专题04 空间向量的应用-用空间向量研究距离、夹角问题（六大考点精讲）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 空间向量的应用-用空间向量研究距离、夹角问题 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、空间中的距离 2 知识点2、空间角公式 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 点到平面的距离求法 4 重难点题型2 平行平面之间的距离求法 6 重难点题型3 向量法求异面直线的夹角 12 重难点题型4 向量法求线面角 15 重难点题型5 向量法求二面角 23 重难点题型6 综合问题 31 四、突破热点题型 39 知识点1 空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 知识点2 空间角公式． （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 重难点题型1 点到平面的距离求法 例1.（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 例2.（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式即可. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为． 故选：A. 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可. 【详解】因为，所以点到平面的距离. 故答案为：. 2．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出，其中是平面的法向量，结合公式即可运算求解. 【详解】如图，取的中点，因为平面，平面， 所以， 因为三角形是等边三角形，点是中点，所以， 所以两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，D为AC的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 点到平面BDE的距离为. 故答案为：. 重难点题型2 平行平面之间的距离求法 例3、（24-25高二下·全国·周测）两平行平面间的距离如图，，分别是平行平面，上的任意一点，设是平面，的一个法向量，则平面，之间的距离 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平行平面距离的向量求法 【分析】略 【详解】略 例4．（23-24高二上·全国·周测）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法、平行平面距离的向量求法、证明线面垂直、求点面距离 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 1．（23-24高三上·山东德州·期末）（多选题）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】平行平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量求法可判断A；求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法可判断B；求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可判断C；利用点到平面的距离的向量求法可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：AB. 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法、平行平面距离的向量求法、异面直线距离的向量求法 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 重难点题型3 向量法求异面直线的夹角 例5.（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，求得，进而求得直线与直线所成的角，得到答案. 【详解】由空间四点，，，， 可得，则， 设直线与直线所成的角为，其中， 则，可得， 所以直线与直线所成的角为. 故选：A. 例6.（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为： 1．（24-25高二下·云南·期末）在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、异面直线夹角的向量求法 【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解. 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式即可运算求解. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 重难点题型4 向量法求线面角 例7.（24-25高二下·广西河池·期末）如图，在各棱长都相等的正四棱锥中，O为与的交点，P为侧棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面的所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可求解. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意得底面，， 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设正四棱锥的棱长为，所以，， 所以，， 所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，则， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以. 例8．（24-25高一下·重庆·期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点. (1)求证：平面 (2)已知平面，求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求线面角、证明面面平行 【分析】（1）由线面平行的判定定理得到平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性质定理得到平面； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法求得线面角的正弦值. 【详解】（1）取中点M，连接， 在中，由于为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，为对边中点，所以 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为，所以， 那么以B为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立坐标系，如图所示， 则， 所以 不妨设平面的一个法向量为， 由可得，不妨令，那么， 则， 设为直线CE与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 1．（24-25高一下·天津南开·期末）如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求线面角、证明面面垂直、证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）根据中位线性质得线线平行，即可证线面平行； （2）运用等腰三角形和等边三角形三线合一的性质证出两组线线垂直，从而得到线面垂直，线面垂直可直接推出面面垂直； （3）解法一：由正四面体的性质求出点C到平面PAD的距离，即可求解；解法二：建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量和平面的法向量，代入线面所成角的正弦公式即可. 【详解】（1）四边形是菱形，则是中点的同时也是中点， 分别为的中点， 是的中位线，， 平面，平面， 平面. （2），是中点，等腰三角形三线合一，， ，，是等边三角形， 是中点，等边三角形三线合一，， ，平面， 平面， 平面， 故平面平面. （3）解法一：由题意，, 所以三棱锥为正四面体，设棱长为2， 则， 设交于点O，连接PO， 则点O为底面的中心，平面ABD， 由正三角形的性质可得，所以, 由正四面体的性质可得点B到平面PAD的距离也为， 又平面APD，平面APD，所以平面APD， 所以点C到平面PAD的距离也为， 所以直线与平面夹角的正弦值 解法二：由（2）可知，故以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，易知，，，，，，，， 再设，由，，，可得： ，解得， 即，， 设平面的法向量， ，，， 解得， 设直线与平面夹角为， ， 故直线与平面夹角的正弦值为. 2．（24-25高二下·上海·月考）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以， 因为底面圆， 所以底面圆， 因为底面圆，所以， 因为平画，所以平画， 因为平面，所以平面平面． （2）因为底面圆圆， 所以， 又，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 重难点题型5 向量法求二面角 例9．