专题02 空间向量的基本定理与坐标表示（八大考点精讲）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量的基本定理与坐标表示 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、空间向量的基本定理 2 知识点2、空间向量的坐标运算及应用 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 空间向量基底的概念 4 重难点题型2 空间向量的基本定理的应用 6 重难点题型3 空间向量的坐标表示 9 重难点题型4 空间向量的数量积运算 11 重难点题型5 空间向量模长的坐标表示 12 重难点题型6 空间向量的夹角的坐标表示 14 重难点题型7 空间向量的共线或平行的坐标表示 16 重难点题型8 空间向量的垂直的坐标表示 18 四、突破热点题型 20 知识点1、空间向量基本定理 （1）、空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. （2）、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. （3）、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 知识点2、空间向量的坐标运算及应用 （1）、设，，则 ； ； ； ； ； ． （2）、设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）、两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①、已知，，则 ； ； ； ； ②、已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）、向量在向量上的投影为． 重难点题型1 空间向量的基底的概念 例1.（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 例2.（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底； 对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底； 对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底. 故选：D 1.（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）（多选题）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可. 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对B，设，其中， 则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确； 对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确； 对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 故选：ABC. 2.（24-25高二上·青海西宁·周测）（多选题）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的基本定理，由不共面的向量可作为基底，以及空间向量共面定理依次判断即可得出结论. 【详解】解:对于A选项， ∵， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底； 对于B选项，设 ， ∴，此时无解, 则三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于C选项， 设， ∴,,,此时无解， ∴三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于D选项， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底, 故选：AD. 重难点题型2 空间向量的基本定理的应用 例3.（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）如图，在三棱锥中，已知是上靠近的三等分点，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量加法，减法和数乘运算法则进行求解. 【详解】是上靠近的三等分点，是的中点， 故 . 故选：D 例4.（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案. 【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，，    则 ， 故选：D 1.（23-24高二上·吉林长春·期中）已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用共面向量的基本定理结合空间向量的基本定理可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为点是所在平面内的任意一点，则存在、，使得， 即， 所以，， 又因为是平面外的一点，则、、不共面， 因为，则，，， 所以，，所以，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 2.（24-25高二上·河南开封·期中）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量数量积的应用、空间共面向量定理的推论及应用、空间共线向量定理的推论及应用 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 重难点题型3 空间向量的坐标表示 例5.（24-25高二下·江苏宿迁·周测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以则. 故选：A. 例6.（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量坐标运算求解即得. 【详解】. 故答案为： 1.（2024·上海崇明·一模）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间点关于坐标平面的对称点特征可求对称点的坐标. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为， 故答案为：. 2.（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】若，，则. 故选：D. 重难点题型4 空间向量的数量积运算 例7.（24-25高二上·广东惠州·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量公式:向量在向量上的投影向量为,计算求解； 【详解】向量在向量上的投影向量为．故选：C． 例8.（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 7.（24-25高三上·安徽淮南·月考）若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由为空间中两两夹角都是的单位向量，得， 所以. 故答案为： 8.（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 重难点题型5 空间向量的模长的坐标表示 例9.（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据求出，由求出坐标，再利用向量模长公式计算可得答案. 【详解】因为，，且， 所以，可得， 解得，所以， 又， 则. 故答案为：. 例10.（24-25高二下·云南昆明·月考）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 1.（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 2.（23-24高二上·四川绵阳·周测）已知向量，，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据向量的减法运算，坐标表示、向量模的坐标表示运算即可得解. 【详解】，， ， . 故答案为：. 重难点题型6 空间向量夹角的坐标表示 例11.（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 例12.（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以与的夹角的余弦值是， 故选：B 1.（24-25高二上·河南周口·周测）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量数量积公式及夹角公式可得方程，解方程即可. 【详解】由，， 则，，，， 则， 解得， 故答案为：. 2.已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用向量夹角公式的坐标运算，即可求解. 【详解】， 故选：B. 重难点题型7 空间向量共线或平行的坐标表示 例13.（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用向量共线列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：D 例14.（24-25高二下·上海·月考）向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 1.（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 2.（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标计算公式列出方程，计算即得. 【详解】向量 ，， ， 与互相平行，， ，解得 故答案为： 重难点题型8 空间向量垂直的坐标表示 例15.（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 例16.（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用向量垂直求参数、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用空间向量垂直的坐标形式可取参数的值. 【详解】因为，所以，可得， 故选：C. 1.已知向量，，若，则实数等于 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由垂直得向量的数量积为0，从而可得参数值． 【详解】由题意， ∵，∴，． 故答案为：． 2.（24-25高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式即可求解； 【详解】解：由题意，因为， 则， 解得， 故选：D 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 2．（24-25高二上·广西钦州·周测）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解. 【详解】由题 又由题，故. 故选：C. 3．（24-25高二下·安徽铜陵·周测）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称的特征求解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点为. 故选：D 4．（24-25高二上·湖南永州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据对称点坐标特征可直接得到结果. 【详解】由对称点坐标特征可知：点关于平面对称点的坐标为. 