精品解析：湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二期末数学试卷 一、单选题 1. 某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（ ） A. 48 B. 96 C. 128 D. 186 【答案】B 【解析】 【分析】根据甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数分类结合乘法原理及排列数计算即可. 【详解】先安排甲、乙，若甲坐1号座位，则乙可以坐4号或6号座位； 若甲坐3号座位，则乙可以坐6号座位； 若甲坐5号座位，则乙可以坐2号座位，共有4种安排方法． 在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有种， 故这六人不同的座位安排方法种数为． 故选：B． 2. 若直线是曲线与的公切线，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线与函数和的图象相切于点和，利用导数的几何意义，求得切线方程，列出方程组，结合斜率公式，即可求解. 【详解】设直线与函数的图象相切于点， 与的图象相切于点， 因为，且，， 则曲线在处的切线方程为， 曲线在处的切线方程为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 3. 已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（ ） ①直线与直线垂直； ②直线与平面平行； ③点C与点G到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为． A ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由即为直线与直线所成的角，即可判断①；对于②，连接，由线面平行的判定即可判断②；由平面不过的中点即可判断③；先找出截面，再计算面积即可判断④. 【详解】解：对于①，由正方体得，则即为直线与直线所成的角， 连接AC，而平面ABCD，所以，所以在中，则不可能是直角，直线与直线不垂直，故①不正确； 对于②，连接，则，所以平面，平面，平面，所以∥平面，故②正确； 对于③，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点，连接交于，且不是的中点， 则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，③不正确； 对于④，因为，，所以等腰梯形即为平面截正方体所得的截面， 则，之间的距离为， 则面积为，故④正确. 故选：C. 4. 已知单位向量，满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积得出向量的模长即可. 【详解】因为 所以. 故选：D. 5. 已知正方体的边长为，点关于平面对称的点为，矩形内（包括边界）的点满足，记直线与平面所成线面角为.当最大时，过直线做平面平行于直线，则此时平面截正方体所形成图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，分析可知，点在矩形内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在矩形内的圆弧，当与圆弧相切于点时，最大，即取最大值，然后作出截面，计算出各边边长，相加可得出截面的周长. 【详解】如下图所示： 因为矩形内（包括边界）的点满足， 则点在矩形内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在矩形内的圆弧， 设直线交于点，过点作，交于点， 因为平面，则平面， 所以，与平面所成的角为， 由图可知，当与圆弧相切于点时，最大，即取最大值， 连接，则，易知，则， 所以，是等腰直角三角形，则， 在矩形中，，则， 又因为，所以，是等腰直角三角形，则， 所以，， 因为且，故四边形为平行四边形，则， 设平面分别交棱、于点、，连接, 因为，平面，平面，则，故， 设截面分别交直线、于点、， 因为，，，所以，， 因为平面，平面，则， 设，，则， 同理可得，故为等腰直角三角形， 易知，而，则，则为的中点， 所以，，则， 故， 因为，且，则为等腰直角三角形， 所以，，则， 因为平面，、平面，则，， 则， 所以，， 同理可得， 故截面截正方体所得截面的周长为 ， 故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 6. 已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则，解得或，，解得或，得到，，再计算最值得到答案. 【详解】，， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 为函数的极小值，为函数的极大值， 画出函数图像，如图所示： 的值域为的子集， 则，解得或；，解得或， ，故且，，，， 当，，，故； 当，，故，此时，不成立； 当，，不成立； 综上所述：， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用，得到，，可以缩小范围，简化运算，是解题的关键. 7. 已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：利用三角函数的降幂公式将条件转化为再利用和差化积公式转化，求得，从而可求得等差数列的公差，根据即可求得首项的取值范围． ∵为等差数列，， ， ∵时，数列的前项和取得最小值，， 故选D 考点：数列与三角函数的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 【方法点睛】本题考查数列与三角函数的综合，利用三角函数的降幂公式与和差化积公式求得是关键，也是难点，继而可求出，问题迎刃而解，突出化归思想与函数与方程思想的考查，属于难题． 8. 如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设外接球球心为，列方程组求解球心，验证后可得外接球半径，即可求得答案. 【详解】以C为坐标原点，以所在直线为轴，以与垂直的棱为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则, 设四棱锥的外接球球心为，半径为R， 则， 解得，即外接球球心为，， 验证，符合题意， 即四棱锥的外接球，其表面积为， 故选：C 二、多选题 9. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调 D. 函数的零点为（） 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的对称性，单调性及零点逐项判断，得出结论 【详解】对于函数， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故正确、不正确． 