精品解析：湖南省张家界市永定区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

永定区2025年春季学期八年级期末教学质量监测试卷 数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 保健食品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 2. 一个多边形的内角和为，它是（ ）边形． A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 3. 下列关于函数的性质说法正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与y轴交于点 C. 图象与x轴交于点 D. y随x的增大而减小 4. 一组数据的样本容量是60，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 120 5. 如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（ ） A. a2+b2=c2 B. a2+c2=b2 C. b2+c2=a2 D. （a+c）2=b2 6. 如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是斜边上的高，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是矩形，A，B两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①函数的y随x的增大而增大； ②函数不经过第二象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的是(　　) A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第___________象限． 12. 函数中自变量x的取值范围是______． 13. 已知点与点，若直线平行于轴，则_______． 14. 如图，在中，对角线、交于点，点为中点．若，则长为_____． 15. 如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 ___________（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 16. 如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 17. 如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时：②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B地，其中正确的是 （填序号）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以OA为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为_____． 三、解答题（共66分） 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． （1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）直接写出体育场，市场，超市的坐标； （3）已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 20. 如图，一次函数的图象是直线，一次函数的图象是直线，两条直线相交于点，已知直线和与x轴的交点分别是点B，点C，且直线与y轴相交于点． （1）点A坐标为 　　，点B坐标为 　　． （2）求出直线的表达式； （3）试求的面积． 21. 如图，已知：∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：OB＝OC； （2）若AC＝4，DO＝1，求BC的长度． 22. 如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 23. 某服装超市销售10套型时装和20套型时装的利润为5000元，销售20套型时装和10套型时装的利润为5500元． （1）求每套型时装和型时装的销售利润分别为多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的时装共120套，其中型时装的进货量不超过型时装的2倍，设购进型时装套，这120套时装的销售总利润为元； ①求关于的函数关系式（并求出自变量的取值范围）； ②该商店购进型、型时装各多少套，才能使销售总利润最大？ 24. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， （1）已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； （2）已知点的“a级关联点”为，求的值； （3）已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标． 25. 2025年3月28日13时20分缅甸境内发生7.9级地震，泰国北部清迈、夜丰颂等地震感较强，夜丰颂拜县部分景点坍塌．为让同学们了解地震自救知识，某学校举办了“从容面对灾难，实现自我救助”的知识竞赛．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分）绘制了如下不完整的统计图表： 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 组别 成绩分) 频数 A 20 B C 60 D 根据以上信息，解答以下问题： （1）直接写出统计表中的______，______； （2）学生成绩数据的中位数落在_____组内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是____度； （3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； （4）若全校有2000名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． 26. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2025年春季学期八年级期末教学质量监测试卷 数学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 保健食品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【详解】A中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C中，该图形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D中，该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 一个多边形的内角和为，它是（ ）边形． A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据多边形内角和求边数，解题关键是熟悉多边形内角和公式． 根据多边形内角和公式列出方程求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则，解得：， 故选：B． 3. 下列关于函数的性质说法正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与y轴交于点 C. 图象与x轴交于点 D. y随x的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A正确； 该函数图象与x轴、y轴分别交于点，，故选项B，C错误； 该函数y随x的增大而增大，故选项D错误． 