故选：C. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【详解】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 6．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）若向量，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由向量平行的坐标运算得出，进而由模长公式求解. 【详解】因为向量，且， 所以，所以，所以． 故选：D 8．设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】利用空间向量共线和垂直求出，再利用模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 9．（24-25高二上·福建厦门·月考）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论. 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 10．正方体中，分别是的中点，以为一组基，，则x＝ ，y＝ ，z＝ . 【答案】 1 1 1 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、空间向量基本定理及其应用 【分析】由结合平面向量加法的平行四边形法则，再结合空间向量基本定理即可得到结果. 【详解】如图所示，    ∵ ＝＝， ∴x＝y＝z＝1. 故答案为：1；1；1. 11．（24-25高二上·吉林·期末）已知空间向量，，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算． 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：． 12．（24-25高二上·北京·周测）空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系中点关于平面的对称点的特征可得答案. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为. 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 14．（24-25高二上·湖北黄冈·月考）已知向量，，若与的夹角为，则实数t的取值是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量夹角公式计算即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 即，化简得， 解得， 故答案为：. 15．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知向量，，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 由得，解得. 故答案为：. 16．已知空间向量，若，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直列方程，从而求得. 【详解】因为空间向量， 所以， 由于， 所以，解得. 故答案为： 17．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 易知向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即可求得. 【详解】 . 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量的基本定理与坐标表示 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、空间向量的基本定理 2 知识点2、空间向量的坐标运算及应用 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 空间向量基底的概念 4 重难点题型2 空间向量的基本定理的应用 5 重难点题型3 空间向量的坐标表示 6 重难点题型4 空间向量的数量积运算 6 重难点题型5 空间向量模长的坐标表示 7 重难点题型6 空间向量的夹角的坐标表示 8 重难点题型7 空间向量的共线或平行的坐标表示 8 重难点题型8 空间向量的垂直的坐标表示 9 四、突破热点题型 10 知识点1、空间向量基本定理 （1）、空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. （2）、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. （3）、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 知识点2、空间向量的坐标运算及应用 （1）、设，，则 ； ； ； ； ； ． （2）、设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）、两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①、已知，，则 ； ； ； ； ②、已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）、向量在向量上的投影为． 重难点题型1 空间向量的基底的概念 例1.（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 例2.（24-25高二上·重庆北碚·期末）若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高二下·陕西渭南·开学考试）（多选题）若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·青海西宁·周测）（多选题）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 空间向量的基本定理的应用 例3.（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）如图，在三棱锥中，已知是上靠近的三等分点，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 例4.（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高二上·吉林长春·期中）已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ． 2.（24-25高二上·河南开封·期中）（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 重难点题型3 空间向量的坐标表示 例5.（24-25高二下·江苏宿迁·周测）若，，则（    ） A． B． C． D． 例6.（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，，则 . 1.（2024·上海崇明·一模）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是 ． 2.（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 重难点题型4 空间向量的数量积运算 例7.（24-25高二上·广东惠州·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 例8.（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 7.（24-25高三上·安徽淮南·月考）若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 8.（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 空间向量的模长的坐标表示 例9.（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，且，则 . 例10.（24-25高二下·云南昆明·月考）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 1.（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 2.（23-24高二上·四川绵阳·周测）已知向量，，则 重难点题型6 空间向量夹角的坐标表示 例11.（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量 则与的夹角为 例12.（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高二上·河南周口·周测）已知向量，，若，则 ． 2.已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 重难点题型7 空间向量共线或平行的坐标表示 例13.（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 例14.（24-25高二下·上海·月考）向量 且 ，则实数 . 1.（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2.（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 重难点题型8 空间向量垂直的坐标表示 例15.（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 例16.（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 1.已知向量，，若，则实数等于 . 2.（24-25高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·广西钦州·周测）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高二下·安徽铜陵·周测）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南永州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知空间向量，若与垂直，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 6．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·福建漳州·期中）若向量，且，则（    ） A．4 B． C． D． 8．设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 9．（24-25高二上·福建厦门·月考）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 10．正方体中，分别是的中点，以为一组基，，则x＝ ，y＝ ，z＝ . 11．（24-25高二上·吉林·期末）已知空间向量，，则 . 12．（24-25高二上·北京·周测）空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为 . 13．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 14．（24-25高二上·湖北黄冈·月考）已知向量，，若与的夹角为，则实数t的取值是 ． 15．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知向量，，若，则 . 16．已知空间向量，若，则 17．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$