预习课第13讲 幂的运算 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第13讲 幂的运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 同底数幂相乘 【题型二】 幂的乘方 【题型三】 积的乘方 【题型四】 幂的混合运算 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解并应用同底数幂的乘法法则； 2.理解幂的乘方、积的乘方运算法则及其应用. 1 同底数幂相乘 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2 幂的乘方 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3 积的乘方 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【题型一】 同底数幂相乘 相关知识点讲解 1 引入 （1）回顾下乘方的意义：； （2）根据乘方的意义填空，观察计算结果，你们能发现什么规律么？ ，，，(m,n是正整数). 2 同底数幂相乘 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 证明 . 【例】 ，. 【典题1】（2025·浙江湖州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 变式练习 1（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘法进行排除选项 【详解】解：； 故选：C ． 2（2025·河北石家庄·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是要注意运算顺序． 先计算同底数幂的乘法，再通过类似于合并同类项转化为同底数幂相乘，然后得出结果． 【详解】解：． 故选：B ． 3（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 4（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，由得，进而由同底数幂的乘法即可求解，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 5（2025·山东日照·二模）若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的运算法则可将原式变形为，即为，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即； 故选：C. 【题型二】幂的乘方 相关知识点讲解 1 引入 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你们能发现什么规律么？ ，，，(m,n是正整数). 2 幂的乘方 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列计算结果为的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 【典题2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故该选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意． 故选：A． 3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．根据幂的乘方将，转化为，求得，利用同底数幂的乘法将，转化为，求得，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 4（2024八年级上·全国·专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方运算进行化简，然后根据指数的大小即可判断． 【详解】解：∵, , , ∵， ∴． 故选：A． 【题型三】积的乘方 相关知识点讲解 1 引入 填空，运算过程用到了哪些运算律？运算结果有什么规律？ ， = =. 2 积的乘方 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】（2023·江苏扬州·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、同底数要的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练练握这些运算的法则并正确运用． 根据整式运算的相关法则，对每个选项逐一进行计算判断． 【详解】A、与中的指数不同，不是同类项，不能合并，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项错误； D、，该选项正确． 故选：D． 变式练习 1（2025·陕西榆林·三模）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方， 根据幂的乘方法则计算，幂的乘方等于底数不变，指数相乘． 【详解】解：． 故选：B． 2（2025·云南玉溪·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法以及积的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据以上运算法则进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【题型四】幂的混合运算 【典题1】（2023八年级上·全国·专题练习）计算 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先算幂的乘方，再进行幂的乘法运算，最后合并同类项即可，解题的关键是熟悉幂的运算法则． 【详解】解：， ， ， 变式练习 1（16-17七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算： a3·a5+(－a2)4－3a8 【答案】-a8 【分析】先算幂的乘方与同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2（18-19七年级下·全国·单元测试）化简：． 【答案】 【分析】由幂的运算性质计算后，再合并同类项即可． 【详解】原式 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正整数指数幂的运算：同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，合并同类项，掌握幂的三种运算是关键． 3（21-22八年级上·全国·课后作业）计算： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可． 【详解】解：（1）， =， =， =； （2）， =， =， =， =． 【点睛】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键． 4（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到即可得到结论； （2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题． 【详解】（1）证明：， . 即. （2）解：． 【A组---基础题】 1（2023·河北沧州·模拟预测）算式的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将原式转换为乘法后，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是将原式转换为同底数幂的乘法． 2（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂相乘等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 5（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列计算：①；②；③；④．其中，计算结果为的有（   ） A．①和③ B．①和② C．②和③ D．③和④ 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则对各选项计算后即可得出结果． 【详解】①，不符合题意； ②，符合题意； ③，符合题意； ④，不符合题意． 综上所述，计算结果为的有②和③． 故选：C． 6（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则可以表示为 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题关键．将改写成，再计算积的乘方即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7（24-25八年级上·福建福州·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握积的乘方幂的乘方运算法则成为解题的关键． 先根据积的乘方幂的乘方运算法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【B组---提高题】 1（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2（24-25七年级下·广东深圳·期中）麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，根据新定义及幂的运算法则逐一排除即可，熟记幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，原选项正确，符合题意； ∵，， ∴，原选项正确，符合题意； 设，，， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 设，，， ∴，，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； ∴正确，共个， 故选：． 3（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 幂的运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 同底数幂相乘 【题型二】 幂的乘方 【题型三】 积的乘方 【题型四】 幂的混合运算 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解并应用同底数幂的乘法法则； 2.理解幂的乘方、积的乘方运算法则及其应用. 1 同底数幂相乘 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2 幂的乘方 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3 积的乘方 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【题型一】 同底数幂相乘 相关知识点讲解 1 引入 （1）回顾下乘方的意义：； （2）根据乘方的意义填空，观察计算结果，你们能发现什么规律么？ ，，，(m,n是正整数). 2 同底数幂相乘 都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 证明 . 【例】 ，. 【典题1】（2025·浙江湖州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 2（2025·河北石家庄·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 5（2025·山东日照·二模）若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是 A． B． C． D． 【题型二】幂的乘方 相关知识点讲解 1 引入 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你们能发现什么规律么？ ，，，(m,n是正整数). 2 幂的乘方 都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列计算结果为的是 （   ） A． B． C． D． 【典题2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则x的值为（　　） A．17 B．16 C．15 D．14 变式练习 1（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4（2024八年级上·全国·专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【题型三】积的乘方 相关知识点讲解 1 引入 填空，运算过程用到了哪些运算律？运算结果有什么规律？ ， = =. 2 积的乘方 都是正整数) 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 证明 . 【例】，. 【典题1】（2023·江苏扬州·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·陕西榆林·三模）计算（   ） A． B． C． D． 2（2025·云南玉溪·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】幂的混合运算 【典题1】（2023八年级上·全国·专题练习）计算 变式练习 1（16-17七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算： a3·a5+(－a2)4－3a8 2（18-19七年级下·全国·单元测试）化简：． 3（21-22八年级上·全国·课后作业）计算： （1）；     （2）． 4（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 【A组---基础题】 1（2023·河北沧州·模拟预测）算式的运算结果是（    ） A． B． C． D． 2（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）可以表示为（   ） A． B． C． D． 3（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列计算：①；②；③；④．其中，计算结果为的有（   ） A．①和③ B．①和② C．②和③ D．③和④ 6（2025七年级下·全国·专题练习）若，，则可以表示为 7（24-25八年级上·福建福州·期中） ． 8计算： (1)； (2) 【B组---提高题】 1（21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·广东深圳·期中）麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（   ） ； ； ； ． A．个 B．个 C．个 D．个 3（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 10 学科网（北京）股份有限公司 $$