第1章 三角形 单元测试-考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

第1章 三角形 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．在中，，，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形中，角所对的边是斜边的一半．已知，其对边，因此斜边． 【详解】解：∵在中，，，， ∴为的对边，为斜边， 根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，得： ． 故选：A． 3．某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，即可解题． 【详解】解：将三角形空地分成面积相等的两部分， 是的中线； 故选：B． 4．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 5．小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 6．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 8．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．已知图中的两个三角形全等，则 °． 【答案】50 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解 ∶两个三角形全等， 的度数是， 故答案为：50． 10．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 11．已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为和，两种情况根据构成三角形的条件解答即可． 【详解】解：当时，由于，不能够构成三角形； 当时，，能构成三角形， 故答案为：． 12．如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线上任意一点到角的两边距离相等即可求解． 【详解】解：∵P是平分线上一点，，， ， 故答案为：． 13．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 14．如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关于的方程并求解，再由中点的定义计算的长即可．掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴ 故答案为：6． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 16．如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．春意盎然，万物复苏，公园里有一块如图所示的三角形郁金香花园．已知这个花园中，边，求这块郁金香花园的面积. 【答案】这块郁金香花园的面积为 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握含30°角的直角三角形的性质是解决此题的关键．过点作于点，直接利用含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， . ， 的面积为， 答：这块郁金香花园的面积为. 19．已知，，为三边长． (1)求证：． (2)当，试判断的形状． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用， 等边三角形的定义，完全平方公式和平方差公式的应用等知识． （1）先依据完全平方公式将原式变形为，然后再利用平方差公式进行分解，然后结合三角形的三边关系进行判断即可； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，然后，依据非负数的性质可得到、、之间的关系，从而可对的形状作出判断． 【详解】（1）证明：， ，，为三边长， ，， ，， ； （2）解：是等边三角形． 理由：， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形． 20．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点A，B，C均在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的(和A对应，和B对应，和C对应）； (2)求的面积； (3)在直线l上作点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求； 21．如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 22．如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)11 【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，正确掌握各作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点，即可； （2）利用尺规作出的角平分线交于点，即可； （3）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点E即为所求． （2）解：如图，射线即为所求． （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为． 故答案为：11 23．综合与探究 问题情境： 学完平行线后，老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．试判断和的关系，并说明理由． 问题解决： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，是线段上一点（不与点，重合），连接，为探究，与之间的数量关系，小颖过点作交于点．请你根据她的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 特例研究： （3）在（2）的基础上，如图3，当平分时，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，再由角平分线定义得到，等量代换即可得到答案； （2）由，得到，由平行线性质，数形结合即可得到，与之间的数量关系； （3）由三角形全等的判定与性质求解即可得到与的位置关系． 【详解】解：（1）， 理由如下： 在四边形中，，则， 平分， ， ； （2）， 理由如下： ，， ， ,， ， ； （3）， 理由如下： 由（1）知，，则， 平分， ， 在和， , ，则． 【点睛】本题考查由平行线的判定与性质确定角度之间的关系，涉及平行线判定与性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记平行线的性质，灵活运用相关几何性质，数形结合表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． 24．如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．在中，，，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 4．已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 5．小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B．C． D． 6．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．已知图中的两个三角形全等，则 °． 10．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 11．已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是 ． 12．如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么 ．    13．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 14．如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 16．如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 18．春意盎然，万物复苏，公园里有一块如图所示的三角形郁金香花园．已知这个花园中，边，求这块郁金香花园的面积. 19．已知，，为三边长． (1)求证：． (2)当，试判断的形状． 20．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点A，B，C均在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的(和A对应，和B对应，和C对应）； (2)求的面积； (3)在直线l上作点P，使的值最小． 21．如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 22．如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 23．综合与探究 问题情境： 学完平行线后，老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．试判断和的关系，并说明理由． 问题解决： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）如图2，是线段上一点（不与点，重合），连接，为探究，与之间的数量关系，小颖过点作交于点．请你根据她的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 特例研究： （3）在（2）的基础上，如图3，当平分时，试判断与的位置关系，并说明理由． 24．如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 25．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$