故选：A． 4. 一组数据的样本容量是60，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率、频数、总数的关系，属于基础题，比较简单，注意熟练掌握：频数=频率×数据总和．根据频率、频数的关系：频数=频率×数据总和，可得这一小组的频数． 【详解】解：∵容量是的，某一组的频率是0.5， ∴样本数据在该组的频数 ． 故选：C． 5. 如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，以下式子成立的是（ ） A. a2+b2=c2 B. a2+c2=b2 C. b2+c2=a2 D. （a+c）2=b2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，b为斜边，a，c直角边，根据勾股定理可得a2+c2=b2，故答案选B． 考点：勾股定理. 6. 如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴的周长， 故选：． 7. 如图，在中，是斜边上的高，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，由直角三角形的特征得，，即可求解；能熟练利用直角三角形的特征进行求解是解题的关键． 【详解】解：，， ，， 是斜边上的高， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ = CM，再由勾股定理得BD=3，当CM BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论． 【详解】解：连接CM，如图， 于点P，于点Q， ， 四边形ABCD是矩形， AD=1，CD=AB=，， 四边形PCQM是矩形， ， 在中，， 当CM BD时，CM最小，则PQ最小， 此时，， ， 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 9. 如图，四边形是矩形，A，B两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，点和点横坐标相同，点和点纵坐标相同可求解． 【详解】解：根据题意可得：， ∴点坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标系中的点，掌握矩形的性质是求解的关键． 10. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①函数的y随x的增大而增大； ②函数不经过第二象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的是(　　) A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象交点横坐标是4，和图象所经过象限可以判断． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大，故①正确； 由图象可知，，，所以函数的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故②错误， 由图象可得当时，一次函数图象在的图象上方， 不等式的解集是， 移项可得，，解集是，故③正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为4， ∴ ∴， ∴，故④正确， 正确的有：①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，理解图象反应的信息，综合一次函数、不等式、方程解决问题． 二、填空题（每小题3分共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第___________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决此题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标的符号特征，可得答案． 【详解】解：点在第二象限， 故答案为：二． 12. 函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，根据二次根式有意义，则被开方数大于或等于求出x的范围． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知点与点，若直线平行于轴，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直线平行于轴时，所在直线上的点的横坐标相等． 根据直线平行于轴，得到点和点的横坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵直线平行于轴， ∴点和点的横坐标相等， 则， 故答案为：． 14. 如图，在中，对角线、交于点，点为中点．若，则长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意证明是的中位线，然后根据中位线的性质即可求解；本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，掌握并熟练使用相关定理，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，O是对角线的交点， ∴， ∵点为中点． ∴是的中位线， ∴． 故答案为：8． 15. 如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 ___________（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：添加条件为：或或， ①添加， 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ②添加， 理由：∵， ∴是直角三角形，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． ③添加， 理由：∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：． 综上所示，添加的条件有或或， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 16. 如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 17. 如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时：②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B地，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．本题考查了图象中获取信息，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息． 【详解】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确； 乙出发小时后追上甲，故②错误； 甲的速度为：（千米小时），故③正确； 乙的速度为：（千米小时）， 则甲到达地用的时间为：（小时）， 乙到达地用的时间为：（小时）， ， 乙先到达地，故④正确； 故答案为：①③④ 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以OA为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为， 故答案为： ． 