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，由平行向量的坐标关系证得，即可证得四点共面； （2）由题意设，求出，分别求出平面与平面的法向量，由垂直向量的坐标表示求出，再求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式即可得出答案. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易得， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 例10．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、锥体体积的有关计算、证明面面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先找到直线与直线所成的角，再证明平面平面，作出四棱锥的高即可求解； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再利用三角函数的范围即可求解. 【详解】（1），是的中点，， 又，，，四边形为菱形， 则，在翻折过程中，总有，，， 又平面，平面，， 平面. （2），分别为棱，的中点， ，直线与直线成角，即为与直线成， 则或，为边长为1的正三角形或顶角为的等腰三角形， 又四边形是上下底长分别为1和2的梯形，且， 四边形的面积为, 由（1）知平面，又平面，平面平面， 过点作于， 平面平面，平面， 平面，则， 四棱锥的体积. （3）由（1）（2）知平面平面，且， 分别以，所在直线为轴，轴， 以过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在翻折过程中设， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，， ； 平面，可取平面的一个法向量为， ， 又，，则， 在翻折过程中平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，点在上，，将沿翻折至，使，点分别是与的中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）由中位线定理以及平行四边形性质，可得线线平行，根据线面平行判定，可得答案； （2）由线面垂直与面面垂直的判定可得四棱锥的高，根据四棱锥的体积计算，可得答案； （3）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）取中点，连接， 点分别是与的中点，，， ，，，， 为的中点，，即，， 故四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2）由条件可知四边形为边长为1的正方形，则， 又，又，平面， 平面；又平面， 在中，，则. 在中，由余弦定理得， 则， 由平面，又平面，得平面平面， 过作于，平面平面，平面， 则平面，在中，，则， 到平面的距离为， 所以四棱锥的体积为； （3）过作的平行线，如图， 分别以为轴建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ， ，则，得， 令，则，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， . ，则，得， 令，则. 记平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行； （2）建系后，写出相关点的坐标，出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 重难点题型6 综合问题 例11.（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，则利用线面垂直的判断定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理正解即可. （2）平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出，可得，即可得解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面. （2）过在平面内作， 以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图 ∵，，∴， ∴，，，∵为中点，∴， 设，， 设平面的法向量为， ∴， 令，，，即， 由（1）知平面，∴为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， ∴， 解得或， 由（1）知，当为中点即时，∴平面， 又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角， ∴∴，∴， ∴，∴. 例12.（2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点是中点 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面．    以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为，           所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”．          因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，最小值为 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过直三棱柱的性质得线面垂直，证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线线垂直的方法，求出直线的方向向量，证明线线垂直. （3）根据向量法求二面角的方法，设出点的坐标，求出法向量，根据法向量求出二面角的正弦值，根据函数最值，求出何时正弦值最小，求出结果. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以， 因为，，所以， 又，平面，平面， 所以平面． （2） 由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示， 以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，，，，．设． 因为，， 所以，所以． （3）设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即．令，则 且平面的法向量为， 设平面与平面DEF的二面角的平面角为， 则． 根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值, 可知，当时，取最小值为， 此时取最大值为，则， 此时． 2．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 1．（23-24高二上·江苏扬州·周测）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角、求组合体的体积、平行平面距离的向量求法 【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是矩形，所以， 由于，平面，所以平面， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以， 由于，所以平面，由于平面， 所以，同理可证得， 所以, 所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确. 由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角）， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 即异面直线、所成的角为，B选项正确. 将几何体补形为正方体，如下图所示， 所以，C选项错误. 由上述分析可知，由于平面，平面， 所以平面.同理可证得平面， 由于，所以平面平面. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，平面与平面间的距离，即到平面的距离， 所以距离为，D选项正确. 故选：C    2．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 3．（23-24高二上·山东泰安·周测）（多选题）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法、平行平面距离的向量求法、点到平面距离的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法直接求解即可；对于B，利用空间向量点到面的距离公式进行求解；对于C，两平行平面间的距离转化为点到平面的距离的空间向量法进行求解；对于D，利用空间向量法点到线的距离公式求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，． 对于A，设BE与所成角，则，，故A正确； 对于B，易知，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面. 所以平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B错误； 对于C，，，． 设平面的法向量为，则，所以，令， 所以，所以点到平面的距离． 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 对于D，因为，所以，， 则，所以点P到AB的距离，故D正确． 故选：ACD.    4．（2025·山西临汾·三模）已知正三棱柱各棱长均为2，则直线与AB所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角的正弦值即可. 【详解】取 的中点 ，连接 ，因为是正三角形，所以 . 又因为正三棱柱中，平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 已知正三棱柱各棱长均为 ，则 ，，，。 所以，. 则 . 设直线 与 所成角为 ， 所以 . 故答案为： 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由已知利用勾股定理的逆定理可得，可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又因为，平面， 所以⊥平面； （2）以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（2025·甘肃白银·三模）如图，在五面体中，底面为等边三角形，底面，，，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证平面即可； （2）以中点为原点建系，分别求出两个平面的法向量，再计算夹角余弦值即可. 【详解】（1）因为等边三角形，是的中点，则， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则. （2）取线段的中点，以、过点O和平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因底面，，则底面， 因，， 则， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， 令，则，， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 7．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． (1)若、分别为棱，的中点，证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线面平行、线面角的向量求法、由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值. （3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值； 法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值． 【详解】（1）取的中点，连接， 因为、分别为棱，的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）由题意中平面得两两垂直， 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则因为， 所以， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 不妨设，则，即：， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． （3）法一：设点到平面（也即平面）的距离为， 三棱锥体积为，则， 由（2）可知平面的一个法向量， 点到平面距离， 因为，所以点到平面距离． ， 所以，即为直角三角形，所以， 所以点到棱的距离为， 又因为，所以，且点到边的距离为， 所以的面积为． 所以，其中． 所以，所以， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 法二：三棱锥体积为，则， 因为，所以，， 所以， 所以， 则， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间向量的应用-用空间向量研究距离、夹角问题 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、空间中的距离 2 知识点2、空间角公式 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 点到平面的距离求法 4 重难点题型2 平行平面之间的距离求法 5 重难点题型3 向量法求异面直线的夹角 6 重难点题型4 向量法求线面角 7 重难点题型5 向量法求二面角 9 重难点题型6 综合问题 11 四、突破热点题型 13 知识点1 空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 知识点2 空间角公式． （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 重难点题型1 点到平面的距离求法 例1.（24-25高二下·江苏盐城·期中）若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 例2.（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 . 2．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱上，且，若，，则点到平面BDE的距离为 . 重难点题型2 平行平面之间的距离求法 例3、（24-25高二下·全国·周测）两平行平面间的距离如图，，分别是平行平面，上的任意一点，设是平面，的一个法向量，则平面，之间的距离 ． 例4．（23-24高二上·全国·周测）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·山东德州·期末）（多选题）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 2．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 重难点题型3 向量法求异面直线的夹角 例5.（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 例6.（24-25高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 1．（24-25高二下·云南·期末）在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 重难点题型4 向量法求线面角 例7.（24-25高二下·广西河池·期末）如图，在各棱长都相等的正四棱锥中，O为与的交点，P为侧棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面的所成角的大小． 例8．（24-25高一下·重庆·期末）如图，三棱柱中，为中点，为中点. (1)求证：平面 (2)已知平面，求直线与平面所成角的正弦值； 1．（24-25高一下·天津南开·期末）如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求直线与平面夹角的正弦值. 2．（24-25高二下·上海·月考）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 重难点题型5 向量法求二面角 例9．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 例10．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在四边形中，，点在上，，将沿翻折至，使，点分别是与的中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 2．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 重难点题型6 综合问题 例11.（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥中，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求. 例12.（2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 2．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（23-24高二上·江苏扬州·周测）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 2．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东泰安·周测）（多选题）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 4．（2025·山西临汾·三模）已知正三棱柱各棱长均为2，则直线与AB所成角的正弦值为 ． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2025·甘肃白银·三模）如图，在五面体中，底面为等边三角形，底面，，，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 7．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． (1)若、分别为棱，的中点，证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $