 又 ， ． ． ． ． 又 ， ． ，， 即点P的横坐标为4， 故选C． 【题型四】 切线判定定理 相关知识点讲解 ① 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)； ② 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【典题1】（2025·山东潍坊·一模）如图，是的外接圆，是的直径，且，过点作的垂线，交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，则，证明得出，即可得证； （2）作，垂足为点，证明四边形是矩形，得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：连接，则， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为是的半径， 所以与相切； （2）解：作，垂足为点，连接， 因为， 所以， 因为， 所以四边形是矩形， 所以， 所以在中，即半径为5． 变式练习 1（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，连接、，平分，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】（1）要证明 是 的切线，需证明 ．根据角平分线性质得到等弧，进而推出 ，再结合 ，从而得证． （2）先利用直径所对圆周角是直角，结合勾股定理求出 的长．再根据（1）中 得出 的长．最后通过证明四边形 是矩形，得出 ． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图． ∵平分， ， ∴，即点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴． ∵的半径为， ． ∵， ． 由（1）得． ∴，即． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的相关性质（如直径所对圆周角为直角、等弧与垂径定理的联系）、角平分线性质、勾股定理以及矩形的判定与性质．解题关键在于利用圆中角和弧的关系证明垂直，通过勾股定理计算线段长度，以及借助平行和垂直关系判定矩形来求解线段长． 2（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在矩形中，为的中点，的外接圆交于点． (1)求证：与相切 (2)若 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长交于点，根据矩形的性质得到，推出，得到，推出，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，过点作于点，证明四边形为矩形，得到，求出． 【详解】（1）证明，：如图，连接，延长交于点. 矩形， ， 为的中点 ， ， ， ， ， ， . ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接，过点作于点. ， 为的直径. ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型五】 切线长定理 相关知识点讲解 (1)定义 从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长； (2)切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，圆心到这一点的连线平分两条切线的夹角. 如上图，，是圆的切线，则，. 也易得是线段的中垂线. 【典题1】（2025·浙江台州·二模）如图，已知的半径长是分别切于点，连结并延长交于点，连结．若四边形是菱形，则的长是（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，，根据菱形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 切于点， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 变式练习 1（2025·四川眉山·一模）如图，、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 【详解】解：连接， 、是的切线，切点为A、D，点B、C在上， 四边形是的内接四边形， ， 、是的切线，切点为A、D， 根据切线定理得出：， ， ， ， 故选：B． 2（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 3（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 【A组---基础题】 1（2025九年级下·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系是解题的关键． 根据点坐标，求得点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，于是得到结论． 【详解】解：∵点坐标， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为， ∵以为圆心，个单位长度为半径作圆， ∴原点在外，与轴相切，与轴相交，故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 2（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，在中，斜边上的高是，若以点D为圆心，以的长为半径画圆，则原点O在这个圆的（    ） A．外面 B．内部 C．圆周上 D．以上三种都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系是关键． 根据勾股定理得到，则，即圆的半径为，由等面积法得到，由此即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴原点O在这个圆的内部， 故选：B ． 3（2025·宁夏银川·一模）如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连结，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由 ，求得 的度数，再结合 是 的直径， 切 于点，即可得到结论． 【详解】解： , , , 是的直径，切于点 ， 即 ， ． 故选：D． 4（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该切线的直线相交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，由题意可得，再根据圆周角定理可得，由切线的性质得到，利用四边形内角和求出，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 5（2025·四川南充·模拟预测）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 6（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【答案】D 【分析】本题考查与圆内切三角形．熟练掌握圆内切三角形性质，切线性质，切线长定理，正方形判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 设的半径为r，分别切的三边于D、E、F，连接，证明四边形是正方形，得，得，，由，得，解得，即得． 【详解】解：设分别切的三边于D、E、F，半径为r，连接， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 7（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键．连接，先证明得到，再利用平行线的性质得到，进而利用切线的判定定理可得结论． 【详解】证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴是的切线． 8（2025·陕西汉中·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明为的中位线，则，再运用，所以，即可作答． （2）证明为等腰直角三角形．再根据的直径为8，以及勾股定理得 ，证明四边形为矩形，则，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴． ∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：过点O作于点E，如图． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∵的直径为8， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【B组---提高题】 1（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，，，与、均相切，点P是线段与抛物线的交点，则a的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】先证明是等腰直角三角形，再运用待定系数法求一次函数的解析式，然后设点的坐标为，由点、的坐标得，，则，由，得到，进而求解． 【详解】解：设与、分别相切于点M、N，连接、， 设圆的半径为，则， ∵，， ∴， 由题意知，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴直线与轴的夹角为， ∵轴， ∴, ∴是等腰直角三角形， 则， 设直线的表达式为， 由点、的坐标得， 解得， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， 由点、的坐标得，， 则， ∵与、分别相切于点、， 故， 在中，，， ∴ 则， 即，解得， ∴ 故点的坐标为， 将点的坐标代入， 则 得， 故选：D． 【点睛】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用，等腰三角形的判定与性质等，综合性强，难度适中． 2（2025·四川绵阳·二模）如图，矩形中，，，为边上点，以为圆心，为半径作的一部分，其中点在边上，且与相切，延长至平分，平分，则长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过点F分别作的垂线，垂足为，连接，，由角平分线得到，由全等三角形的性质得到，而，则在中，由勾股定理得，设半径为，则，在中，由勾股定理得：，解得：，设，则，，同理可证明：，则，故，求出，最后对运用勾股定理即可． 【详解】解：过点F分别作的垂线，垂足为，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 由题意得：与相切，而与相切， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 则， 设半径为，则， ∴在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴设， 则，， 同理可证明：， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴中，由勾股定理求得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$