2025年九年级中考数学考终极冲刺攻略-二次函数综合题典型题型

2025年九年级中考数学考终极冲刺攻略- 二次函数综合题典型题型 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 4．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），请直接写出点，的坐标． 5．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 9．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 11．在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，与轴另一个交点是，作直线． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请求出线段的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请结合图象直接写出点的横坐标的取值范围． 12．如图，抛物线与x轴交于，与y轴交于点，点在抛物线上，如图1，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当，求n的最大值与最小值的差； (3)如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线上一动点，连接，当时，求的最小值． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于，两点（点在的左侧），． (1)求抛物线的表达式； (2)，是直线上方抛物线上的两个动点，点在点的左侧，分别过点，作轴的垂线，交直线于点，，若四边形是平行四边形，求周长的最大值； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，点为平移后抛物线上一动点，原抛物线的对称轴交轴于点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C． (1)用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B________，N________； (2)如图，当时，连接，．求证：平分； (3)当时，若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请直接写出k的取值范围． 15．二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点． (1)则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______； (2)如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．     ①当点在第四象限，且时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 2．(1) (2) (3)存在，满足条件的点M的坐标有或或 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，根据已知条件确定是等腰直角三角形，可得，根据最大时，最大，然后求出直线解析式，并表示出，讨论极值，可得答案； （3）当平行四边形以为平行四边形的边时和以为对角线时，讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵点，点在抛物线 的图象上， ， 解得：，， 抛物线的解析式为． （2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图1： ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设， 则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大． （3）解：存在，满足条件点的坐标为或或，理由如下， 当以为平行四边形的边时，如图2， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 当以为平行四边形的边长时，如图3， 点，， ， 即， 解得， ， 点的坐标是； 当以为对角线时，如图4， ，， 线段的中点的坐标为，即， ， 解得， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 3．(1) (2) (3)时，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． （3）解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （4）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 4．(1) (2)3， (3)， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，平移问题，与x轴的交点问题的知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数解析式． （2）分别求出直线和解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，由平移可知，再证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形进一步得出，再根据，再根据二次函数的性质求解即可． （3）由平移的性质得出，再利用待定系数法求出新抛物线解析式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 把代入， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，如图1，过点F作交于点W， 由平移可知 ∵，轴交直线于点E， ∴，即， 由可知， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，． 此时点D的坐标为； （3）解：设抛物线向右平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点代入， 可得出：， 解得：（舍去）或1， 则新抛物线的表达式为：， 令，则， 即， 则，， 即，． 5．(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 7．(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式化为顶点式可得；再求出，进而得到直线解析式为；过点E作轴交于F，设，则，则；根据，可得，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵抛物线解析式为， ∴； 当时，解得或， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点E作轴交于F， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 8．(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解除m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 9．(1) (2)①；②的面积为2或3或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题； ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。 得，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：①令， 解得：， ∴， ∵B，C， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵, ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴的外接圆直径是， 则其外接圆的半径， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是， ∴直线与x轴的交点T的坐标是， 作轴于点P，则在直角三角形中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在的内角的平分线上即时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴E、T重合， ∵B，C， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴点P的坐标是， ∴， ∴； 当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K， 则， 设，则， ∵，且, ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于， ∴点F不可能在的内角的平分线上； 当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则， ∴； 综上：的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 10．