专题七 天体运动中常见的模型 讲义 -2026届高考物理一轮复习

专题七 天体运动中常见的模型 模型一：双星、多星模型 知识总结 1．双星模型 （1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 （2）特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即，。 ②两颗星的周期、角速度相同，即，。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即。 ⑤双星的运动周期。 ⑥双星的总质量。 2．多星模型 （1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 （2）常见的三星模型 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示）。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）。 （3）常见的四星模型 ①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）。 ②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）。 3．解题要诀： （1）根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。 （2）星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 （3）星体的角速度相等。 （4）星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。 典型例题 1．如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则（　　） A．恒星A、B运动的周期为T B．恒星A的质量小于B的质量 C．恒星A、B的总质量为 D．恒星A的线速度大于B的线速度 【答案】C 【解析】每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝＝，由题图知rA＜rB，则mA＞mB，故B错误；由B选项得两恒星总质量为M＝mA＋mB＝，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA＜vB，故D错误。 2．（多选）科学家最近发现了一个双星系统，由质量约为0.74Ms（Ms为太阳质量）的致密白矮星与质量约为0.33Ms的热亚矮星两颗恒星组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合，用望远镜观测，发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮，这是因为两个天体周期性地互相遮挡造成的。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示，亮度可用“星等”进行描述，图中实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦曲线。已知太阳质量Ms＝2×1030 kg，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则（　　） A．该双星系统的运转周期约为615 s B．该双星系统的运转周期约为1230 s C．两星体之间的距离约为1.8×106 m D．两星体之间的距离约为1.8×108 m 【答案】BD 【解析】AB．由题图可知观测记录该双星系统的亮度变化的周期约为T′＝615 s 则该双星系统的运转周期约为T＝2T′＝1230 s，故A错误，B正确； CD．设两星体之间的距离为L，由万有引力提供向心力可得 ， 又r1＋r2＝L，联立可得L＝ 代入数据解得L≈1.8×108 m，故C错误，D正确。 故选BD。 3．（多选）如图所示，质量相等的三颗星组成为三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。设每颗星体的质量均为m，三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．每颗星体受到的向心力大小为 B．每颗星体运行的周期均为 C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍 D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的 【答案】BC 【解析】A．任意两颗星体间的万有引力，每个星体受到其他两个星体的引力的合力为，A错误； B．由牛顿第二定律可得，其中，解得每颗星体运行的周期均，B正确； C．原来星体的角速度为；若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度，则星体的角速度变为原来的倍，C正确； D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期为，星体的线速度大小为，则星体的线速度变为原来的，D错误。 故选BC。 4．如图所示，假设在太空中有A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为T2，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 B．A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为 C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径一定大于C的轨道半径 D．B的质量为 【答案】C 【解析】A．C绕B做匀速圆周运动，满足＝，故知道C的轨道半径，可求出B的质量，无法求出C的质量，故A错误； D．因为A、B为双星系统，所以相互之间的引力提供运动所需的向心力，即＝，可得MB＝，故D错误； C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，设卫星的质量为m，轨道半径为r，则根据牛顿第二定律＝解得r＝同理可得C的轨道半径为RC＝ 对A、B组成的双星系统有＝因为RA＜RB所以MA＞MB，则r＞RC，故C正确； B．A、B、C三星由图示位置到再次共线时，A、B转过的圆心角θ1与C转过的圆心角θ2互补，则＝π，解得t＝，故B错误。 5．（多选）如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是（　　） A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变 【答案】BD 【解析】四颗质量相同的星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由＝＝可知，ω＝，故B正确；由＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由＝可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。 6．太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星质量均为m，正三角形边长为L，引力常量为G。则下列说法中正确的是（ ） A．