预习课第09讲 轴对称、垂直平分线 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第09讲 轴对称、垂直平分线 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 轴对称图形的识别 【题型二】 垂直平分线的定义和性质 【题型三】 垂直平分线的判定及其应用 【题型四】 垂直平分线的尺规作图 【题型五】 三角形的外心 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解轴对称和两个图形关于某直线对称的概念； 2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴； 3.了解线段垂直平分线的定义； 4.掌握线段垂直平分线的性质和判定. 1 轴对称图形 (1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. (2)两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点事对应点，叫做对称点； 轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，而两个图形形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系. 2 垂直平分线的 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (3)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； (4)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3 三角形的外心 (1)定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. (2)三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 【题型一】轴对称图形的识别 相关知识点讲解 1 引入 你们看到以上的图像，第一个感觉是什么？你们能讲出来它们的共同特征么？还能举出一些其他与它们具有相同特征的图形么？ 2 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 【典题1】（2025·云南楚雄·二模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·贵州贵阳·二模）2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间有剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． E． 2（2025年天津市河北区九年级二模数学试题　）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3（2025·云南德宏·一模）2016年，联合国教科文组织将我国申报的“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【题型二】垂直平分线的定义和性质 相关知识点讲解 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 如下图，，且，则是线段的垂直平分线，或称中垂线. (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 如下图，若是线段的垂直平分线，点在直线上，则.(利用全等三角形可证明) 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【典题2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习 1（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 2（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在四边形中，是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（   ） A． B． C． D． 4（2025·山东聊城·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．16 B． C． D． 5（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 6（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【题型三】垂直平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 如下图，若，则点在线段的垂直平分线上；(利用全等三角形可证明) 拓展：若，，则是线段的垂直平分线. 【典题1】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点C是的平分线上一点，，，垂足分别为点D，E，连接交于点F，则下列结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【典题2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 变式练习 1（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 3（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【题型四】垂直平分线的尺规作图 相关知识点讲解 尺规作图：作线段的垂直平分线. 作法：以,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线，则直线所求直线. 【典题1】（2025·陕西·模拟预测）如图，已知，利用尺规作图法作线段，使得将的面积平分，且点D在线段上．（不写作法，保留作图痕迹） 变式练习 1（24-25八年级上·山西大同·期中）尺规作图．如图，市政府要在S区修建一个旅游打卡地． 按照设计要求，该旅游打卡地到两个社区A，B距离必须相等，到两条市内公路m和n的距离也必须相等．则该旅游打卡地应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 【题型五】三角形的外心 【典题1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 变式练习 1（2025·广东深圳·二模）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（    ） A．B．C． D． 2（22-23九年级上·江苏徐州·期末）联欢会上，甲、乙、丙三人分别站在地面上的三个顶点处，在内部放置一个圆凳，游戏开始后，三人同时出发，抢先坐到圆凳者获胜．为使游戏公平，圆凳应放置在的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．中心 3（18-19九年级下·山东济南·阶段练习）如图，△ABC的外心坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1） 4（21-22八年级上·河南南阳·期末）定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．如图，直线 ，，分别是边AB，AC的垂直平分线，直线和相交于点O，点O是△ABC的外心，交BC于点M，交BC于点N，分别连结AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周长为22cm，则△AMN的周长等于（　　）cm A．8 B．10 C．12 D．14 【A组---基础题】 1（2025·河南平顶山·三模）草长莺飞二月天，九年级的同学进行了放风筝比赛，下面风筝的简笔画中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 3（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 4（2025·浙江·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 5（2025·湖北武汉·一模）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于G．下列结论：①；②垂直平分；③垂直平分；④平分．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7（2025·广东云浮·一模）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 8（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：①一定是等边三角形；②；③的周长等于线段的长；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 轴对称、垂直平分线 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 轴对称图形的识别 【题型二】 垂直平分线的定义和性质 【题型三】 垂直平分线的判定及其应用 【题型四】 垂直平分线的尺规作图 【题型五】 三角形的外心 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.了解轴对称和两个图形关于某直线对称的概念； 2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴； 3.了解线段垂直平分线的定义； 4.掌握线段垂直平分线的性质和判定. 1 轴对称图形 (1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. (2)两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点事对应点，叫做对称点； 轴对称图形与两个图形形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形，而两个图形形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系. 2 垂直平分线的 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； (3)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； (4)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3 三角形的外心 (1)定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. (2)三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 【题型一】轴对称图形的识别 相关知识点讲解 1 引入 你们看到以上的图像，第一个感觉是什么？你们能讲出来它们的共同特征么？还能举出一些其他与它们具有相同特征的图形么？ 2 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是抽对称图形；这条直线叫做它的对称轴，也称这个图形关于这条直线对称. 【典题1】（2025·云南楚雄·二模）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个图形中，只有A选项中的图形是轴对称图形， 故选：A ． 变式练习 1（2025·贵州贵阳·二模）2024年，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”非遗项目，列入联合国教科文组织的人类非物质文化遗产代表作名录．春节民间有剪窗花的习俗，人们用剪窗花来表达自己庆贺新春的欢乐心情．下面是某同学为首个非遗蛇年春节设计的四种窗花，其中是轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． E． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 2（2025年天津市河北区九年级二模数学试题　）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：． 3（2025·云南德宏·一模）2016年，联合国教科文组织将我国申报的“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据定义求解即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【题型二】垂直平分线的定义和性质 相关知识点讲解 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 如下图，，且，则是线段的垂直平分线，或称中垂线. (2)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 如下图，若是线段的垂直平分线，点在直线上，则.(利用全等三角形可证明) 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵是的垂直平分线， ， ∵的周长， ， ， ， 故选：D． 【典题2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示， ，是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 变式练习 1（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 2（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在四边形中，是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，，再进行等量代换，即可解题． 【详解】解：连接， 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 故选：B． 3（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 4（2025·山东聊城·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线、垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；解题关键是利用上述性质得出线段相等关系，进而求出四边形的周长． 先利用角平分线性质得，再由垂直平分线性质推出， ，通过证明得到，最后根据的值求出四边形各边长度，进而算出周长． 【详解】解：设与交点为 ∵平分， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ，且． 在和中， ， ． ∴． ∵， ∴ ． ∴四边形的周长为． 故选：A． 5（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，可证明得到，进而可证明垂直平分，据此逐一分析判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， ∴正确的有②③④， 故选：D． 6（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）中垂线的性质，得到，易得垂直平分，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长公式推出，根据，等量代换推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【题型三】垂直平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 如下图，若，则点在线段的垂直平分线上；(利用全等三角形可证明) 拓展：若，，则是线段的垂直平分线. 【典题1】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点C是的平分线上一点，，，垂足分别为点D，E，连接交于点F，则下列结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 由角平分线的性质可得，即可判断①，证明，得到，垂直平分，即可判断②③④⑤，得到答案． 【详解】解∶平分，， ，，故①正确， 在和中， ， ， ， , 垂直平分，故②③④正确， 不能证明 ， 结论正确的个数是4个， 故选∶C． 【典题2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 变式练习 1（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，是上的一点，O是上一点，且，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，先根据，，得出直线是线段的垂直平分线，结合垂直平分线的性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴是的中点 ∴ 故选：B 2（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题． 【详解】解：∵，， ∴A与C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直平分， 故B选项符合题意； 由已知条件无法证明平分，平分， 故A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 3（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证 ， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 【题型四】垂直平分线的尺规作图 相关知识点讲解 尺规作图：作线段的垂直平分线. 作法：以,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线，则直线所求直线. 【典题1】（2025·陕西·模拟预测）如图，已知，利用尺规作图法作线段，使得将的面积平分，且点D在线段上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图垂直平分线，分别以点，C为圆心，大于的长的一半为半径画弧，连接该两个交点，与交于一点，即为点D即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 变式练习 1（24-25八年级上·山西大同·期中）尺规作图．如图，市政府要在S区修建一个旅游打卡地． 按照设计要求，该旅游打卡地到两个社区A，B距离必须相等，到两条市内公路m和n的距离也必须相等．则该旅游打卡地应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置．（保留作图痕迹） 【答案】该旅游打卡地应修建在直线m和直线n所夹锐角的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作直线m和直线n所夹锐角的的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：该旅游打卡地应修建在直线m和直线n所夹锐角的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，点C即为所求． 【题型五】三角形的外心 【典题1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 变式练习 1（2025·广东深圳·二模）下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．先判断点为三角形三边的垂直平分线的交点，然后按做线段垂直平分线的方法对各选项进行判断． 【详解】解：点到三角形三个顶点的距离相等， 所以点为三角形三边的垂直平分线的交点， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 2（22-23九年级上·江苏徐州·期末）联欢会上，甲、乙、丙三人分别站在地面上的三个顶点处，在内部放置一个圆凳，游戏开始后，三人同时出发，抢先坐到圆凳者获胜．为使游戏公平，圆凳应放置在的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．中心 【答案】A 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 【详解】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， ∴凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当，即外心． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 3（18-19九年级下·山东济南·阶段练习）如图，△ABC的外心坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣1） 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义作AB与BC的垂直平分线，即可求出P点坐标. 【详解】解：作AB与BC的垂直平分线，它们相交于点P（﹣2，﹣1）． 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形外心，解题的关键是熟知三角形外心的定义. 4（21-22八年级上·河南南阳·期末）定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．如图，直线 ，，分别是边AB，AC的垂直平分线，直线和相交于点O，点O是△ABC的外心，交BC于点M，交BC于点N，分别连结AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周长为22cm，则△AMN的周长等于（　　）cm A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】由线段AB的垂直平分线的性质得到：AM=MB，OA=OB．同理AN=CN，OA=OC．所以OB=OC=OA=6cm，所以将△AMN的周长转化为求得线段BC的长度的问题，根据△OBC的周长的计算方法求得BC的长度即可． 【详解】解：∵直线l1是AB的垂直平分线， ∴AM=MB，OA=OB． ∵直线l2是AC的垂直平分线， ∴AN=CN，OA=OC． ∴OB=OC=OA=6cm，△AMN的周长=AM+MN+AN=BC， ∵△OBC的周长为22cm， ∴BC=22-（OB+OC）=22-12=10（cm）， ∴△AMN的周长为10cm． 故选：B 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握数形结合和分类讨论数学思想的应用． 【A组---基础题】 1（2025·河南平顶山·三模）草长莺飞二月天，九年级的同学进行了放风筝比赛，下面风筝的简笔画中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长为，则可求得答案．解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，凳子到三点，，的距离相等，即到三边的端点的距离相等， ∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上； 故选：B． 4（2025·浙江·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：A． 5（2025·湖北武汉·一模）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线尺规作图，垂直平分线性质，三角形外角的性质，根据题意综合运用这些知识点是解题关键． 根据尺规作图作线段垂线可得，，平分，根据垂直平分线性质得，，故． 【详解】解：根据尺规作图作线段垂线可得， ，平分， 根据垂直平分线性质得， ， ， 是的外角， 即， ， ， 故选D． 6（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接交于G．下列结论：①；②垂直平分；③垂直平分；④平分．其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能求出是解此题的关键．根据角平分线性质求出，证，推出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴平分，故①④正确； ∵，， ∴A、D两点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故②正确； 无法说明垂直平分，故③错误． 综上分析可知：正确的有3个， 故选：C． 7（2025·广东云浮·一模）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过两点作直线即可； （2）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得，，结合，即可证，进而得到． 【详解】（1）解：如下图所示即为所求， （2）证明：是的角平分线， ， 垂直平分，交于点， ， 又， ， ． 8（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设， 则，， ， 在中，． 故选：C． 2（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：①一定是等边三角形；②；③的周长等于线段的长；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质．由题意得，，从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出，，从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出，，所以，，再求解即可判断④． 【详解】解： 关于，的对称点分别是点，点， ∴，， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形，故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， ∴，， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点E，与交于点F， 由题意得， ， ， ∵，， ∴，， ， ， ， ，故④正确， 综上，正确的是②③④， 故选：C． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$