三、解答题（共66分） 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． （1）请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）直接写出体育场，市场，超市的坐标； （3）已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】（1）图见解析 （2）体育场坐标，市场，超市坐标 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系如图所示： 【小问2详解】 解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． 【小问3详解】 解：如图所示，点A，B即为所求． 20. 如图，一次函数的图象是直线，一次函数的图象是直线，两条直线相交于点，已知直线和与x轴的交点分别是点B，点C，且直线与y轴相交于点． （1）点A坐标为 　　，点B坐标为 　　． （2）求出直线的表达式； （3）试求的面积． 【答案】（1），； （2）； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成的三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入到直线的解析式，即可求得的值，进而求得的坐标，进而令，即可求得点的坐标； （2）将点的坐标代入，待定系数法求解析式即可； （3）根据的坐标，三角形的面积公式求解即可 【小问1详解】 解：一次函数过点， ， ， 令，即，解得， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：一次函数过点，， 则 解得 直线的表达式为 【小问3详解】 解：令，即 解得 21. 如图，已知：∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：OB＝OC； （2）若AC＝4，DO＝1，求BC的长度． 【答案】（1） 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴OB＝OC； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据HL定理先证明Rt△ABC≌Rt△DCB，再证明∠ACB＝∠DBC，再利用等腰三角形两腰相等证明OB=OC （2）通过勾股定理先算出AB长度，再求BC长度． 【详解】（1）略 （2）∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴AC＝BD＝4， ∵OB＝OC， ∴OA＝OD＝1， ∴OB＝OC＝3， 在Rt△OAB中，AB＝＝2， 在Rt△ABC中，BC＝＝2． 【点睛】本题考查HL定理和勾股定理的应用，掌握这两个定理是本题关键． 22. 如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据据平行四边形的性质可得，，由线段的和差可求得，进而可得结论； （2）由题意根据勾股定理可得，再根据，四边形是平行四边形可判定四边形是矩形，根据矩形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴． 23. 某服装超市销售10套型时装和20套型时装的利润为5000元，销售20套型时装和10套型时装的利润为5500元． （1）求每套型时装和型时装的销售利润分别为多少元？ （2）该商店计划一次购进两种型号的时装共120套，其中型时装的进货量不超过型时装的2倍，设购进型时装套，这120套时装的销售总利润为元； ①求关于的函数关系式（并求出自变量的取值范围）； ②该商店购进型、型时装各多少套，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元 （2）①；②当该商店购进型时装套，型时装套，才能使销售总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元，根据“销售10套型时装和20套型时装的利润为5000元，销售20套型时装和10套型时装的利润为5500元”列出二元一次方程组，解方程即可得出答案； （2）①设购进型时装套，则购进型时装套，根据总利润型时装利润型时装利润即可得出函数关系式，再根据“型时装的进货量不超过型时装的2倍”列出不等式，解不等式即可得出范围；②利用一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元， 由题意得：， 解得：， ∴每套型时装的销售利润为元，每套型时装的销售利润为元； 【小问2详解】 解：①设购进型时装套，则购进型时装套， 由题意得：， ∵型时装的进货量不超过型时装的2倍， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大，为，此时， ∴当该商店购进型时装套，型时装套，才能使销售总利润最大． 24. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， （1）已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； （2）已知点的“a级关联点”为，求的值； （3）已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，，求出a，b的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点N，然后分为点N在x轴和y轴上计算即可． 【小问1详解】 解：点的“2级关联点”是， 即点B的坐标为； 【小问2详解】 解：点的“a级关联点”为， 则，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：点的“级关联点”为，即N， 当点N在x轴上时，，解得，这是点N， 当点N在y轴上时，，解得，这是点N， 综上所述，点N的坐标为或． 25. 2025年3月28日13时20分缅甸境内发生7.9级地震，泰国北部清迈、夜丰颂等地震感较强，夜丰颂拜县部分景点坍塌．为让同学们了解地震自救知识，某学校举办了“从容面对灾难，实现自我救助”的知识竞赛．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分）绘制了如下不完整的统计图表： 学生成绩频数分布直方图 学生成绩扇形统计图 组别 成绩分) 频数 A 20 B C 60 D 根据以上信息，解答以下问题： （1）直接写出统计表中的______，______； （2）学生成绩数据的中位数落在_____组内；在学生成绩扇形统计图中，组对应的扇形圆心角是____度； （3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整； （4）若全校有2000名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数． 【答案】（1）40，80 （2），72 （3） 补全条形统计图如下： （4）1400 【解析】 【分析】（1）由题意知，共调查（人），根据，计算可得值，根据，计算求解即可； （2）根据中位数为第100，101位的数的平均数，进行判断即可，根据，计算求解即可； （3）补全统计图即可； （4）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共调查（人）， ∴（人）， ∴（人）， 故答案为：40，80； 【小问2详解】 解：由题意知，中位数为第100，101位的数的平均数， ∵，， ∴中位数落在组内， ∴， 故答案为：，72； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵（人）， ∴估计成绩高于90分的学生人数为1400人． 【点睛】本题考查了条形统计图，频数分布表，扇形统计图，中位数，圆心角，用样本估计总体．解题的关键在于从图表中获取正确的信息． 26. 已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可得出答案； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $