预习课第10讲 等腰三角形 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第10讲 等腰三角形 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 等边对等角 【题型二】 三线合一 【题型三】 等腰三角形的判定 【题型四】 等角对等边求线段长度 【题型五】 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握等腰三角形的定义和性质； 2.掌握等腰三角形的判定。 1 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). 2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 【题型一】等边对等角 相关知识点讲解 等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； 如下图，在中，，则. 你们能给出证明么？ 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对等角成为解题的关键． 由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，进而完成解答． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式练习 1（2025·陕西宝鸡·二模）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点在上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．解题的关键是分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识求解．根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得，由可得，从而即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， 又， ． 故选：． 3（2025·云南楚雄·三模）如图，直线，直线分别与，交于点，，分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，相交于，两点，作直线交直线于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ∵， ∴， ∵， ． 故选：B． 【题型二】三线合一 相关知识点讲解 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). ① 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ② 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ③ 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且. 你们能给出证明么？ 【典题1】（2025·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 【典题2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积是四边形的面积的2倍，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形的证明及基本性质，中线基本性质，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）先证，再通过全等三角形性质即可得证； （2）先通过全等性质得到，再通过中线基本性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，D是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：的面积是四边形的面积的2倍，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 变式练习 1（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，平分， ∴， 故A，C，D正确， 没有条件证明，故B错误， 故选：B． 2（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 4（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得，推出，由，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【详解】 解：∵，且的周长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【题型三】等腰三角形的判定 相关知识点讲解 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 如下图，在中，，则. (均用全等三角形证明) 【典题1】（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证得和是直角三角形，利用HL证明，即可； （2）由得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，， ，， 在和中，， ； （2）证明：， ， ， 是等腰三角形． 变式练习 1（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理： （1）由平行线的性质可得，则，据此可证明结论； （2）由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型四】等角对等边求线段长度 【典题1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，分别交于点，连接，且．若，则的长为（   ） A．16.5 B．15.5 C．14 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行得到，继而等量代换得到，则，再由线段和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式练习 1（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，已知平分，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查等角对等边，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，， 分别平分和，过点 作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，，进而可得，，再根据三角形的周长和线段的和差解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵、分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 故选：． 3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求． 【详解】解：平分，， 则，， 又∵， ∴， ，， ∴ 又， ， ∴， 故选：C． 【题型五】 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典题1】 （21-22八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便． 变式练习 1（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 2（18-19八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图， 以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便． 【A组---基础题】 1（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∵为边上的高线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，已知，可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的平分线，， ∴， 故选：C． 4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，三线合一求出的度数即可． 【详解】解：∵是高线， ∴， ∵ ∴， ∵，是的中线， ∴； 故选D． 5（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 故选：D． 6（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7（2025·湖南怀化·二模）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，设，则，在中，由三角形内角和定理建立方程求解，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，，则，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，首先根据中点定义可得，再说明和是直角三角形，然后根据定理证明，可得，进而证明即可． 【详解】解：理由如下： ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． (1)若，的周长为10，求的周长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形外角的性质， （1）根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可推出，即可求解； （2）根据对顶角相等可得，根据垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质得，进而根据三角形外角的性质即可求解； 解题的关键是掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【详解】（1）解：∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，线段的垂直平分线交于点C，且，，则的度数为（    ） A．168° B．158° C．148° D．138° 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．先由线段垂直平分线的性质得，，得到，，再证，得，然后由三角形内角和定理得，进而得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 线段，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：． 2（20-21八年级上·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等腰三角形 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 等边对等角 【题型二】 三线合一 【题型三】 等腰三角形的判定 【题型四】 等角对等边求线段长度 【题型五】 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握等腰三角形的定义和性质； 2.掌握等腰三角形的判定。 1 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). 2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 【题型一】等边对等角 相关知识点讲解 等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)； 如下图，在中，，则. 你们能给出证明么？ 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·陕西宝鸡·二模）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 2（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点在上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3（2025·云南楚雄·三模）如图，直线，直线分别与，交于点，，分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，相交于，两点，作直线交直线于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型二】三线合一 相关知识点讲解 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一). ① 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ② 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且； ③ 如下图，在等腰三角形中，，且，则，且. 你们能给出证明么？ 【典题1】（2025·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 【典题2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，D是的中点，E、F分别是、上的动点且，连接． (1)证明：； (2)和四边形的面积有什么关系，说明理由． 变式练习 1（24-25八年级上·重庆·期中）如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 4（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【题型三】等腰三角形的判定 相关知识点讲解 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边) 如下图，在中，，则. (均用全等三角形证明) 【典题1】（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 变式练习 1（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【题型四】等角对等边求线段长度 【典题1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，分别交于点，连接，且．若，则的长为（   ） A．16.5 B．15.5 C．14 D．13 变式练习 1（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，已知平分，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 2（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，， 分别平分和，过点 作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（      ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【题型五】 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【典题1】 （21-22八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 变式练习 1（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2（18-19八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【A组---基础题】 1（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．则等于（　　） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 5（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7（2025·湖南怀化·二模）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则 °． 8（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点是的中点，，，、为垂足，，则，请说明理由． 9（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． (1)若，的周长为10，求的周长． (2)若，，求的度数． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，线段的垂直平分线交于点C，且，，则的度数为（    ） A．168° B．158° C．148° D．138° 2（20-21八年级上·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 10 学科网（北京）股份有限公司 $$