位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关 B．该四星系统做圆周运动的半径为 C．每个处于顶点处的星体所受向心力大小为 D．该四星系统的运动周期为 【答案】D 【解析】该四星系统做圆周运动的半径为，B错误；每个处于顶点处的星体所受向心力大小为，C错误；根据牛顿第二定律，解得，位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小有关，A错误；根据牛顿第二定律得，解得，D正确。 模型二：天体（卫星）追及相遇模型 知识总结 “天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）。类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的。解决这类问题有两种常用方法： 1．角度关系 设天体1（离中心天体近些）与天体2某时刻相距最近，如果经过时间t，两天体与中心连线半径转过的角度之差（或之和）等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ（n＝1，2，3，…）（同向）或ω1t＋ω2t＝2nπ（n＝1，2，3，…）（反向）；如果经过时间t′，两天体与中心连线半径转过的角度之差（或之和）等于π的奇数倍，则两天体相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π（n＝1，2，3，…）（同向）或ω1t′＋ω2t′＝(2n－1)π（n＝1，2，3，…）（反向）。 2．圈数关系 最近：＝n（n＝1，2，3，…）（同向），＝n（n＝1，2，3，…）（反向） 最远：＝（n＝1，2，3，…）（同向），＝（n＝1，2，3，…）（反向） 典型例题 1．2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出（　　） A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 【答案】B 【解析】A．火星和地球均绕太阳运动，根据开普勒第三定律有＝ 代入数据解得＝，故A错误； B．由题意知火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度的大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，此时两者的相对速度最大，故B正确； C．在星球表面根据万有引力定律与重力的关系有＝mg 由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误； D．火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝ 要发生下一次火星冲日则有＝2π，得t＝＞T地 可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。 故选：B。 2．（多选）如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，运动方向相反。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则（引力常量为G）（　　） A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝ B．两颗卫星的轨道半径之比为 C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度 D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度 【答案】AB 【解析】两卫星运动方向相反，设经过时间t再次相遇，则有＝2π，解得t＝，选项A正确；根据万有引力提供向心力得＝，则，故A、B两颗卫星的轨道半径之比为，故B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力＝，则可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D错误。 3．（多选）如图，行星a、b的质量分别为m1、m2，中心天体c的质量为M（M远大于m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的是（　　） A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8 B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4 C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 【答案】AD 【解析】根据开普勒第三定律可得，则，A正确、B错误；设图示位置夹角为θ＜，b转动一周（圆心角为2π）的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：＝(π－θ)＋n·2π（n＝0，1，2，3，…），可知n＜6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：＝(2π－θ)＋m·2π（m＝0，1，2，3，…），可知m＜6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D正确。 4．（多选）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。t0时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（　　） A．卫星距地面的高度为 B．卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为 C．从t0时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20π D．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多7π 【答案】BCD 【解析】A．对卫星，绕地球以的周期做圆周运动时：，变形解得：h＝，故A错误； B．根据向心加速度：an＝，所以＝＝＝，故B正确； C．下一次卫星经过P点正上方时，卫星比地球多转了n圈，由于一圈有两个位置是卫星在赤道正上方，所以有两种情况，第一种情况是卫星和地球都转了整数圈，设二者分别转了x圈、y圈，则有xT＝，x、y都为整数，y最小值为10，此时卫星绕地心转过了10圈，转过的角度为θ＝10×2π＝20π； 第二种情况是卫星和地球都转了整数圈＋半圈，此时有＝，x、y都为整数，这种情况下无解，所以从t0时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20π，故C正确； D．从最近到最远，最近时卫星在P点正上方，最近距离为半径之差，最远时两点还在赤道平面，最远距离为半径之和，所以有两种情况。第一种情况是P点运动了m圈，卫星运动了n＋圈，此时有mT＝（m，n为整数），此种情况下无解；第二种情况是情况P运动了m＋圈，卫星运动了n圈，此时有＝（m，n为整数），解得m最小值为1，此时n＝5，卫星绕地心转过的角度比地球的多5×2π－×2π＝10π－3π＝7π，故D正确。 故选：BCD。 第3页 共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$