预习课第08讲 角平分线的性质与判定 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第08讲 角平分线的性质与判定 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角平分线的尺规作图 【题型二】 角平分线的性质及其应用 【题型三】 角平分线的判定及其应用 【题型四】三角形的内心 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握角平分线的作法和角平分线的性质； 2.掌握角平分线的判定. 1角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 3 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 【题型一】 角平分线的尺规作图 相关知识点讲解 已知： 求作：的平分线 作法：(1)以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； (2)分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; (3)画射线，射线即为所求. 【典题1】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 变式练习 1（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．2（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型二】角平分线的性质及其应用 相关知识点讲解 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (易由可证，则) 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，且． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 变式练习 1（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（   ） A．2 B．3 C． D．4 2（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，于，，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 3（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是角平分线． (1)若，求； (2)若是的高线，且，，求的度数． 【题型三】角平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 1 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (易由可证，则) 【典题1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级下·陕西·期中）如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若 ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边、重合，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．边的高上 C．的中垂线上 D．的中线上 3（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、为边上两点，连接、，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 5（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【题型四】三角形的内心 【典题1】（18-19八年级·全国·课后作业）如图，、分别平分、，相交于点，过点作，，，垂足分别为、、．求证：点在的平分线上． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 2（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 【A组---基础题】 1（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，的平分线交于点，，，则点到的距离是（    ） A．7 B．2 C．4 D．3 2（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，在中，，平分，于，，则的面积为（   ） A． B． C． D．7 3（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 5（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 6（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7（2025·广东湛江·一模）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 8（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 9（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，等腰中，，，平分，则（    ）    A． B．3 C． D． 2（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到，，三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有 种选择． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 角平分线的性质与判定 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 角平分线的尺规作图 【题型二】 角平分线的性质及其应用 【题型三】 角平分线的判定及其应用 【题型四】三角形的内心 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握角平分线的作法和角平分线的性质； 2.掌握角平分线的判定. 1角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 3 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 【题型一】 角平分线的尺规作图 相关知识点讲解 已知： 求作：的平分线 作法： (1)以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； (2)分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; (3)画射线，射线即为所求. (利用全等三角形可证明) 【典题1】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，涉及三角形外角的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 作出的平分线即可． 【详解】解：以为圆心，任意长为半径，与、分别交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧，两弧交于点，作射线，射线即为求作的． 理由： ，， 由作法可知，平分， ， 射线即为求作的． 变式练习 1（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 2（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线，熟悉作图步骤是解答的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可． 【详解】解：如图，射线即为所求作： 【题型二】角平分线的性质及其应用 相关知识点讲解 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (易由可证，则) 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，且． (1)求的度数． (2)若，点F是上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． （1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当时，最小，再利用角平分线的性质求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵点F是上的动点， ∴当时，最小， ∵平分， ∴． 变式练习 1（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点到边的距离是3， 故选：B． 2（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，于，，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 先根据角平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长． 故选：C． 3（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，中线的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据是线段的中点，则，再根据，即可解答． 【详解】解：过点作交于点， ∵平分，于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 4（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是角平分线． (1)若，求； (2)若是的高线，且，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线性质是解答本题的关键． （1）过点作于点，于点，由角平分线性质定理得，根据三角形面积公式可得结论； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，由直角三角形两锐角互余得出，从而可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， ∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型三】角平分线的判定及其应用 相关知识点讲解 1 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (易由可证，则) 【典题1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于， 平分，，， ， ， ∴ ∵ ∴ ，， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 变式练习 1（24-25八年级下·陕西·期中）如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若 ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点到的距离与点到的距离相等，可得点C在的角平分线上，可得，即可解答． 【详解】解：∵点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴点C在的角平分线上， ∴， ∵ ， ∴， 故选：D． 2（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边、重合，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．边的高上 C．的中垂线上 D．的中线上 【答案】A 【分析】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，根据角平分线的判定推出在的角平分线上，即可得到答案．能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选：A． 3（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、为边上两点，连接、，于点F，若，，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，邻补角的定义；根据已知得出是的角平分线，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，最后根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明： ，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 5（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的值； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理及其逆定理． （1）由直角三角形的性质求出，由平角定义即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，于是推出平分； （3）由的面积的面积的面积，得到，即可求出，得到，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过E作于M，于N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 ． 【题型四】三角形的内心 【典题1】（18-19八年级·全国·课后作业）如图，、分别平分、，相交于点，过点作，，，垂足分别为、、．求证：点在的平分线上． 【答案】详见解析 【分析】根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定可得到结论． 【详解】证明：∵点在的平分线上，,； ∴． 又点在的平分线上，，； ∴． ∴． ∴点在的平分线上． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键． 变式练习 1（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解． 【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：B． 2（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知 的周长是，分别平分和，于点，且，的面积是（       ） A．42 B．21 C．84 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，连接，过点作于点，可得，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵分别平分和，于点，且， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 故选：A ． 【A组---基础题】 1（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，的平分线交于点，，，则点到的距离是（    ） A．7 B．2 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题综合考查了角平分线的性质和线段的和差，等量代换等知识点，重点掌握角平分线的性质．由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得点到直线的距离为3． 【详解】解：过点D作交于点E，如图所示： ∵， ∴， 又∵是的角平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点D到的距离是3， 故选：D． 2（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，在中，，平分，于，，则的面积为（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过D点作于F，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算． 【详解】解∶过D点作于F，如图 平分，于，于F， ． ， ． 故选∶D． 3（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，于且，如果，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定，根据题意，易得平分，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，于且， ∴平分， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 4（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质得出的长，再根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点H， 由作图可知，是的角平分线， 又， ， 的值为， 故选：A． 5（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 6（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可判断，根据三角形的外角性质判断，根据全等三角形的性质判断，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分平分， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， 正确，符合题意； 平分平分， ， 正确，符合题意； 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； 故选：． 7（2025·广东湛江·一模）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2） 解：设点到的距离为， ∵是的角平分线，， ∴， ∴的面积． 8（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 9（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，等腰中，，，平分，则（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是通过三角形的面积得到边之间的关系． 过点D作于点M，作于点N，根据角平分线的性质得到，从而，过点B作于点E，则，从而得到，又，可求出． 【详解】解：过点D作于点M，作于点N， 平分， ∴， ， 过点B作于点E， ， ， ， ， 故选：B． 2（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．根据角平分线的判定定理即可判断①正确；连接，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可判断③错误；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的周长公式即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上，则结论①正确； 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：， ∴， ∴的周长为 ，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：B． 3（22-23八年级上·湖北武汉·期中）已知村政府现要在如图所示区域内，修建到，，三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有 种选择． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线的交点不要漏掉，思考问题要全面．加油站到三条公路的距离相等，那么加油站应该建在的内角角平分线的交点处或外角的角平分线的交点处，故满足要求的加油站位置共有4个，作出其中一个即可． 【详解】解：满足要求的加油站位置共有4个，如图所示，点即为所求．（答案不唯一，画出，，也可以） 故答案为：4． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$