2025年中考数学三轮高频考点-反比例函数综合题典型题型

2025年中考数学三轮高频考点-反比例函数综合题典型题型 1．在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 2．如图，直线与双曲线交于点，． (1)求的值； (2)根据图象，请直接写出不等式的解集； (3)点是坐标平面内一点．若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点是该反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线相交于点， (1)求的值； (2)已知点在直线上运动，设点的坐标为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，请直接写出的取值范围． 5．如图，直线与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出不等式的解集． (3)若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(，，b为常数) (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)P为x轴上一点，若的面积为9，求P点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． (1)与的数量关系为________； (2)若的面积为4． ①求线段的长； ②求k的值． 8．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是12． (1)求点的坐标及和的值； (2)若两函数图象另一个交点坐标的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集； (3)若直线与有交点时，求的取值范围． 9．如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 10．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3．． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集是： ； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标．​ 11．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)填空：如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是______； (2)已知点在双曲线上，联结，如果，求点的坐标． 13．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，以为边作正方形，反比例函数的图象在第一象限经过点． (1)直接写出点、、的坐标及的值； (2)如图②，将直线向下平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交的图象于点，若，求直线的解析式； (3)如图③，将直线绕点顺时针旋转后与第一象限的双曲线交于点，求点的横坐标． 14．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，连接．已知的面积为6． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)是轴负半轴上一点，平分，现有条件： ①过点作轴的垂线，交于点； ②点在上（不与点重合），点在轴负半轴上，． 请从①②中任选一个作为已知条件，求出点的横坐标． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． (3)若点是第二象限内双曲线上一点，且，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2)存在，的最大值为，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，则，根据三角形的公式可求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 设一次函数的解析式为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值为， 此时点P的坐标为 2．(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，熟悉反比例函数性质是解题的关键． （1）将点，代入直线中得，再点代入反比例函数中得到； （2）找到函数图像中直线在双曲线下方的图像对应的横坐标范围即可； （3）先求出，，，设点，再分三种情况，再结合菱形的性质解决问题． 【详解】（1）解：将点代入直线中得：， ∴， 将点代入直线中得：， ∴， 将点代入反比例函数中得：． （2）解：由（1）知，， 由图象可知，不等式的解集为或； （3）解：，，， 设点， 当是对角线时，是临边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是临边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是临边，， 且，解得：， 故． 综上，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为． 故答案为： 3．(1)， (2)或 【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上， ， 解得，， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ，解得， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为：； （2）由（1）得，一次函数的解析式为， 令，则； 令，则，， ， ，， ， ， ，解得， ∴当时，，当时，， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 4．(1)， (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图形的性质，待定系数法是运用是关键． （1）将代入中，得到，再代入反比例函数，运用待定系数法即可求解； （2）①当时，，可得点的坐标为，点的坐标为，由此即可求解；②结合图形判定即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 将代入中，得； （2）解：①当时，． 理由： 如图， 当时，， 令，代入，得， 解得； ∴点的坐标为， ∴； 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； ②由①可知，当时，，根据图示， 当时，即点的位置，当时，即点的位置，， ∴的取值范围为或． 5．(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据点在直线上，求出，从而可得点的坐标为，丙根据点在反比例函数的图象上，代入中，求得，从而可得反比例函数的解析式为； （2）先求出点坐标，再结合点坐标，观察函数图象得出不等式的解集； （3）分“点在点下方”、“点在点上方”两种情况，分别求得点的坐标． 【详解】（1）解： 点在直线上， 将代入，得点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 将代入中，得，． 反比例函数的解析式为． （2）解，得或， ∵点的坐标为， ， ， ， ∴或． （3）分情况讨论：①当点在点下方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，即． 将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为． ②当点在点上方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式． 6．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或者 (3)的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图像位置关系即可得解； （3）设，根据（1）可知直线的解析式为，如图，求解，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图像可知，当或者时，一次函数的图像在反比例函数图像的上方，满足， ∴不等式的解集为或者； （3）解：根据（1）可知直线的解析式为，如图， 当时，则， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键． 7．(1) (2)①；② 【分析】（1）分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形，从而可证明，再证明，即可得出结论； （2）①过点O作于点E，利用等腰三角形的性质与直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积求解即可； ②由（1）知：，四边形MONF为正方形，可求得，设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m，，根据，得，解得：，则可求得点B的坐标为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形， 设点B的坐标为，点C的坐标为， 点B，C为一次函数图象与反比例函数图象的交点， 令，化简得，即， ， ，即，则四边形为正方形， 一次函数的图象与x轴，y轴分别交于D，A两点， 令，则，令，则， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，过点O作于点E， 由（1）知， ∴， ∴； ∵， ∴， ． 又的面积为4， ， 即， ；              ②由（1）知：，四边形为正方形， ， ， 设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m， ， ， 即， 解得：， 把代入，得， 点B的坐标为， 把代入， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 8．(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形的性质： （1）令，可得，再由平行四边形的面积是12，可得，进而得到，，即可； （2）先求出点D的坐标，然后直接观察图象，即可求解； （3）分别求出直线过点C，A时t的值，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴设， ∵平行四边形的面积是12， ∴，即， ∴，，即， ∵点在直线上， ∴， ∴； （2）解∶由（1）知：， ∵的纵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴由图象可知：不等式的解集为：或； （3）解：如图所示， 当直线经过点时，取最大值， 当直线经过点时，取最小值， 将点代入，得：，解得； 将点代入，得：，解得， ∴若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 9．(1)双曲线的解析式为 (2)， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确理解题意，找到各点与表达式间的关系是正确解答此题的关键． （1）将代入，求得m，即可求解； （2）作轴于轴于． 证明（AAS）．得．由，得．即可求得点D坐标，设直线为，代入点D坐标，即可求解点C坐标． 【详解】（1）解：将代入直线的解析式中，得． 解得． 将代入双曲线的解析式中，得． 双曲线的解析式为． （2）解：作轴于轴于． 则． ． ， ， ． ． 由题意，， ． 由，得． ； 设直线为，则． ， 直线为． 由，得． ． 10．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，定义三角形的定义： （1）分别把点A的坐标代入两函数解析式中利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，再分三种情况利用勾股定理进行讨论求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得：，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：，， ， 由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴当时，不等式的解集为； （3）解：∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3， ∴， ∴， ∵直线是直线平移得到的 ∴可设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设， ∵， ∴， 当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①时，， 解得：或（舍去）； ②时，， 解得：或（舍去）； ③时，， 解得：（舍去）． 综上：或， ∴点或． 11．(1) (2)或 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要相似三角形的性质、待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法以及分类讨论思想是解题的关键． （1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，再代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标． 【详解】（1）解：把代入中，得：， ∴， ∵， ∴把代入中，得：，即， 把代入中，得：， ∴双曲线解析式为． （2）解：如图，轴于点H，连接；设， ∵在双曲线上， ∴， ∵点B在上， ∴． 当时，，即，整理得：，即，解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，即，整理得，解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上所述，或． 12．(1)或 (2)或 【分析】（1）先求得、，结合题意，可知存在种情况：①当时，利用等腰三角形的性质，即可求解点坐标；②当时，设，利用两点距离坐标公式构建，解方程，即可求解点坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，利用一线三垂直的模型证得，求得点的坐标，设直线的函数解析式为，通过待定系数法，将点和点的坐标代入求得直线解析式为，联立方程组，即可求得直线与双曲线的交点，即点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令时，；令时，， ，． 点在轴上，是以为腰的等腰三角形， 存在种情况： ①如图，当时， ， ； ②如图，当时， 设， ，， ，解得：， ； 综上所述，如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是或． （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴于点， ，， ，， ，， 在中，， ， 轴， ， 在和中， ， ， 由（1）得：，， ，， ， ． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，等腰三角形的性质，坐标系中两点之间的距离公式，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 13．(1)，，， (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，一次函数、反比例函数与几何图形面积的计算等知识是关键． （1）根据一次函数与坐标轴交点得到坐标，得到，如图所示，过点作轴于点，则，根据正方形的性质可证，，得到，运用待定系数法得到反比例函数系数； （2）如图所示，连接，得到，由面积公式得到，直线的解析式为，则，把点代入，运用待定系数法即可求解； （3）过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点，可证，，得，运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵以为边作正方形， ∴，， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵将直线向下平移得到直线，则， ∴点到的距离等于点到的距离，且同底， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交的延长线于点，作轴的平行线，交轴于点，过作轴的平行线，交于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 又∵过点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点的横坐标是． 14．(1)反比例函数的解析式为，； (2)①选条件①，点的横坐标为；②选条件②，点的横坐标为． 【分析】（1）由的面积为6，结合k的几何意义可得反比例函数的解析式，再由A的横坐标可得A的纵坐标； （2）选条件①：如解图①，设与轴的交点为，由轴，可知轴，故，根据角平分线的性质可得，因此，根据等腰三角形的性质得，结合即可求出答案． 选条件②：如解图②，连接交轴于点，由勾股定理得，根据已知，可得， 由角平分线的性质可得，因此，再证明四边形是平行四边形，故轴，，利用即可求出答案． 【详解】（1）解：的面积为轴， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， ； （2）选条件①： 如解图①，设与轴的交点为， ， ， 轴， 轴，， ， 平分， ， ， ， ， 点的横坐标为． 或选条件②： 如解图②，连接交轴于点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 轴，， ， ， 点的横坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解决问题的关键． 15．(1) (2)或 (3)或 【分析】（）先把代入一次函数解析式求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，再结合函数图象解答即可求解； （）设直线与轴相交于点，可得，进而可得，即得，由得点到的垂线段长，再分当点在直线上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析，反比例函数与一次函数图象的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 由图象可知，当时，或； （3）解：设直线与轴相交于点， ∵一次函数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设点到的垂线段长为，则， ∴， 当点在直线上方时，如图，过点作的平行线，交轴于点，过点作于点， 则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 由，解得或， ∵点是第二象限内双曲线上一点， ∴， 同理，当点在直线下方时，经过点且与平行的直线解析式为， 由，解得或， ∵点是第二象限内双曲线上一点， ∴； 综上，点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$