区间上，,单调递增，故正确． 令，得函数的零点为，故不正确， 故选：AC． 10. 已知函数，则（　　） A. 在区间内存在零点 B. 0是的极小值点 C. 在区间内存在极大值 D. 在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，得到零点，看区间内有无这些零点，没有则不存在零点即可判断A；在附近，分析、、正负，时，时，所以是极小值点即可判断B；对求导．在内，分析各项正负，判断是否存在极大值即可判断C；在上，分析正负，再分析各项正负，得，单调递减即可判断D． 【详解】对于A：函数， 令，则或或，解得，，，， 在区间内，不存在上述使的值，所以在区间内不存在零点，故A错误； 对于B：当在附近时，，在上单调递增，且， 当时，，，所以； 当时，，在附近正负交替，但， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C：函数的定义域为，， 当时，，，，， ，且在内，随着的变化，会先大于后小于， 则在区间内存在极大值，故C正确； 对于D：当时，，，， 则， ， 在上，，，，； ，，，； ，，，， 即，则在区间上单调递减，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知，用表示不超过的最大整数．若函数，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 方程只有一个实数根 【答案】BD 【解析】 【分析】借助函数奇偶性定义判断选项A；通过列举作出函数及的图象判断选项B；举特例判断选项C；通过函数的取值分类讨论判断选项D. 【详解】由题知，函数定义域为， ， 所以函数为偶函数， 由得 ， 所以函数是偶函数.故A错误； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 所以函数的图象如图所示： 由的解析式及图象可知： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，因为， 所以是的一个周期，所以函数的值域是，故B正确； 由， ， 所以， 所以函数的图象不关于直线对称.故C错误； 对于方程， 当时，，，此时方程有一个实数根； 当时，，，此时方程没有实数根； 当时，，，此时方程没有实数根； 所以方程只有一个实数根，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 函数在处取得极大值-1，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】 利用函数极值点的定义列方程，解方程组即可. 【详解】因为，所以， 则，解得，，则. 故答案为：5 【点睛】本题考查了极值点以及极值的定义，解题的关键是求出函数的导函数，属于基础题. 13. 已知均为正实数，函数． （1）若的图象过点，则的最小值为______； （2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】（1）由的图象过点得，根据基本不等式“1”的妙用计算即可； （2）由的图象过点得，进而得出，利用换元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值． 【详解】（1）由的图象过点得，，即， 所以，当且仅当，即时等号成立． （2）由恒成立得，， 因为的图象过点，则，即， 当时，不合题意舍， 所以，即，则，则由得， 所以， 设， 所以 ， 当且仅当，即，则时，等号成立， 故答案为：9；． 【点睛】方法点睛：第二空由的图象过点得出，代入消元得出关于的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得． 14. 平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点之间的距离公式，列出四边形的周长关于的表达式，得到轴上的点与和距离之和最小时，四边形的周长也最小．利用直线方程的求法，可得时，四边形的周长最小．从而得到的坐标，再用圆方程的一般式，求出经过三点的圆方程，从而得到的外接圆的方程． 【详解】四边形的周长为 ， 只需求出的最小值时的值. 由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令,故,所以直线方程为，令，得 ，所以. 由以上讨论，得四边形的周长最小时，，. 设过三点的圆方程为. 解得. 故外接圆的方程为. 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小． 【答案】（1）见解析; （2）见解析; （3） 【解析】 【详解】（1）设与交于点，则为的中点， ，， 四边形为平行四边形，，而平面， 平面; （2）由四边形为正方形，有， 又，，而， 平面，， 又为的中点，， 平面，又， 又，平面; （3），平面， 在平面内过点作交的延长线于， 则为二面角的一个平面角， 设，则，又， , ， 二面角为. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D=60°，E为CD的中点，且AE=CE，现将平行四边形沿AE折叠成四棱锥P-ABCE. （1）已知为的中点，求证：. （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）取AE中点N，连结EM，MN，证明面PMN，即可证明； （2）先证明，又，，可以以N为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）证明： 取AE中点N，连结EM，MN，由于翻折前E为CD中点，∴. ∵,∴△ADE为等边三角形， ∵N为AE中点，∴. 同理可证：△AME为等边三角形，故. 又， ∴面PMN， ∴. （2）因为平面平面且交于AE，，所以平面， 而平面,所以，又，， 可以以N为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 不妨设AB=4，则， ，所以， 设为平面EPC的一个法向量，则,即， 不妨设，则. 同理可求：平面EPB的一个法向量 设二面角的平面角为，显然， 所以， 即二面角的余弦值为 【点睛】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理； (2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）关于的方程有两个不相等的正实数解，且，求证：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数的正负求函数的单调区间即可. （2）利用分离参数整理不等式，构造函数，求导并结合导数与函数单调性的关系求解即可. （3）由（1）大致作函数图象，利用函数与方程的关系进一步确定参数的范围，整理不等式，分别构造函数，结合不等式性质证明即可. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，不等式等价于， 设，求导得， 函数在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，， 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则，且， 由，且切点，得曲线在处的切线为， 由，切点，得曲线在处的切线为， 设，求导得， 设，求导得， 函数在上单调递增，而， 当时，；时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当且仅当时取等号，在上恒成立， 设直线与直线交点的横坐标为，则，则， 则，，同理得， 所以，得证. 18. 已知函数． （1）若为的极小值点，求a的取值范围； （2）若有唯一的极值，证明：，． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将函数求导之后，讨论的取值范围，进而判断的单调性和极值的情况，由为的极小值点，求出最终的取值范围； （2）当，为唯一的极值，得，即证，，构造新函数，求，即可证明结论成立. 【小问1详解】 . ①当时，在上单调递诚，在上单调递增，所以为极小值点． ②当时，由得或． （ⅰ）当时，在R上单调递增，无极值点； （ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以为的极小值点； （ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递诚， 在上单调递增，所以为的极大值点， 综上，a的取值范围是． 【小问2详解】 根据（1）可知，为唯一的极值，所以，所以． 所以即证，． 设，则， 设，则， 设，则， 当时，,,, 所以，即， 所以在上单调递增． ，，又， 所以，所以，使． 因此当时，，当时，． 得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 因此当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增，得， 所以，从而原命题得证． 【点睛】求函数的极值，要注意求导之后，讨论的取值范围，利用原函数的单调性求函数的极值，对于不等式的证明问题，要注意构造新函数，将其转化为求新函数的最值问题. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面 ，，点在棱上，且. （1）证明：平面； （2）设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可证得，再利用面面垂直的性质的定理可证得结论成立； （2）推导出点为的中点，然后以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 证明：由得，，， ，由余弦定理可得， ，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面. 【小问2详解】 解：因为平面，平面，平面平面，故， 而是的中点，故为中位线，得， 又，故为中点， 由（1）可知平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，，，， 所以，，解得， 则，解得，故点， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 所以，. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学试卷 一、单选题 1. 某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（ ） A. 48 B. 96 C. 128 D. 186 2. 若直线是曲线与公切线，则（     ） A B. C. D. 3. 已知正方体棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（ ） ①直线与直线垂直； ②直线与平面平行； ③点C与点G到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 4. 已知单位向量，满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知正方体的边长为，点关于平面对称的点为，矩形内（包括边界）的点满足，记直线与平面所成线面角为.当最大时，过直线做平面平行于直线，则此时平面截正方体所形成图形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 7. 已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是 A. B. C. D. 8. 如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调 D. 函数的零点为（） 10. 已知函数，则（　　） A. 在区间内存在零点 B. 0是极小值点 C. 在区间内存在极大值 D. 在区间上单调递减 11. 已知，用表示不超过的最大整数．若函数，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 方程只有一个实数根 三、填空题 12. 函数在处取得极大值-1，则______. 13. 已知均为正实数，函数． （1）若的图象过点，则的最小值为______； （2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为______． 14. 平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为_________． 四、解答题 15. 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D=60°，E为CD的中点，且AE=CE，现将平行四边形沿AE折叠成四棱锥P-ABCE. （1）已知为的中点，求证：. （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）关于方程有两个不相等的正实数解，且，求证：． 18. 已知函数． （1）若为的极小值点，求a的取值范围； （2）若有唯一的极值，证明：，． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面 ，，点在棱上，且. （1）证明：平面； （2）设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$