(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 11．(1)， (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）求出直线的解析式为，设，则， 求得，求出，求出的最大值即可解答问题； （3）设，得出，得到，由求得，根据线段与抛物线有交点，结合图像可知点M的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴ ∴ ∴， 令，得 解得， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴，   过点作轴，交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：设，则， 当点恰好在抛物线上时，则， ∴， 当时， 解得：           ∵线段与抛物线有交点， ∴结合图像可知点M的横坐标的取值范围是： 或． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出当时，y有最大值，然后根据求解即可； （3）首先求出，作P关于y轴的对称点，连接，求出，作M关于抛物线对称轴的对称点，求出，得出在直线上，过作的垂线交于H，得到即为的最小值，过作x轴的垂线交于N，然后求出，进而得到线解析式为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）将代入得                           ； （2）∵ ∴对称轴 ∴开口向下 ∴当时，y有最大值            当时，m随n的增大而增大 ∴当时，此时n有最小值6 当时，m随n的增大而减小 ∴当时，此时n有最小值 ∴当时，n有最小值            的最大值与最小值的差为 （3）当时， 如图所示，与抛物线对称轴交于点G，连接 作P关于y轴的对称点，连接 作M关于抛物线对称轴的对称点 关于抛物线对称轴对称 关于抛物线对称轴对称的直线是 在直线上 过作的垂线交于H 即为的最小值                过作x轴的垂线交于N 当时， 代入， 可得直线解析式为 当时，    由题可知： ． 即的最小值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，线段最值问题，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13．(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数平移，二次函数与平行四边形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，，代入中，求出的值即可； （）求出直线的表达式为，设，，则，，所以，，由平行四边形性质可得，即有，则，过点作的垂线，交的延长线于点，可得的周长为，最后通过二次函数性质即可求解； （）将抛物线沿方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到平移后的抛物线的表达式为，然后分当点在上方，满足时，和在直线下方作，交轴于点，交新抛物线于点，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴，， 将，代入中， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由，可知直线的表达式为， 设，， ∴，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， ∵，， ∴当时，平行四边形的周长最大，最大值为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵抛物线的表达式为， ∴平移后的抛物线的表达式为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在上方，满足时， 根据两直线平行内错角相等可得， ∵，， ∴直线的表达式为， ∵， ∴可设直线的表达式为． 将点代入，得， ∴直线的表达式为， 令，解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图，在直线下方作，交轴于点，交新抛物线于点 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 令，解得或（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 14．(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直线与y轴交于点B，令，得即得，根据题意，得，解方程组解答即可． （2）设抛物线与x轴的另一个交点为D，根据抛物线，得抛物线与x轴的交点为，得到，继而得到，求直线的解析式，确定点在直线上即可得证平分； （3）根据对称性，先确定图象的解析式，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据直线与y轴交于点B，令，得 ∴点， 根据题意，得， 解得， ∴交点坐标分别为， ∵点M在x轴上． ∴点， 故答案为：，． （2）解：如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D， ∵抛物线， ∴， 解得， ∴ 抛物线与x轴的交点为， ∴ ， ∵， ∴ ， 根据(1)，得，， ∵点B关于点A的对称点为C，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ． ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故直线的解析式为， ∴ 不论k为何值，直线过定点， ∴点在直线上． ∴平分； （3）解：设图象上的任意一点，图象上的任意一点，根据题意，得，，解得， ∴即图象的解析式为， ∵， 当时，图象，图象与线段没有交点， 当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意； ∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意； ∴时，图象与线段有一个交点， ∴， 故， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，对称性，等腰三角形的三线合一性质，一元二次方程与抛物线问题，判别式应用，熟练掌握交点坐标计算，对称性是解题的关键． 15．(1)，，直线的解析式为 (2)①点的横坐标为或；②或 (3)当时，直线与这个新图象有4个公共点 【分析】（1）先令，求出坐标，再令，求出，再有待定系数法求解直线的解析式； （）①由题意得，，即得，根据对称轴为直线，可得，即得，解方程即可求解；②由，设，其开口向上，对称轴为，当时，，解得，，画出其函数图象，当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，然后观察图象可以得出答案； （）根据折叠可得翻折上来的部分抛物线解析式为，再分别求出直线与新图象恰好有个公共点时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 解得：或， ∴， 当时，， ∴点， 设直线， 代入点， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； 故答案为：；；； （2）解：①如图， ∵点为直线上的一点，其横坐标为，点在二次函数图象上，且轴， ∴，， ∴， ∵抛物线 ∴该抛物线的对称轴为直线， 又∵轴，且点在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴或 ， 解得（舍）或或或（舍）， ∴点横坐标为或； ②由①知，， 设，其开口向上，对称轴为， 当时，，解得，， 画出其函数图象，如图所示： 如图可知，当或时，；当时，； 当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，如图所示： 观察图象可知，当或时，的长度随的增大而增大； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点， 如图： ①当直线经过点时， 把代入得，， 解得； ②当直线与相切时，即直线与抛物线只有一个交点，此时方程只有一个解， 即方程的判别式， ∴， 解得； 综上，直线与这个新图象有个公共点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数几何应用，折叠的性质，一次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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